Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Himpunan \(A\) dan \(B\) kompak karena keduanya tertutup dalam ruang kompak \(X\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) hasil pemisahan titik dari himpunan kompak dalam ruang Hausdorff memberi himpunan terbuka \(U_a,V_a\) dengan \(a\in U_a\text{,}\) \(B\subseteq V_a\text{,}\) dan \(U_a\cap V_a=\emptyset\text{.}\)

Keluarga \(\{U_a:a\in A\}\) menyelimuti \(A\text{.}\) Pilih \(a_1,\ldots,a_n\) sehingga \(A\subseteq\bigcup_iU_{a_i}\) dan tetapkan \(U=\bigcup_iU_{a_i}\text{,}\) \(V=\bigcap_iV_{a_i}\text{.}\) Karena irisan yang membentuk \(V\) berhingga, \(U\) dan \(V\) terbuka. Setiap \(V_{a_i}\) memuat \(B\text{,}\) maka \(B\subseteq V\text{.}\) Jika suatu titik berada dalam \(U\cap V\text{,}\) titik itu berada dalam suatu \(U_{a_i}\) sekaligus dalam \(V\subseteq V_{a_i}\text{,}\) sebuah kontradiksi. Jadi \(U\cap V=\emptyset\) dan \(X\) normal.

Setiap subhimpunan berhingga kompak. Sebaliknya, misalkan \(A\) tak hingga. Jika \(p\in A\text{,}\) keluarga \(\{\{p,a\}:a\in A\setminus\{p\}\}\) terdiri atas himpunan terbuka dan menyelimuti \(A\text{,}\) tetapi gabungan berhingga anggotanya hanya memuat berhingga banyak titik \(A\text{.}\)

Jika \(p\notin A\text{,}\) pilih \(a_0\in A\) dan gunakan keluarga \(\{\{p,a\}:a\in A\}\text{.}\) Keluarga ini juga merupakan selimut buka bagi \(A\) dan tidak mempunyai subselimut berhingga. Jadi tidak ada subhimpunan tak hingga yang kompak, dan klasifikasinya tepat semua subhimpunan berhingga.

Jika \(p\in A\text{,}\) setiap selimut buka bagi \(A\) harus mempunyai anggota yang memuat \(p\text{.}\) Dalam topologi ini, satu-satunya himpunan terbuka yang memuat \(p\) adalah \(X\text{.}\) Anggota itu sendiri menyelimuti \(A\text{,}\) sehingga \(A\) kompak. Setiap \(A\) berhingga juga kompak, terlepas dari apakah \(p\in A\text{.}\)

Sekarang misalkan \(p\notin A\) dan \(A\) tak hingga. Setiap subhimpunan \(A\) terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga topologi subruang pada \(A\) diskret. Selimut oleh semua himpunan satu titik \(\{\{a\}:a\in A\}\) tidak mempunyai subselimut berhingga. Maka \(A\) tidak kompak. Kedua arah membuktikan klasifikasi tersebut.

Berdasarkan definisi \(\tau_{FC}\text{,}\) suatu himpunan tak kosong terbuka tepat ketika komplemennya berhingga. Komplemen dari \(\Z\setminus\{n\}\) adalah himpunan satu titik \(\{n\}\text{,}\) yang berhingga. Maka \(\Z\setminus\{n\}\) terbuka, sehingga \(\{n\}\) tertutup. Argumen ini berlaku bagi setiap \(n\in\Z\text{.}\)

Jika \(U\cap\E\) terbuka dan tak kosong dalam subruang \(\E\text{,}\) dengan \(U\) terbuka dalam \(\Z\text{,}\) maka \(\E\setminus(U\cap\E)=\E\cap(\Z\setminus U)\) berhingga. Sebaliknya, setiap subhimpunan \(W\subseteq\E\) yang berkomplemen berhingga dalam \(\E\) dapat ditulis \(W=\E\cap(\Z\setminus(\E\setminus W))\text{,}\) dan himpunan kedua pada irisan itu terbuka dalam \(\Z\text{.}\) Jadi topologi subruangnya kofinit.

Dari selimut buka bagi \(\E\text{,}\) pilih satu anggota tak kosong. Anggota itu menyisakan berhingga banyak titik \(\E\text{;}\) pilih satu anggota selimut tambahan bagi setiap titik yang tersisa. Maka \(\E\) kompak. Namun \(\Z\setminus\E\) adalah himpunan semua bilangan ganjil. Komplemennya \(\E\) tak hingga, sehingga himpunan ganjil itu tidak terbuka dalam topologi kofinit. Jadi \(\E\) tidak tertutup.

Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) sifat Hausdorff memberi himpunan terbuka saling lepas \(U_a,V_a\) dengan \(x\in U_a\) dan \(a\in V_a\text{.}\) Keluarga \(\{V_a:a\in A\}\) menyelimuti \(A\text{,}\) maka ada \(a_1,\ldots,a_n\) sehingga \(A\subseteq\bigcup_iV_{a_i}\text{.}\) Tetapkan \(U=\bigcap_iU_{a_i}\) dan \(V=\bigcup_iV_{a_i}\text{.}\) Keduanya terbuka, memuat objek yang diminta, dan saling lepas: titik dalam \(U\cap V\) akan berada dalam suatu \(V_{a_i}\) sekaligus dalam \(U\subseteq U_{a_i}\text{.}\)

Andaikan \(A\) kompak sebagai subhimpunan \(X\text{.}\) Ambil selimut \(\{W_i:i\in I\}\) bagi \(A\) oleh himpunan-himpunan yang terbuka dalam topologi subruang. Untuk setiap \(i\text{,}\) pilih himpunan terbuka \(U_i\subseteq X\) dengan \(W_i=A\cap U_i\text{.}\) Maka \(\{U_i:i\in I\}\) menyelimuti \(A\) secara ambient, sehingga berhingga banyak \(U_i\) cukup. Irisannya dengan \(A\) memberi subselimut berhingga dari keluarga \(W_i\text{.}\)

Sebaliknya, andaikan \((A,\tau_A)\) kompak dan ambil selimut ambient \(\{U_i:i\in I\}\) bagi \(A\text{.}\) Keluarga \(\{A\cap U_i:i\in I\}\) adalah selimut buka subruang, maka mempunyai subselimut berhingga. Himpunan-himpunan ambient dengan indeks yang sama menyelimuti \(A\text{.}\) Jadi kedua pengertian kekompakan itu ekuivalen.

Andaikan \(X\) kompak dan keluarga tertutup \(\{F_\alpha\}\) mempunyai sifat irisan berhingga. Jika irisan totalnya kosong, maka \(\{X\setminus F_\alpha\}\) merupakan selimut buka bagi \(X\text{.}\) Subselimut berhingga akan memberi \(\bigcap_{k=1}^nF_{\alpha_k}=\emptyset\text{,}\) bertentangan dengan sifat irisan berhingga. Maka irisan total tidak kosong.

Sebaliknya, andaikan syarat keluarga tertutup berlaku. Jika suatu selimut buka \(\{U_\alpha\}\) tidak mempunyai subselimut berhingga, maka himpunan-himpunan tertutup \(F_\alpha=X\setminus U_\alpha\) mempunyai sifat irisan berhingga. Namun karena \(\{U_\alpha\}\) menyelimuti \(X\text{,}\) hukum De Morgan memberi \(\bigcap_\alpha F_\alpha=\emptyset\text{,}\) sebuah kontradiksi. Maka setiap selimut buka mempunyai subselimut berhingga dan \(X\) kompak.

Ambil sembarang \(x\in\R^n\) dan tetapkan \(O=B_1(x)=\{y:d_E(x,y)<1\}\text{.}\) Himpunan \(O\) terbuka dan memuat \(x\text{.}\) Dalam topologi Euklides, \(\overline O=\{y:d_E(x,y)\le1\}\text{.}\) Bola tertutup ini tertutup dan terbatas dalam \(\R^n\text{,}\) maka kompak berdasarkan Teorema Heine–Borel. Karena konstruksi berlaku pada setiap titik, \(\R^n\) kompak lokal.

Untuk sembarang \(x\in X\text{,}\) himpunan \(O=X\) adalah himpunan terbuka yang memuat \(x\text{.}\) Tutupannya dalam \(X\) adalah \(\overline X=X\text{,}\) yang kompak menurut hipotesis. Jadi syarat kekompakan lokal terpenuhi pada setiap titik tanpa memerlukan aksioma pemisahan tambahan.

Jika \(x<y\text{,}\) maka \([x,y)\) dan \([y,y+1)\) adalah himpunan terbuka basis, masing-masing memuat \(x\) dan \(y\text{,}\) serta saling lepas. Jadi garis Sorgenfrey Hausdorff.

Jika \(\overline O\) kompak, maka subhimpunan \([x,b)\text{,}\) yang tertutup dalam \(\overline O\text{,}\) juga kompak, sebuah kontradiksi. Tidak ada titik yang mempunyai lingkungan terbuka dengan tutupan kompak, sehingga garis Sorgenfrey tidak kompak lokal.

Ambil \(S=\{0,1\}\text{.}\) Beri domain \(X=S\) topologi diskret dan kodomain \(Y=S\) topologi indiskret \(\{\emptyset,S\}\text{.}\) Kedua ruang kompak karena berhingga. Pemetaan identitas \(f:X\to Y\) bijektif. Prapeta satu-satunya himpunan terbuka kodomain adalah \(\emptyset\) dan \(S\text{,}\) keduanya terbuka dalam \(X\text{;}\) jadi \(f\) kontinu.

Namun invers \(f^{-1}:Y\to X\) tidak kontinu: himpunan \(\{0\}\) terbuka dalam kodomain \(X\) dari invers, sedangkan prapetanya \(\{0\}\) tidak terbuka dalam \(Y\text{.}\) Hipotesis yang hilang adalah sifat Hausdorff pada \(Y\text{;}\) dengan hipotesis itu, bijeksi kontinu dari ruang kompak memang homeomorfisme.