Kita telah mengenal barisan dalam kalkulus, dan kita dapat memperluas gagasan limit barisan ke ruang metrik. Barisan menyediakan cara lain untuk menjelaskan banyak gagasan dalam ruang metrik. Sebagai contoh, kita akan melihat bahwa kita dapat mencirikan kekontinuan dalam kaitannya dengan barisan, dan kita dapat menggunakan barisan untuk menentukan himpunan terbuka dan tertutup.
Ingat kembali dari kalkulus bahwa barisan bilangan real adalah daftar bilangan dalam urutan tertentu. Kita menuliskan barisan \(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(a_n\text{,}\)\(\ldots\) sebagai \((a_n)_{n \in \Z^+}\) atau cukup \((a_n)\text{.}\) Jika kita menganggap setiap \(a_n\) sebagai keluaran suatu fungsi, kita dapat memberikan definisi barisan yang lebih formal sebagai fungsi \(f: \Z^+ \to \R\text{,}\) dengan \(a_n = f(n)\) untuk setiap \(n\text{.}\)
Suatu barisan bilangan real \((a_n)\) konvergen ke bilangan \(L\) jika suku-sukunya dapat dibuat sedekat yang diinginkan dengan \(L\) melalui pemilihan \(n\) yang cukup besar. Sekali lagi, ini merupakan penjelasan informal yang perlu dirumuskan secara lebih tepat. Seperti yang kita lihat pada fungsi kontinu, kita dapat merumuskan gagasan “kedekatan” secara tepat dengan memperkenalkan simbol bagi suatu bilangan yang dapat dibuat sekecil apa pun. Jadi, kita dapat mengatakan bahwa suku-suku \(a_n\) dapat mendekati suatu bilangan \(L\) sedekat yang kita inginkan jika kita dapat membuat \(| a_n - L | \lt \epsilon\) untuk setiap bilangan positif \(\epsilon\text{.}\) Gagasan memilih \(n\) yang cukup besar berarti mencari suatu bilangan bulat tetap \(N\) yang cukup besar sehingga \(| a_n - L | \lt \epsilon\) jika \(n \geq N\text{.}\) Hal ini membawa kita pada definisi berikut.
Definisi9.1.
Suatu barisan bilangan real \((a_n)\) mempunyai limit \(L\) jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat bilangan bulat positif \(N\) (yang hanya bergantung pada \(\epsilon\)) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
| a_n - L | \lt \epsilon \ \text{ jika } \ n \geq N\text{.}
\end{equation*}
Ketika suatu barisan \((a_n)\) mempunyai limit \(L\text{,}\) kita menuliskan
atau cukup \(\lim a_n = L\) (karena kita mengasumsikan limit barisan diambil ketika \(n\) menuju tak hingga), dan kita mengatakan bahwa barisan \((a_n)\) konvergen ke \(L\text{.}\)
Contoh9.2.
Kita dapat menggambar grafik suatu barisan bilangan real \((a_n)\) sebagai himpunan titik \((n,a_n)\text{.}\) Dengan cara ini kita dapat memvisualisasikan suatu barisan dan limitnya. Berdasarkan definisi, \(L\) merupakan limit barisan \((a_n)\) jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) kita dapat memilih indeks yang cukup besar sehingga semua suku berikutnya terletak di dalam pita horizontal di antara garis \(y = L -\epsilon\) dan \(L+ \epsilon\text{,}\) seperti diperlihatkan pada Gambar 9.3 untuk barisan \(\left(\frac{n}{1+n}\right)\text{.}\)
Gambar9.3.Limit barisan \(\left(\frac{n}{1+n}\right)\text{.}\)
Untuk memverifikasi bahwa limit barisan \(\left(\frac{n}{1+n}\right)\) adalah \(1\text{,}\) kita mulai dengan \(\epsilon \gt 0\text{.}\)
Perhitungan awal. Sekarang kita perlu mencari \(N\) sehingga \(n \geq N\) mengakibatkan \(\left| \frac{n}{1+n} - 1 \right| \lt \epsilon\text{.}\) Seperti pada contoh kekontinuan kita, perhitungan ini bukan bagian dari bukti, tetapi menunjukkan cara kita menemukan \(N\) yang dibutuhkan. Agar \(\left| \frac{n}{1+n} - 1 \right| \lt \epsilon\text{,}\) kita memerlukan
Jadi, barisan \(\left(\frac{n}{1+n}\right)\) mempunyai limit \(1\text{.}\)
Definisi 9.1 hanya berlaku bagi barisan bilangan real. Pada akhirnya, kita ingin merumuskan definisi dengan cara yang memungkinkan kita mendefinisikan limit barisan di ruang metrik dan ruang topologi. Jadi, kita harus merumuskan ulang definisi sedemikian rupa sehingga tidak bergantung pada jarak.
