Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan Bab 16, bagian pertama

Bagian ini mengikuti urutan fisik sumber untuk sepuluh prompt latihan pertama tentang ruang kuosien. Setiap pernyataan dibuat mandiri dan disertai petunjuk bertahap, jawaban atau rubrik pembuktian ringkas, serta solusi lengkap. Bagian ini merupakan materi pendamping tidak resmi yang ditulis secara terpisah, dilisensikan dengan CC BY 4.0, bukan materi resmi GVSU, dan tidak menyiratkan dukungan penulis sumber.
Misalkan \(X\) ruang topologi, \(Y\) suatu himpunan, dan \(p:X\to Y\) suatu surjeksi. Pada \(X\text{,}\) definisikan \(x\sim_p y\) jika dan hanya jika \(p(x)=p(y)\text{.}\) Buktikan bahwa \(\sim_p\) merupakan relasi ekuivalensi.
Petunjuk.
Tahap 1. Periksa refleksivitas dengan membandingkan \(p(x)\) dengan dirinya sendiri, lalu gunakan simetri kesamaan untuk memeriksa simetri relasi.
Tahap 2. Untuk transitivitas, mulai dari \(p(x)=p(y)\) dan \(p(y)=p(z)\text{.}\) Perhatikan bahwa kesurjektifan tidak diperlukan untuk ketiga pemeriksaan ini.
Jawaban.
Rubrik pembuktian: tunjukkan secara terpisah refleksivitas, simetri, dan transitivitas. Ketiganya mengikuti sifat-sifat kesamaan dalam \(Y\text{.}\)
Solusi.
Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) berlaku \(p(x)=p(x)\text{,}\) sehingga \(x\sim_p x\text{;}\) jadi relasi ini refleksif. Jika \(x\sim_p y\text{,}\) maka \(p(x)=p(y)\text{.}\) Simetri kesamaan memberi \(p(y)=p(x)\text{,}\) sehingga \(y\sim_p x\text{;}\) jadi relasi ini simetris.
Terakhir, jika \(x\sim_p y\) dan \(y\sim_p z\text{,}\) maka \(p(x)=p(y)\) dan \(p(y)=p(z)\text{.}\) Transitivitas kesamaan menghasilkan \(p(x)=p(z)\text{,}\) sehingga \(x\sim_p z\text{.}\) Dengan demikian \(\sim_p\) refleksif, simetris, dan transitif, maka merupakan relasi ekuivalensi. Kesurjektifan \(p\) memastikan setiap unsur \(Y\) mempunyai serat, tetapi tidak dibutuhkan untuk membuktikan ketiga sifat relasi tersebut.
Beri \(\R\) topologi standar dan definisikan surjeksi \(p:\R\to\{a,b,c\}\) dengan
\begin{equation*} p(x)=\begin{cases} a \amp \text{jika }x\lt 0,\\ b \amp \text{jika }x=0,\\ c \amp \text{jika }x\gt 0. \end{cases} \end{equation*}
Tentukan topologi kuosien pada \(\{a,b,c\}\) yang ditentukan oleh \(p\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Tuliskan serat \(p^{-1}(\{a\})\text{,}\) \(p^{-1}(\{b\})\text{,}\) dan \(p^{-1}(\{c\})\text{.}\)
Tahap 2. Ada hanya delapan subhimpunan kodomain. Uji satu per satu dengan definisi: \(U\) terbuka dalam topologi kuosien tepat ketika \(p^{-1}(U)\) terbuka dalam \(\R\text{.}\)
Jawaban.
Topologi kuosiennya adalah
\begin{equation*} \tau_p=\{\emptyset,\{a\},\{c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}. \end{equation*}
Solusi.
Ketiga seratnya ialah \((-\infty,0)\text{,}\) \(\{0\}\text{,}\) dan \((0,\infty)\text{,}\) berturut-turut. Prapeta \(\emptyset\) dan seluruh kodomain adalah \(\emptyset\) dan \(\R\text{,}\) jadi keduanya terbuka. Selain itu,
\begin{equation*} p^{-1}(\{a\})=(-\infty,0),\qquad p^{-1}(\{c\})=(0,\infty), \end{equation*}
serta \(p^{-1}(\{a,c\})=\R\setminus\{0\}\text{;}\) ketiga himpunan ini terbuka.
