Kegiatan 15.4.
Misalkan \(a\) dan \(b\) bilangan real dengan \(a \lt b\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \((\R, d_E)\) homeomorfik dengan \((a,b)\text{,}\) kita memerlukan bijeksi kontinu dari \(\R\) ke \((a,b)\) yang fungsi inversnya juga kontinu.
(a)
Pertama, kita tunjukkan bahwa \((0,1)\) dan \(\R\) homeomorfik dengan menggunakan topologi metrik Euklides. Definisikan \(f : (0,1) \to \R\) dengan
\begin{equation*}
f(x) = \tan\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)\text{.}
\end{equation*}
(i)
Jelaskan mengapa \(f\) memetakan \((0,1)\) ke \(\R\text{.}\)
(ii)
Jelaskan mengapa \(f\) merupakan injeksi.
(iii)
Jelaskan mengapa \(f\) merupakan surjeksi.
(iv)
Jelaskan mengapa \(f\) dan \(f^{-1}\) kontinu.
Petunjuk.
Gunakan suatu hasil dari kalkulus.
(b)
Hasil dari (a) adalah bahwa \(\R\) dan \((0,1)\) merupakan ruang-ruang yang homeomorfik. Untuk melengkapi argumen bahwa \(\R\) homeomorfik dengan \((a,b)\text{,}\) definisikan fungsi \(g: (0,1) \to (a,b)\) dan jelaskan mengapa fungsi \(g\) yang Anda peroleh merupakan homeomorfisme.
