Bagian Fungsi Invers
Setelah mempelajari fungsi komposit, kita beralih ke gagasan penting lainnya: invers suatu fungsi. Dalam mata kuliah matematika sebelumnya, Anda mungkin telah mempelajari bahwa fungsi eksponensial (dengan basis \(e\)) dan fungsi logaritma natural saling berinvers. Hubungan ini mungkin pernah Anda lihat dinyatakan sebagai berikut: Untuk setiap \(x \in \R\) dengan \(x \gt 0\) dan setiap \(y \in \R\text{,}\)
\(y = \ln(x)\) jika dan hanya jika \(x = e^y\text{.}\) Perhatikan bahwa \(x\) merupakan masukan dan \(y\) merupakan keluaran bagi fungsi logaritma natural jika dan hanya jika \(y\) merupakan masukan dan \(x\) merupakan keluaran bagi fungsi eksponensial. Pada dasarnya, fungsi invers (dalam hal ini, fungsi eksponensial) membalik tindakan fungsi semula (dalam hal ini, fungsi logaritma natural). Dalam bentuk pasangan terurut (pasangan masukan-keluaran), hal ini berarti bahwa jika \(( {x, y} )\) merupakan pasangan terurut dalam suatu fungsi, maka \(( {y, x} )\) merupakan pasangan terurut dalam invers fungsi tersebut. Gagasan untuk menukar peran koordinat pertama dan kedua mendasari definisi invers suatu fungsi.
Definisi 2.6.
Misalkan \(f : A \to B\) suatu fungsi. Invers dari \(f\text{,}\) yang dinyatakan dengan \(f^{ - 1}\text{,}\) adalah himpunan pasangan terurut
\begin{equation*}
f^{ - 1} = \left\{ { {( {b, a} ) \in B \times A} \mid ( {a, b} ) \in f} \right\}\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa definisi ini tidak menyatakan bahwa
\(f^{-1}\) merupakan fungsi. Sebaliknya,
\(f^{-1}\) hanyalah subhimpunan dari
\(B \times A\text{.}\) Dalam
Kegiatan 2.5, kita akan menyelidiki syarat-syarat yang membuat invers suatu fungsi
\(f: A \to B\) juga merupakan fungsi dari
\(B\) ke
\(A\text{.}\)
Kegiatan 2.5.
Misalkan \(A = \left\{ {a, b, c} \right\}\text{,}\) \(B = \left\{ {a,b,c,d} \right\}\text{,}\) dan \(C = \left\{ {p, q, r} \right\}\text{.}\) Definisikan
\begin{align*}
f: A \amp \to C \text{ dengan} \amp g: A \amp \to C \text{ dengan} \amp h: B \amp \to C \text{ dengan}\\
f( a ) \amp = r \amp g( a ) \amp = p \amp h( a ) \amp = p\\
f( b ) \amp = p \amp g( b ) \amp = q \amp h( b ) \amp = q\\
f( c ) \amp = q \amp g( c ) \amp = p \amp h( c ) \amp = r\\
\amp \amp \amp \amp h ( d ) \amp = q
\end{align*}
(a)
Tentukan invers setiap fungsi sebagai suatu himpunan pasangan terurut.
(b)
(i)
Apakah \(f^{ - 1}\) merupakan fungsi dari \(C\) ke \(A\text{?}\) Jelaskan.
(ii)
Apakah \(g^{ - 1}\) merupakan fungsi dari \(C\) ke \(A\text{?}\) Jelaskan.
(iii)
Apakah \(h^{ - 1}\) merupakan fungsi dari \(C\) ke \(B\text{?}\) Jelaskan.
(c)
Buatlah konjektur tentang syarat-syarat pada suatu fungsi \(F: S \to T\) yang memastikan bahwa inversnya merupakan fungsi dari \(T\) ke \(S\text{.}\)
Teorema 2.7.
Misalkan \(A\) dan \(B\) himpunan tak kosong, serta misalkan \(f: A \to B\text{.}\) Invers \(f\) merupakan fungsi dari \(B\) ke \(A\) jika dan hanya jika \(f\) merupakan bijeksi.
Garis besar bukti
Teorema 2.7 diberikan dalam aktivitas berikut.
Kegiatan 2.6.
Teorema 2.7 merupakan pernyataan bikondisional, sehingga kita perlu membuktikan kedua arahnya. Misalkan
\(A\) dan
\(B\) himpunan tak kosong, serta misalkan
\(f: A \to B\text{.}\)
(a)
Andaikan
\(f\) merupakan bijeksi. Kita akan membuktikan bahwa
\(f^{-1}\) merupakan fungsi, yakni bahwa
\(f^{-1}\) memenuhi syarat-syarat dalam
Definisi 2.1.
(i)
Misalkan \(b \in B\text{.}\) Sifat apa dari \(f\) yang memastikan bahwa \((b,a) \in f^{-1}\) untuk suatu \(a \in A\text{?}\) Kesimpulan apa yang dapat kita tarik tentang \(f^{-1}\text{?}\)
(ii)
Sekarang misalkan \(b \in B\text{,}\) \(a_1 , a_2 \in A\text{,}\) dan andaikan bahwa
\begin{equation*}
( {b, a_1 } ) \in f^{ - 1} \text{ dan } ( {b, a_2 } ) \in f^{-1}\text{.}
\end{equation*}
Apa yang ditunjukkan hal ini tentang pasangan-pasangan terurut yang harus termuat dalam \(f\text{?}\) Sifat apa dari \(f\) yang memastikan bahwa \(a_1=a_2\text{?}\) Kesimpulan apa yang dapat kita tarik tentang \(f^{-1}\text{?}\)
(b)
Sekarang andaikan \(f^{-1}\) merupakan fungsi dari \(B\) ke \(A\text{.}\) Kita akan membuktikan bahwa \(f\) merupakan bijeksi.
