Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Kekompakan \(X\) memberi subselimut berhingga. Hapus \(X\setminus C\) jika ia terpilih. Himpunan-himpunan \(U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\) yang tersisa masih menyelimuti \(C\text{,}\) sebab \(X\setminus C\) tidak memuat titik \(C\text{.}\) Maka \(W_{\alpha_i}=C\cap U_{\alpha_i}\) untuk \(1\leq i\leq n\) membentuk subselimut berhingga dari selimut semula. Jadi \(C\) kompak.

Ambil \(S=\{0,1\}\text{.}\) Jadikan \(X=S\) ruang diskret dan \(Y=S\) ruang indiskret dengan topologi \(\{\emptyset,S\}\text{.}\) Ruang diskret \(X\) Hausdorff: dua titik berbeda dipisahkan oleh singleton yang saling lepas. Ruang \(Y\) kompak, baik karena berhingga maupun karena setiap selimut bukanya harus memuat \(S\) sendiri.

Pemetaan identitas \(f:X\to Y\) bijektif. Prapeta kedua himpunan terbuka kodomain, \(\emptyset\) dan \(S\text{,}\) terbuka dalam \(X\text{,}\) jadi \(f\) kontinu. Namun invers \(f^{-1}:Y\to X\) tidak kontinu: singleton \(\{0\}\) terbuka dalam kodomain \(X\) dari invers, sedangkan prapetanya \(\{0\}\) tidak terbuka dalam \(Y\text{.}\) Jadi \(f\) bukan homeomorfisme. Hipotesis yang ditempatkan pada ruang yang keliru adalah kekompakan: teorema yang benar memerlukan domain kompak dan kodomain Hausdorff.

Ambil sebarang himpunan tertutup \(C\subseteq X\text{.}\) Karena \(X\) kompak, subhimpunan tertutup \(C\) kompak. Kekontinuan \(f\) kemudian membuat \(f(C)\) kompak dalam \(Y\text{.}\) Setiap subhimpunan kompak dari ruang Hausdorff tertutup, jadi \(f(C)\) tertutup dalam \(Y\text{.}\) Dengan demikian \(f\) adalah pemetaan tertutup.

Karena \(f\) bijektif, invers \(g=f^{-1}:Y\to X\) terdefinisi. Untuk setiap himpunan tertutup \(C\subseteq X\text{,}\) berlaku \(g^{-1}(C)=f(C)\text{,}\) yang tertutup dalam \(Y\text{.}\) Jadi prapeta oleh \(g\) dari setiap himpunan tertutup adalah tertutup; ini ekuivalen dengan kekontinuan \(g\text{.}\) Maka \(f\) kontinu, bijektif, dan mempunyai invers kontinu, sehingga \(f\) homeomorfisme.

Beri \(X=\R\) metrik Euklides dan ambil \(C=\R\text{.}\) Himpunan \(C\) tertutup dalam \(X\) karena komplemennya \(X\setminus C=\emptyset\) terbuka.

Untuk \(n\in\Z^+\text{,}\) tetapkan \(U_n=(-n,n)\text{.}\) Setiap \(U_n\) terbuka dan \(\bigcup_{n=1}^{\infty}U_n=\R\text{,}\) sehingga keluarga tersebut menyelimuti \(C\text{.}\) Jika hanya berhingga banyak anggota dipilih dan \(N\) adalah indeks terbesarnya, gabungannya sama dengan \((-N,N)\) dan tidak memuat, misalnya, titik \(N\text{.}\) Jadi tidak ada subselimut berhingga dan \(C\) tidak kompak. Ketertutupan saja dalam ruang metrik sebarang tidak cukup; dalam ruang kompak, barulah setiap subhimpunan tertutup kompak.

Ambil \(X=\{0,1\}\) dengan topologi indiskret \(\tau=\{\emptyset,X\}\text{,}\) dan ambil \(A=\{0\}\text{.}\) Himpunan \(A\) kompak: dari selimut buka sebarang bagi singleton tersebut, pilih satu anggota selimut yang memuat \(0\text{;}\) satu anggota itu sudah merupakan subselimut berhingga.

Namun \(X\setminus A=\{1\}\) bukan anggota \(\tau\text{,}\) sehingga komplemen \(A\) tidak terbuka. Jadi \(A\) tidak tertutup. Pernyataan menjadi benar jika ruang ambient \(X\) Hausdorff, tetapi hipotesis tersebut tidak diberikan di sini.

Andaikan dahulu \(X\) berhingga. Untuk selimut buka sebarang bagi \(X\text{,}\) pilih satu anggota selimut yang memuat setiap titik. Karena hanya ada berhingga banyak titik, pilihan ini menghasilkan subselimut berhingga. Jadi \(X\) kompak; argumen juga mencakup \(X=\emptyset\) dengan subselimut kosong.