Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik, \(x \in X\text{,}\) dan \(A\) adalah subhimpunan tak kosong dari \(X\text{.}\) Maka terdapat barisan \((a_n)\) di \(A\) sedemikian sehingga
Misalkan \(A\) adalah subhimpunan dari \(\R\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa jika \(A\) terbatas di atas, maka terdapat barisan \((a_n)\) di \(A\) sedemikian sehingga \(\lim a_n = \sup(A)\text{.}\)
(b)
Tunjukkan bahwa jika \(A\) terbatas di bawah, maka terdapat barisan \((a_n)\) di \(A\) sedemikian sehingga \(\lim a_n = \inf(A)\text{.}\)
(c)
Apakah limit pada (a) atau (b) harus berada di \(A\text{?}\) Jelaskan.
3.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik, \(x \in X\text{,}\) dan \(A\) adalah subhimpunan tak kosong dari \(X\text{.}\) Ingat bahwa jarak dari \(x\) ke \(A\) adalah
\begin{equation*}
d(x,A) = \inf \{d(x,a) \mid a \in A\}\text{.}
\end{equation*}
Dalam latihan ini, kita akan melihat cara memandang jarak antara suatu titik dan suatu himpunan melalui barisan. Misalkan \(m = d(x,A)\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa harus ada barisan \((a_n)\) di \(A\) sedemikian sehingga \(d(x,A) = \lim d(x,a_n)\text{.}\)
(a)
Untuk setiap \(n \in \Z^+\text{,}\) misalkan \(B_n = B\left(x;m+\frac{1}{n}\right)\text{.}\) Mengapa harus berlaku \(B_n \cap A \neq \emptyset\) untuk setiap \(n \in \Z^+\text{?}\)
(b)
Pilih \(a_n \in B_n \cap A\) untuk setiap \(n\text{.}\) Sifat apakah yang dimiliki barisan ini? Jelaskan mengapa langkah-langkah di atas membuktikan teorema berikut.
4.
(a)
Misalkan \((Y,d')\) adalah subruang dari \((X,d)\text{.}\) Misalkan \(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(\ldots\) adalah barisan titik di \(Y\) dan misalkan \(a \in Y\text{.}\) Buktikan bahwa jika \(\lim_n a_n = a\) dalam \((Y,d')\text{,}\) maka \(\lim_n a_n = a\) dalam \((X,d)\text{.}\)
(b)
Pernyataan sebaliknya secara harfiah dari bagian (a), dengan semua hipotesisnya dipertahankan, sebenarnya benar; jelaskan alasannya. Contoh berikut menunjukkan fenomena yang berbeda: suatu barisan titik di subruang dapat konvergen di ruang ambien menuju titik di luar subruang sehingga tidak konvergen di subruang. Tinjaulah subruang \((\Q, d_{\Q})\) (bilangan rasional) dari \((\R,d)\text{.}\) Misalkan \(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(\ldots\) adalah barisan bilangan rasional sedemikian sehingga \(\lim_n a_n = \sqrt{2}\) dalam ruang ambien; limit ambien ini tidak terletak di subruang bilangan rasional. Buktikan bahwa, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga untuk \(n,
m \gt N\text{,}\)\(|a_n - a_m | \lt \epsilon\text{.}\) Apakah barisan \(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(\ldots\) konvergen jika dipandang sebagai barisan titik di \(\Q\text{?}\)
5.
Dalam latihan ini, kita membuktikan beberapa hasil standar dari kalkulus mengenai limit barisan. Misalkan \((a_n)\) dan \((b_n)\) adalah barisan konvergen dalam ruang metrik \((\R,d_E)\text{.}\)
(a)
Tunjukkan bahwa \(\lim ka_n = k \lim a_n\) untuk setiap bilangan real \(k\text{.}\)
Tunjukkan bahwa barisan \((a_n)\) terbatas. Artinya, tunjukkan bahwa terdapat bilangan real positif \(M\) sedemikian sehingga \(|a_n| \leq M\) untuk semua \(n \in \Z^+\text{.}\)
(d)
Tunjukkan bahwa \(\lim a_nb_n = \lim a_n \ \lim b_n\text{.}\)
(e)
Jika \(b_n \neq 0\) untuk setiap \(n\) dan \(\lim b_n \neq 0\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim a_n}{\lim b_n}\text{.}\)
6.
Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi kontinu dari \(\R\) ke \(\R\text{,}\) dengan metrik Euklides standar pada keduanya. Definisikan fungsi \(fg\) dari \(\R\) ke \(\R\) dengan
\begin{equation*}
(fg)(x) = f(x)g(x) \text{ untuk setiap } x \in \R\text{.}
\end{equation*}
(a)
Buktikan bahwa \(fg\) adalah fungsi kontinu.
(b)
Andaikan \(g(x) \neq 0\) untuk setiap \(x \in \R\text{.}\) Definisikan fungsi \(\frac{f}{g}\) dari \(\R\) ke \(\R\) dengan \(\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) untuk setiap \(x \in \R\text{.}\) Gunakan definisi kekontinuan untuk membuktikan bahwa \(\frac{f}{g}\) adalah fungsi kontinu.
7.