(i)
Apa yang perlu ditunjukkan untuk membuktikan bahwa \(f\) merupakan injeksi? Gunakan fakta bahwa \(f^{-1}\) merupakan fungsi untuk membuktikan bahwa \(f\) merupakan injeksi.
(ii)
Apa yang perlu ditunjukkan untuk membuktikan bahwa \(f\) merupakan surjeksi? Gunakan fakta bahwa \(f^{-1}\) merupakan fungsi untuk membuktikan bahwa \(f\) merupakan surjeksi.
Dalam keadaan ketika
\(f: A \to B\) merupakan bijeksi dan
\(f^{-1}\) merupakan fungsi dari
\(B\) ke
\(A\text{,}\) kita dapat menulis
\(f^{-1} : B \to A\text{.}\) Dalam hal ini, kita sering menyebut
\(f\) sebagai
fungsi invertibel, dan biasanya kita tidak menggunakan penyajian pasangan terurut, baik untuk
\(f\) maupun
\(f^{-1}\text{.}\) Alih-alih menulis
\(( {a, b} ) \in f\text{,}\) kita menulis
\(f( a ) = b\text{,}\) dan alih-alih menulis
\(( {b, a} ) \in f^{-1}\text{,}\) kita menulis
\(f^{-1} ( b ) = a\text{.}\) Dengan menggunakan fakta bahwa
\(( {a, b} ) \in f\) jika dan hanya jika
\(( {b, a} ) \in f^{-1}\text{,}\) sekarang kita dapat menulis
\(f( a ) = b\) jika dan hanya jika
\(f^{-1} ( b ) = a\text{.}\) Teorema 2.8 memformalkan pengamatan ini.
Teorema 2.8.
Misalkan \(A\) dan \(B\) himpunan tak kosong, serta misalkan \(f: A \to B\) suatu bijeksi. Maka \(f^{ - 1} : B \to A\) merupakan fungsi, dan untuk setiap \(a \in A\) dan \(b \in B\text{,}\)
\begin{equation*}
f( a ) = b \text{ jika dan hanya jika } f^{ - 1} ( b ) = a\text{.}
\end{equation*}
Hasil berikut memberikan informasi yang berguna tentang fungsi invers. Pembuktiannya diserahkan kepada
Latihan 8.
Corollary 2.9.
Misalkan \(A\) dan \(B\) himpunan tak kosong, serta misalkan \(f: A \to B\) suatu bijeksi. Maka
Untuk setiap \(x\) di dalam \(A\text{,}\) \(\left( f^{ - 1} \circ f \right)(x) = x\text{.}\)
Untuk setiap \(y\) di dalam \(B\text{,}\) \(\left( f \circ f^{ - 1}\right)(y) = y\text{.}\)
Pertanyaan berikutnya adalah apa yang dapat kita katakan tentang komposisi bijeksi. Secara khusus, jika \(f: A \to B\) dan \(g: B \to C\) keduanya merupakan bijeksi, maka \(f^{ - 1} : B \to A\) dan \(g^{ - 1} : C \to B\) keduanya merupakan fungsi. Apakah \(g \circ f\) pasti invertibel dan, jika demikian, apa bentuk \((g \circ f)^{-1}\text{?}\)
Kegiatan 2.7.
Misalkan \(f: A \to B\) dan \(g: B \to C\) keduanya merupakan bijeksi.
(a)
Mengapa kita mengetahui bahwa \(g \circ f\) invertibel?
(b)
Sekarang kita menentukan invers \(g \circ f\text{.}\) Kita mungkin tergoda untuk mengira bahwa \((g \circ f)^{-1}\) adalah \(g^{-1} \circ f^{-1}\text{,}\) tetapi komposit ini tidak didefinisikan karena \(g^{-1}\) memetakan \(C\) ke \(B\) dan \(f^{-1}\) memetakan \(B\) ke \(A\text{.}\) Namun, \(f^{-1} \circ g^{-1}\) didefinisikan. Untuk membuktikan bahwa \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\text{,}\) kita perlu membuktikan bahwa dua fungsi tersebut sama. Bagaimana kita membuktikan bahwa dua fungsi sama?
(c)
Misalkan \(c \in C\text{.}\)
(i)
Sifat apa yang memastikan bahwa terdapat \(b \in B\) sedemikian sehingga \(g(b) = c\text{?}\)
(ii)
Sifat apa yang memastikan bahwa terdapat \(a \in A\) sedemikian sehingga \(f(a) = b\text{?}\)
(iii)
Unsur apakah \((g \circ f)^{-1}(c)\text{?}\) Mengapa?
(iv)
Unsur apakah \(f^{-1}(b)\text{?}\) Mengapa? Unsur apakah \(g^{-1}(c)\text{?}\) Mengapa?
(v)
Unsur apakah \((f^{-1} \circ g^{-1})(c)\text{?}\) Mengapa? Kesimpulan apa yang dapat kita tarik tentang \((g \circ f)^{-1}\) dan \(f^{-1} \circ g^{-1}\text{?}\) Jelaskan.
Teorema 2.10.
Misalkan \(f: A \to B\) dan \(g: B \to C\) bijeksi. Maka \(g \circ f\) merupakan bijeksi dan \(( {g \circ f} )^{ - 1} = f^{ - 1} \circ g^{ - 1}\text{.}\)