Subhimpunan lain yang masih perlu diuji mempunyai prapeta \(\{0\}\text{,}\) \((-\infty,0]\text{,}\) atau \([0,\infty)\text{,}\) masing-masing untuk \(\{b\}\text{,}\) \(\{a,b\}\text{,}\) atau \(\{b,c\}\text{.}\) Tidak satu pun terbuka dalam topologi standar pada \(\R\text{.}\) Karena semua delapan subhimpunan telah diperiksa, koleksi dalam jawaban tepat merupakan topologi kuosien.
Pada \(\R^2\text{,}\) definisikan \((x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)\) jika dan hanya jika \(x_2-x_1\in\Z\) dan \(y_2-y_1\in\Z\text{.}\) Buktikan bahwa \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi.
Petunjuk.
Tahap 1. Untuk refleksivitas dan simetri, gunakan bahwa \(0\in\Z\) dan bahwa lawan suatu bilangan bulat tetap bilangan bulat.
Tahap 2. Untuk transitivitas, jumlahkan selisih koordinat dari pasangan pertama dan pasangan kedua.
Jawaban.
Rubrik pembuktian: verifikasi ketiga aksioma pada kedua koordinat; gunakan ketertutupan \(\Z\) terhadap pengambilan lawan dan penjumlahan.
Solusi.
Untuk \(u=(x,y)\in\R^2\text{,}\) kedua selisih koordinat \(x-x\) dan \(y-y\) adalah \(0\in\Z\text{,}\) sehingga \(u\sim u\text{.}\) Jika \(u=(x_1,y_1)\sim v=(x_2,y_2)\text{,}\) maka \(x_2-x_1\) dan \(y_2-y_1\) bilangan bulat. Lawannya, \(x_1-x_2\) dan \(y_1-y_2\text{,}\) juga bilangan bulat, sehingga \(v\sim u\text{.}\)
Jika juga \(v\sim w=(x_3,y_3)\text{,}\) maka
\begin{equation*} x_3-x_1=(x_3-x_2)+(x_2-x_1)\in\Z \end{equation*}
dan, dengan cara yang sama, \(y_3-y_1=(y_3-y_2)+(y_2-y_1)\in\Z\text{.}\) Jadi \(u\sim w\text{.}\) Relasi tersebut refleksif, simetris, dan transitif, maka merupakan relasi ekuivalensi.
Pada \(\R^2\) dengan topologi standar, beri relasi ekuivalensi \((x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)\) tepat ketika \(x_2-x_1\in\Z\) dan \(y_2-y_1\in\Z\text{.}\) Kenali ruang kuosien \(\R^2/\ssim\) dan jelaskan mengapa ruang yang Anda sebutkan homeomorfik dengan kuosien tersebut.
Petunjuk.
Tahap 1. Gunakan fungsi periodik \(q(t)=e^{2\pi i t}\) dari \(\R\) ke \(S^1\text{,}\) lalu terapkan fungsi itu pada kedua koordinat.
Tahap 2. Periksa dua hal: serat fungsi hasil kali itu tepat kelas-kelas \(\sim\text{,}\) dan fungsi tersebut merupakan pemetaan kuosien. Untuk hal kedua, Anda dapat menunjukkan bahwa fungsi itu terbuka.
Jawaban.
Ruang kuosiennya homeomorfik dengan torus \(S^1\times S^1\text{.}\) Homeomorfisme terinduksi oleh \(F(x,y)=(e^{2\pi i x},e^{2\pi i y})\text{.}\)
Solusi.
Definisikan \(F:\R^2\to S^1\times S^1\) dengan \(F(x,y)=(e^{2\pi i x},e^{2\pi i y})\text{.}\) Fungsi ini kontinu dan surjektif. Kesamaan \(F(x_1,y_1)=F(x_2,y_2)\) berlaku tepat ketika \(x_2-x_1\) dan \(y_2-y_1\) keduanya bilangan bulat. Jadi serat-serat \(F\) tepat kelas-kelas ekuivalensi \(\sim\text{.}\)
Pemetaan \(q:\R\to S^1\text{,}\) \(q(t)=e^{2\pi i t}\text{,}\) terbuka: di sekitar setiap titik suatu himpunan terbuka terdapat selang cukup kecil yang dipetakan homeomorfik ke suatu busur terbuka. Karena persegi panjang terbuka membentuk basis bagi \(\R^2\text{,}\) pemetaan hasil kali \(F=q\times q\) juga terbuka. Setiap surjeksi kontinu yang terbuka merupakan pemetaan kuosien.
