Bagian Contoh-Contoh Topologi
Dalam kegiatan pendahuluan kita telah melihat beberapa contoh topologi. Misalkan \(X\) suatu himpunan tak kosong.
Topologi yang terdiri dari semua subhimpunan \(X\) disebut topologi diskret.
Topologi \(\{\emptyset, X\}\) adalah topologi indiskret.
Jika \((X,d)\) merupakan ruang metrik, maka koleksi yang terdiri dari gabungan semua bola terbuka merupakan topologi yang disebut topologi metrik. Hasil ini memberi tahu kita bahwa setiap ruang metrik merupakan ruang topologi di bawah topologi metrik. Kelak kita akan melihat bahwa tidak setiap ruang topologi merupakan ruang metrik.
Topologi diskret dan indiskret dapat didefinisikan pada himpunan apa pun dan sering digunakan untuk membuat contoh. Topologi lain yang dapat didefinisikan pada himpunan apa pun dibahas dalam kegiatan berikutnya.
Kegiatan 12.2.
Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\tau_{FC}\) terdiri dari himpunan kosong beserta semua subhimpunan \(O\) dari \(X\) sedemikian sehingga \(X \setminus O\) berhingga.
(a)
Buktikan bahwa \(\tau_{FC}\) merupakan topologi pada \(X\text{.}\) (Topologi \(\tau_{FC}\) disebut topologi komplemen berhingga atau topologi kofinit.
(b)
Jelaskan mengapa \(\tau_{FC}\) merupakan topologi diskret ketika \(X\) berhingga.
