Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Himpunan terbuka yang memuat \(a\) adalah \(\{a\}\text{,}\) \(\{a,b\}\text{,}\) dan \(X\text{.}\) Jika \(N\) memuat \(a\text{,}\) maka \(\{a\}\subseteq N\text{;}\) karena \(\{a\}\) terbuka dan memuat \(a\text{,}\) definisi langsung menyatakan bahwa \(N\) adalah lingkungan \(a\text{.}\) Sebaliknya, setiap lingkungan \(N\) harus memuat suatu himpunan terbuka yang memuat \(a\text{,}\) sehingga khususnya \(a\in N\text{.}\) Jadi lingkungan titik \(a\) tepat merupakan delapan subhimpunan \(X\) yang tercantum dalam jawaban.

Rubrik penilaian. Jawaban lengkap (3 poin) menyebutkan kriteria \(a\in N\) dan seluruh delapan himpunan; jawaban yang mencantumkan kriteria tetapi melewatkan satu atau lebih himpunan memperoleh 2 poin; daftar tanpa alasan memperoleh 1 poin.

Dari daftar topologi, satu-satunya himpunan terbuka yang memuat \(c\) adalah \(X\text{.}\) Jika \(N\) merupakan lingkungan \(c\text{,}\) definisi mengharuskan ada himpunan terbuka \(U\) dengan \(c\in U\subseteq N\text{.}\) Hanya mungkin \(U=X\text{,}\) sehingga \(X\subseteq N\subseteq X\) dan akhirnya \(N=X\text{.}\) Sebaliknya, \(X\) memang lingkungan setiap titik karena \(X\) terbuka.

Rubrik penilaian. Tiga poin diberikan bila jawaban menyatakan \(X\) dan mengaitkannya dengan fakta bahwa \(X\) adalah satu-satunya himpunan terbuka yang memuat \(c\text{;}\) satu poin diberikan untuk daftar yang benar tanpa penjelasan.

Karena \(O\) adalah lingkungan setiap titiknya, untuk setiap \(a\in O\) ada himpunan terbuka \(O_a\) yang memenuhi \(a\in O_a\subseteq O\text{.}\) Definisikan \(U=\bigcup_{a\in O}O_a\text{.}\) Setiap \(O_a\) berada di dalam \(O\text{,}\) jadi \(U\subseteq O\text{.}\) Sebaliknya, setiap \(a\in O\) berada dalam \(O_a\subseteq U\text{,}\) jadi \(O\subseteq U\text{.}\) Maka \(O=U\text{.}\) Karena \(U\) merupakan gabungan sebarang anggota \(\tau\text{,}\) aksioma topologi memberi \(U\in\tau\text{,}\) dan akibatnya \(O\) terbuka. Jika \(O=\emptyset\text{,}\) gabungan kosong tersebut adalah \(\emptyset\text{,}\) yang juga terbuka.

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk pemilihan satu \(O_a\) per titik, 1 poin untuk kedua inklusi, dan 1 poin untuk penggunaan aksioma gabungan sebarang (termasuk kasus kosong).

Definisi menyatakan bahwa \(N\) adalah lingkungan \(a\) tepat ketika ada \(U\in\tau\) sehingga \(a\in U\subseteq N\text{.}\) Terapkan pernyataan ini dengan \(N=O\text{.}\) Hipotesis Panduan 23 mengatakan bahwa penerapan itu sah untuk setiap \(a\in O\text{,}\) jadi diperoleh \(U_a\in\tau\) dengan \(a\in U_a\subseteq O\text{.}\) Menamai ulang \(U_a\) sebagai \(O_a\) menghasilkan tepat himpunan yang diperlukan; nama itu hanya mengingatkan bahwa pilihannya dapat bergantung pada titik \(a\text{.}\)

Rubrik penilaian. Jawaban penuh (3 poin) menyebutkan bahwa hipotesis berlaku untuk setiap \(a\in O\text{,}\) menyatakan \(U_a\in\tau\text{,}\) dan menuliskan dua inklusi yang benar.

Untuk arah yang belum dibuktikan, andaikan \(O\) merupakan lingkungan dari setiap titik \(a\in O\text{.}\) Maka untuk setiap titik tersebut terdapat \(O_a\in\tau\) sehingga \(a\in O_a\subseteq O\text{.}\) Letakkan \(U=\bigcup_{a\in O}O_a\text{.}\) Dari inklusi \(O_a\subseteq O\) untuk semua \(a\text{,}\) diperoleh \(U\subseteq O\text{.}\) Jika \(a\in O\text{,}\) maka \(a\in O_a\subseteq U\text{,}\) sehingga \(O\subseteq U\text{.}\) Jadi \(O=U\text{.}\) Aksioma topologi menyatakan bahwa gabungan sebarang anggota \(\tau\) adalah anggota \(\tau\text{,}\) maka \(U\in\tau\) dan \(O\in\tau\text{.}\) Untuk \(O=\emptyset\text{,}\) indeks gabungan kosong memberi \(U=\emptyset\in\tau\text{,}\) sehingga argumen tetap berlaku. Bersama arah pertama pada teorema sumber—himpunan terbuka merupakan lingkungan setiap titiknya—ini menyelesaikan karakterisasi tersebut.

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk menghubungkan hipotesis dengan pilihan \(O_a\text{,}\) 1 poin untuk kesetaraan gabungan, 1 poin untuk aksioma gabungan, dan 1 poin untuk menyebutkan arah pertama atau menangani kasus \(O=\emptyset\text{.}\)