Jika \(\pi:\R^2\to\R^2/\ssim\) adalah proyeksi kanonik, sifat serat di atas menghasilkan bijeksi \(\overline F:\R^2/\ssim\to S^1\times S^1\) dengan \(\overline F\circ\pi=F\text{.}\) Karena \(\pi\) dan \(F\) sama-sama pemetaan kuosien, suatu himpunan pada salah satu sisi terbuka tepat ketika prapetanya di \(\R^2\) terbuka. Maka \(\overline F\) dan inversnya kontinu. Jadi \(\overline F\) adalah homeomorfisme ke torus.
Berikan contoh konkret suatu fungsi surjektif dan kontinu yang bukan pemetaan kuosien, lalu buktikan bahwa contoh Anda mempunyai ketiga sifat tersebut.
Petunjuk.
Tahap 1. Pertimbangkan fungsi identitas pada satu himpunan yang sama, tetapi beri domain topologi yang lebih halus daripada topologi kodomain.
Tahap 2. Agar fungsi identitas gagal menjadi pemetaan kuosien, cari subhimpunan yang tidak terbuka di kodomain tetapi prapetanya terbuka di domain.
Jawaban.
Salah satu contoh ialah \(\operatorname{id}:(\R,\tau_{\mathrm{diskret}})\to (\R,\tau_{\mathrm{standar}})\text{.}\) Fungsi ini kontinu dan bijektif, tetapi bukan pemetaan kuosien.
Solusi.
Ambil fungsi identitas \(f:(\R,\tau_{\mathrm{diskret}})\to (\R,\tau_{\mathrm{standar}})\text{.}\) Sebagai fungsi himpunan, \(f\) adalah bijeksi, sehingga khususnya surjektif. Untuk setiap himpunan terbuka standar \(U\text{,}\) prapeta \(f^{-1}(U)=U\) terbuka dalam domain diskret. Maka \(f\) kontinu.
Namun, ambil \(A=\{0\}\text{.}\) Himpunan ini tidak terbuka dalam kodomain bertopologi standar, sedangkan \(f^{-1}(A)=\{0\}\) terbuka dalam domain diskret. Jika \(f\) merupakan pemetaan kuosien, keterbukaan prapeta tersebut akan memaksa \(A\) terbuka di kodomain. Kontradiksi ini menunjukkan bahwa \(f\) bukan pemetaan kuosien.
Beri \(X=[0,1]\) topologi standar dan tetapkan \(A=\{0,1\}\text{.}\) Pada \(X\text{,}\) definisikan \(x\sim y\) jika dan hanya jika \(x=y\) atau kedua titik berada dalam \(A\text{.}\) Deskripsikan ruang kuosien \(X/A=X/\ssim\) sampai homeomorfisme.
Petunjuk.
Tahap 1. Bayangkan kedua ujung selang direkatkan. Cari fungsi kontinu dari \([0,1]\) ke lingkaran yang mengambil nilai sama tepat pada \(0\) dan \(1\text{.}\)
Tahap 2. Turunkan fungsi itu ke kuosien. Untuk membuktikan bahwa bijeksi terinduksi adalah homeomorfisme, gunakan kekompakan domain kuosien dan sifat Hausdorff target.
Jawaban.
Ruang \([0,1]/\{0,1\}\) homeomorfik dengan \(S^1\text{;}\) pemetaannya diinduksi oleh \(t\mapsto e^{2\pi i t}\text{.}\)
Solusi.
Definisikan \(F:[0,1]\to S^1\) dengan \(F(t)=e^{2\pi i t}\text{.}\) Fungsi ini kontinu dan surjektif. Pada selang setengah terbuka \([0,1)\) fungsi tersebut injektif, dan satu-satunya pengulangan nilai pada seluruh \([0,1]\) ialah \(F(0)=F(1)\text{.}\) Jadi serat-serat \(F\) tepat kelas-kelas relasi yang menciutkan \(\{0,1\}\) menjadi satu titik.
Karena \(F\) konstan pada setiap kelas, terdapat bijeksi kontinu \(\overline F:X/A\to S^1\) yang memenuhi \(\overline F\circ\pi=F\text{,}\) dengan \(\pi\) proyeksi kuosien. Ruang \(X/A\) kompak sebagai citra kontinu ruang kompak \([0,1]\text{,}\) sedangkan \(S^1\) Hausdorff. Bijeksi kontinu dari ruang kompak ke ruang Hausdorff adalah homeomorfisme. Maka \(X/A\cong S^1\text{.}\)
Misalkan \(X=S^1=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}\) dan \(A=\{(-1,0),(1,0)\}\text{.}\) Definisikan \(u\sim v\) jika dan hanya jika \(u=v\) atau kedua titik berada dalam \(A\text{.}\) Deskripsikan ruang kuosien \(X/A\) sampai homeomorfisme.