Ingat bahwa \(| x-y |\) mendefinisikan metrik \(d_E\) pada \(\R\text{,}\) yaitu
Jadi, kita dapat merumuskan kembali definisi limit barisan bilangan real sebagai berikut.
Definisi9.4.Definisi Alternatif.
Suatu barisan bilangan real \((a_n)\) mempunyai limit \(L\) jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat bilangan bulat positif \(N\) (yang hanya bergantung pada \(\epsilon\)) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
d_E(a_n, L) \lt \epsilon \ \text{ jika } \ n \geq N\text{.}
\end{equation*}
Setelah kita mendeskripsikan limit barisan dalam kaitannya dengan metrik, kita dapat memperluas gagasan tersebut ke sembarang ruang metrik.
Definisi9.5.
Suatu barisan di ruang metrik \((X,d)\) adalah fungsi \(f: \Z^+ \to X\text{.}\)
Jika \(f\) merupakan barisan di \(X\text{,}\) kita menuliskan barisan yang didefinisikan oleh \(f\) sebagai \((f(n))\text{,}\) dengan \(n \in \Z^+\text{.}\) Kita juga menggunakan notasi \((a_n)\) apabila \(a_n = f(n)\text{.}\) Dengan adanya metrik pada \(X\text{,}\) kita dapat mendeskripsikan limit barisan.
Definisi9.6.
Misalkan \((X,d)\) ruang metrik. Suatu barisan \((a_n)\) di \(X\) mempunyai limit \(L \in X\) jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat bilangan bulat positif \(N\) (yang hanya bergantung pada \(\epsilon\)) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
d(a_n, L) \lt \epsilon \ \text{ jika } \ n \geq N\text{.}
\end{equation*}
Dengan kata lain, suatu barisan \((a_n)\) di ruang metrik \((X,d)\) mempunyai limit \(L \in X\) jika \(\lim d(a_n,L) = 0\) — yakni, barisan bilangan real \(d(a_n,L)\) mempunyai limit \(0\text{.}\) Sama seperti pada barisan bilangan real, ketika suatu barisan \((a_n)\) mempunyai limit \(L\text{,}\) kita mengatakan bahwa barisan \((a_n)\) konvergen ke \(L\text{,}\) atau bahwa \(L\) merupakan limit barisan \((a_n)\text{.}\)
Aktivitas Persiapan9.1.
(a)
Jelaskan mengapa barisan \(\left(\frac{1}{n}\right)\) konvergen ke 0 di \(\R\) dengan menggunakan metrik Euklides \(d_E\text{,}\) yakni
Perhatikan barisan \((a_n) = \left(\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1} \right)\right)\) di \((\R^2, d_T)\text{,}\) dengan \(d_T\) adalah metrik taksi yang didefinisikan oleh
Apakah barisan \((a_n)\) konvergen? Jika ya, tentukan limitnya dan buktikan bahwa nilai yang Anda ajukan memang merupakan limit barisan tersebut. Jika tidak, jelaskan alasannya.
(c)
Misalkan \((b_n) = \left((2n,
n^2)\right)\) di ruang metrik \((\R^2, d)\text{,}\) dengan \(d\) adalah metrik diskret yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d(x,y) = \begin{cases}0 \amp \text{ jika } x=y \\ 1 \amp \text{ jika } x \neq y. \end{cases}
\end{equation*}
Apakah barisan \((b_n)\) konvergen? Jika ya, tentukan limitnya dan buktikan bahwa nilai yang Anda ajukan memang merupakan limit barisan tersebut. Jika tidak, jelaskan alasannya.