Misalkan \((c_n) = (a_n,b_n)\) menyatakan barisan dalam \((\R^2, d_E)\text{;}\) setiap sukunya adalah pasangan dari suku-suku berindeks sama dalam kedua barisan koordinat. Tunjukkan bahwa barisan \((c_n)\) konvergen ke titik \((a,b)\) jika dan hanya jika \((a_n)\) konvergen ke \(a\) dan \((b_n)\) konvergen ke \(b\) dalam \((\R, d_E)\text{.}\)
8.
Definisikan \(f : (\R,d_E) \to (\R,d_E)\) dengan
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases}0 \amp \text{ jika } x \text{ irasional } \\ x \amp \text{ jika } x \text{ rasional. } \end{cases}
\end{equation*}
(a)
Untuk fungsi \(f\) di atas, andaikan kedua salinan \(\R\) dilengkapi dengan topologi Euklides. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu tepat di satu titik.
(b)
Modifikasilah fungsi \(f\) untuk membentuk fungsi baru \(g: \R \to \R\) sedemikian sehingga \(g\) kontinu tepat di bilangan \(0\) dan \(1\text{.}\) Buktikan hasil Anda. Dapatkah Anda melihat cara memperluas konstruksi ini untuk membentuk fungsi \(h: \R \to \R\) yang kontinu tepat pada sebarang himpunan berhingga dari titik-titik yang telah ditentukan?
9.
Misalkan \(X\) adalah himpunan fungsi bernilai real pada interval \([0,1]\) dan misalkan \(d\) adalah metrik pada \(X\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d(f,g) = \sup\{|f(x)-g(x)| \mid x \in [0,1]\}\text{.}
\end{equation*}
(Lihat Latihan 4.) Dalam latihan ini, kita menyelidiki perbedaan antara konvergensi titik demi titik suatu barisan fungsi dan konvergensi dalam ruang metrik \((X,d)\text{.}\) Untuk setiap \(n \in \Z^+\text{,}\) definisikan \(f_n :[0,1] \to \R\) dengan \(f_n(x) = x^n\text{.}\)
(a)
Misalkan \(0 \leq a \lt 1\text{.}\) Tunjukkan bahwa barisan \((a_n)\) dengan \(a_n = a^n\) konvergen ke \(0\) dalam \((\R, d_E)\text{.}\)
(b)
Karena barisan \((1)\) konvergen ke \(1\text{,}\) jika kita memperhatikan perilakunya di setiap titik, kita mungkin menduga bahwa barisan \((f_n)\) konvergen ke fungsi \(f\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation}
f(x) = \begin{cases} 0 \amp \text{ jika } x \neq 1 \\ 1 \amp \text{ jika } x=1. \end{cases}\tag{9.1}
\end{equation}
Tentukan apakah barisan \((f_n)\) konvergen ke \(f\) dalam ruang metrik \((X,d)\text{.}\)
(c)
Sekarang, andaikan kita memandang barisan \((f_n)\) sebagai barisan fungsi dalam \(C[0,1]\text{,}\) yaitu ruang fungsi kontinu dari \([0,1]\) ke \(\R\text{,}\) dengan metrik
(Lihat Kegiatan 3.2.) Fungsi pada (9.1) bukan fungsi kontinu, sehingga tidak dapat menjadi limit barisan \((f_n)\) dalam \(C[0,1]\text{.}\) Tentukan apakah barisan \((f_n)\) memiliki limit dalam \(C[0,1]\text{.}\) Jika ya, apakah limitnya? Jika tidak, buktikan bahwa barisan tersebut tidak memiliki limit.
10.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \((a_n)\) adalah barisan dalam \((\R, d_E)\) dengan \(a_{n+1} \lt a_n\) untuk setiap \(n \in \Z^+\) dan himpunan \(\{a_n\}\) terbatas di bawah, maka \(\inf \{a_n \mid n \in \Z^+\}\) adalah limit barisan \((a_n)\text{.}\)
(b)
Misalkan \(X\) adalah ruang metrik dan \(A\) subhimpunan tak kosong dari \(X\text{.}\) Jika \(a \in X\) dan \(B(a,r)\) dalam \(X\) memuat suatu titik dari \(A\) untuk setiap \(r \gt 0\text{,}\) maka terdapat barisan di \(A\) yang konvergen ke \(a\text{.}\)
(c)
Misalkan \(R\) adalah subhimpunan tak kosong dari \(\R\) yang terbatas di atas dan di bawah. Jika \(S\) adalah subhimpunan tak kosong dari \(\R\) dan \(x \leq y\) untuk semua \(x \in S\) dan semua \(y \in R\text{,}\) maka \(\sup(S) \leq \inf(R)\text{.}\)
(d)
Barisan \(\left(\frac{1}{n}\right)\) konvergen ke \(0\) dalam ruang metrik \(Q\) yang terdiri dari semua bilangan rasional dalam bentuk paling sederhana, dengan metrik \(d\) yang didefinisikan oleh
Satu-satunya barisan konvergen dalam ruang metrik \((X,d)\) dengan metrik diskret \(d\) adalah barisan yang pada akhirnya konstan. (Barisan \((a_n)\) dalam ruang metrik \(X\) disebut pada akhirnya konstan jika terdapat unsur \(a \in X\) dan \(N \in \Z^+\) sedemikian sehingga \(a_n = a\) untuk semua \(n \geq N\text{.}\))