Petunjuk.
Tahap 1. Setelah kedua titik dalam \(A\) direkatkan, perhatikan citra busur setengah lingkaran atas dan bawah secara terpisah.
Tahap 2. Parametrisasikan masing-masing busur tertutup oleh suatu selang yang kedua ujungnya dipetakan ke titik rekat yang sama. Gunakan argumen kompak-ke-Hausdorff untuk peta terinduksi.
Jawaban.
Ruang kuosiennya homeomorfik dengan buket dua lingkaran \(S^1\vee S^1\text{,}\) yaitu ruang berbentuk angka delapan.
Solusi.
Tuliskan sebuah titik lingkaran sebagai \((\cos\theta,\sin\theta)\text{,}\) dengan \(0\leq\theta\leq2\pi\text{.}\) Pandang \(S^1\vee S^1\) sebagai dua salinan lingkaran yang titik \(1\)-nya direkatkan. Pada busur atas \(0\leq\theta\leq\pi\text{,}\) petakan titik tersebut ke lingkaran pertama melalui \(e^{2i\theta}\text{.}\) Pada busur bawah \(\pi\leq\theta\leq2\pi\text{,}\) petakan ke lingkaran kedua melalui \(e^{2i(\theta-\pi)}\text{.}\)
Kedua definisi kontinu dan sepakat pada titik-titik ujung busur setelah titik \(1\) pada kedua lingkaran target direkatkan. Lemma penempelan memberi fungsi kontinu dan surjektif \(F:S^1\to S^1\vee S^1\text{.}\) Setiap titik di bagian dalam masing-masing busur mempunyai citra unik. Titik-titik ujung kedua busur adalah tepat \((1,0)\) dan \((-1,0)\text{,}\) dan keduanya dipetakan ke titik buket. Jadi serat tak tunggal satu-satunya adalah \(A\text{.}\)
Fungsi \(F\) menurunkan bijeksi kontinu \(\overline F:X/A\to S^1\vee S^1\text{.}\) Domainnya kompak dan targetnya Hausdorff, sehingga bijeksi tersebut homeomorfisme. Secara geometris, setiap busur setengah lingkaran menjadi satu lingkaran, dan keduanya bertemu hanya pada titik hasil penciutan \(A\text{.}\)
Misalkan \(D^2=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2\leq1\}\) dan \(S^1=\partial D^2\text{,}\) keduanya dengan topologi standar yang relevan. Definisikan \(u\sim v\) jika dan hanya jika \(u=v\) atau \(u,v\in S^1\text{.}\) Deskripsikan ruang kuosien \(D^2/S^1\) sampai homeomorfisme.
Petunjuk.
Tahap 1. Gunakan koordinat polar. Biarkan pusat cakram menjadi satu kutub bola dan seluruh lingkaran batas menjadi kutub yang lain.
Tahap 2. Salah satu pilihan memakai garis lintang dengan tinggi \(\cos(\pi r)\text{.}\) Periksa serat fungsi itu, lalu gunakan kekompakan cakram dan sifat Hausdorff bola.
Jawaban.
Ruang \(D^2/S^1\) homeomorfik dengan bola dua dimensi \(S^2\text{.}\)
Solusi.
Untuk \(0\leq r\leq1\text{,}\) definisikan dalam koordinat polar
\begin{equation*} F(r\cos\theta,r\sin\theta)= (\sin(\pi r)\cos\theta, \sin(\pi r)\sin\theta,\cos(\pi r)). \end{equation*}
Rumus ini tidak bergantung pada \(\theta\) ketika \(r=0\text{,}\) dan kontinu juga di pusat karena dua koordinat pertamanya mempunyai besar paling banyak \(\sin(\pi r)\text{.}\) Fungsi \(F:D^2\to S^2\) kontinu dan surjektif.
Jika \(0\leq r\lt1\text{,}\) tinggi \(\cos(\pi r)\) menentukan \(r\) secara unik; untuk \(r\gt0\text{,}\) dua koordinat pertama lalu menentukan \(\theta\text{.}\) Jadi setiap titik bagian dalam cakram mempunyai serat tunggal. Untuk \(r=1\text{,}\) semua nilai \(\theta\) dipetakan ke kutub selatan \((0,0,-1)\text{.}\) Dengan demikian serat-serat \(F\) tepat kelas-kelas relasi yang menciutkan \(S^1\text{.}\)
Maka \(F\) menurunkan bijeksi kontinu \(\overline F:D^2/S^1\to S^2\text{.}\) Domain kuosien kompak sebagai citra kontinu \(D^2\text{,}\) dan \(S^2\) Hausdorff. Oleh karena itu \(\overline F\) merupakan homeomorfisme.
Misalkan \(X=\{1,2,3,4\}\) diberi topologi
\begin{equation*} \tau=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4\}, \{2,3,4\},\{1,3,4\},X\}. \end{equation*}
Untuk \(Y=\{a,b,c\}\text{,}\) definisikan surjeksi \(p:X\to Y\) oleh \(p(1)=p(2)=a\text{,}\) \(p(3)=b\text{,}\) dan \(p(4)=c\text{.}\) Tentukan topologi kuosien \(\tau_p\) pada \(Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Serat-serat \(p\) adalah \(\{1,2\}\text{,}\) \(\{3\}\text{,}\) dan \(\{4\}\text{.}\) Setiap prapeta subhimpunan \(Y\) merupakan gabungan beberapa serat tersebut.
Tahap 2. Bandingkan delapan gabungan serat dengan delapan himpunan yang tercantum dalam \(\tau\text{.}\)
Jawaban.
Topologi kuosiennya adalah
\begin{equation*} \tau_p=\{\emptyset,\{a\},\{b,c\},Y\}. \end{equation*}
Solusi.
Menurut definisi, \(U\subseteq Y\) berada dalam \(\tau_p\) tepat ketika \(p^{-1}(U)\in\tau\text{.}\) Prapeta \(\emptyset\) dan \(Y\) adalah \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Selain itu,
\begin{equation*} p^{-1}(\{a\})=\{1,2\},\qquad p^{-1}(\{b,c\})=\{3,4\}, \end{equation*}
dan kedua himpunan itu tercantum dalam \(\tau\text{.}\)
Empat subhimpunan tak trivial lainnya mempunyai prapeta \(\{3\}\text{,}\) \(\{4\}\text{,}\) \(\{1,2,3\}\text{,}\) atau \(\{1,2,4\}\text{,}\) masing-masing untuk \(\{b\}\text{,}\) \(\{c\}\text{,}\) \(\{a,b\}\text{,}\) dan \(\{a,c\}\text{.}\) Tidak satu pun berada dalam \(\tau\text{.}\) Jadi tidak ada himpunan terbuka kuosien lain, dan \(\tau_p=\{\emptyset,\{a\},\{b,c\},Y\}\text{.}\)
Misalkan \(X=\{1,2,3,4\}\) diberi topologi
\begin{equation*} \tau=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4\}, \{2,3,4\},\{1,3,4\},X\}. \end{equation*}
Untuk \(Y=\{a,b,c\}\text{,}\) definisikan surjeksi \(q:X\to Y\) oleh \(q(1)=q(2)=c\text{,}\) \(q(3)=b\text{,}\) dan \(q(4)=a\text{.}\) Tentukan topologi kuosien \(\tau_q\) pada \(Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Tuliskan serat untuk \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\text{,}\) lalu bentuk seluruh gabungan serat yang mungkin.
Tahap 2. Gunakan definisi topologi kuosien, bukan citra himpunan terbuka: yang diuji adalah apakah \(q^{-1}(U)\) berada dalam \(\tau\text{.}\)
Jawaban.
Topologi kuosiennya adalah
\begin{equation*} \tau_q=\{\emptyset,\{c\},\{a,b\},Y\}. \end{equation*}
Solusi.
Serat-serat \(q\) adalah \(q^{-1}(\{a\})=\{4\}\text{,}\) \(q^{-1}(\{b\})=\{3\}\text{,}\) dan \(q^{-1}(\{c\})=\{1,2\}\text{.}\) Prapeta \(\emptyset\) dan \(Y\) terbuka. Di antara subhimpunan sejati yang tidak kosong,
\begin{equation*} q^{-1}(\{c\})=\{1,2\}\in\tau, \qquad q^{-1}(\{a,b\})=\{3,4\}\in\tau. \end{equation*}
Prapeta \(\{a\}\text{,}\) \(\{b\}\text{,}\) \(\{a,c\}\text{,}\) dan \(\{b,c\}\) berturut-turut adalah \(\{4\}\text{,}\) \(\{3\}\text{,}\) \(\{1,2,4\}\text{,}\) dan \(\{1,2,3\}\text{.}\) Keempatnya tidak berada dalam \(\tau\text{.}\) Dengan demikian tepat \(\emptyset\text{,}\) \(\{c\}\text{,}\) \(\{a,b\}\text{,}\) dan \(Y\) yang terbuka dalam topologi kuosien.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>