Bagian Panduan konsep dan tugas sumber, bagian kedua
Tujuh panduan berikut mengikuti tepat tujuh tugas sumber tentang hasil kali ruang metrik: tiga pemeriksaan aksioma metrik dan empat tugas tentang geometri serta keterbukaan pada hasil kali. Kerjakan dahulu butir pada bab utama, lalu buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap. Setiap pernyataan memparafrasakan sasaran sumber dan menyertakan rubrik keberhasilan. Teks panduan asli ini merupakan komponen terpisah yang tersedia di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
Untuk \(x=(x_1,x_2)\) dan \(y=(y_1,y_2)\) dalam \(X_1\times X_2\text{,}\) jelaskan mengapa
\begin{equation*}
d(x,y)=\sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2}
\end{equation*}
selalu lebih besar daripada atau sama dengan \(0\text{.}\) Rubrik: gunakan kodomain metrik faktor, penguadratan, penjumlahan, dan akar kuadrat utama secara berurutan.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: setiap jarak \(d_i(x_i,y_i)\) merupakan bilangan real tak negatif. Tahap 2: tentukan tanda jumlah kuadratnya dan tanda akar kuadrat utama dari jumlah tersebut.
Kedua suku kuadrat tak negatif, sehingga jumlahnya tak negatif dan akar kuadrat utamanya juga tak negatif. Jadi \(d(x,y)\geq0\text{.}\)
Karena \(d_1\) dan \(d_2\) merupakan metrik, \(d_1(x_1,y_1)\geq0\) dan \(d_2(x_2,y_2)\geq0\text{.}\) Khususnya, \(d_1(x_1,y_1)^2\geq0\) dan \(d_2(x_2,y_2)^2\geq0\text{,}\) sehingga
\begin{equation*}
d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2\geq0.
\end{equation*}
Simbol akar kuadrat menyatakan akar utama yang tak negatif. Maka \(d(x,y)\geq0\) untuk setiap pasangan \(x,y\text{.}\) Argumen ini juga menunjukkan bahwa rumus tersebut bernilai real pada seluruh domain \((X_1\times X_2)^2\text{.}\)
Pemeriksaan K.11. Simetri metrik hasil kali.
Buktikan bahwa metrik hasil kali memenuhi \(d(x,y)=d(y,x)\text{.}\) Rubrik: terapkan simetri secara terpisah pada \(d_1\) dan \(d_2\text{,}\) lalu substitusikan kedua kesamaan itu ke dalam rumus hasil kali.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: tuliskan \(d_1(x_1,y_1)=d_1(y_1,x_1)\) dan \(d_2(x_2,y_2)=d_2(y_2,x_2)\text{.}\) Tahap 2: bandingkan rumus untuk \(d(x,y)\) dan \(d(y,x)\) suku demi suku.
Simetri kedua metrik faktor membuat kedua kuadrat dalam rumus tidak berubah ketika \(x\) dan \(y\) dipertukarkan. Karena itu \(d(x,y)=d(y,x)\text{.}\)
Dengan simetri \(d_1\) dan \(d_2\text{,}\) kita memperoleh
\begin{align*}
d(x,y)
\,\amp=\sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2}\\
\,\amp=\sqrt{d_1(y_1,x_1)^2+d_2(y_2,x_2)^2}\\
\,\amp=d(y,x).
\end{align*}
Jadi pertukaran kedua titik tidak mengubah jarak hasil kali, tepat seperti yang disyaratkan oleh aksioma simetri.
Pemeriksaan K.12. Definit positif dan pertidaksamaan segitiga.
Jelaskan mengapa \(d(x,y)=0\) jika dan hanya jika \(x=y\text{.}\) Rubrik: gunakan fakta bahwa jumlah dua kuadrat tak negatif bernilai nol tepat ketika kedua sukunya nol, lalu terapkan definit positif pada setiap metrik faktor. Setelah itu, tutup pemeriksaan metrik dengan langkah Cauchy–Schwarz yang benar bagi pertidaksamaan segitiga.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: kuadratkan kesamaan \(d(x,y)=0\) dan simpulkan \(d_1(x_1,y_1)=d_2(x_2,y_2)=0\text{.}\) Tahap 2: bagi pertidaksamaan segitiga, tetapkan \(a_i=d_i(x_i,y_i)\) dan \(b_i=d_i(y_i,z_i)\text{,}\) kemudian batasi \(a_1b_1+a_2b_2\) dengan Cauchy–Schwarz.
Berlaku \(d(x,y)=0\) tepat ketika kedua jarak koordinat nol, yaitu tepat ketika \(x_1=y_1\) dan \(x_2=y_2\text{,}\) atau \(x=y\text{.}\) Cauchy–Schwarz memberi suku silang paling besar \(d(x,y)d(y,z)\text{,}\) sehingga \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\text{.}\)
Jika \(x=y\text{,}\) maka \(x_1=y_1\) dan \(x_2=y_2\text{.}\) Kedua jarak koordinat nol, sehingga \(d(x,y)=0\text{.}\) Sebaliknya, jika \(d(x,y)=0\text{,}\) maka
\begin{equation*}
d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2=0.
\end{equation*}
Kedua suku tak negatif, jadi masing-masing harus nol. Definit positif metrik faktor memberi \(x_1=y_1\) dan \(x_2=y_2\text{.}\) Maka \(x=(x_1,x_2)=(y_1,y_2)=y\text{.}\)
Untuk melengkapi verifikasi, ambil \(z=(z_1,z_2)\) dan tulis \(a_i=d_i(x_i,y_i)\) serta \(b_i=d_i(y_i,z_i)\text{.}\) Pertidaksamaan segitiga di setiap faktor memberi \(d_i(x_i,z_i)\leq a_i+b_i\text{.}\) Oleh karena semua suku tak negatif,
\begin{align*}
d(x,z)^2
\,\amp\leq(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2\\
\,\amp=(a_1^2+a_2^2)+2(a_1b_1+a_2b_2)
+(b_1^2+b_2^2).
\end{align*}
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz yang diterapkan pada pasangan \((a_1,a_2)\) dan \((b_1,b_2)\) memberikan
\begin{equation*}
a_1b_1+a_2b_2
\leq\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}
=d(x,y)d(y,z).
\end{equation*}
Jadi
\begin{equation*}
d(x,z)^2
\leq d(x,y)^2+2d(x,y)d(y,z)+d(y,z)^2
=\bigl(d(x,y)+d(y,z)\bigr)^2.
\end{equation*}
Kedua ruas berakar tak negatif; mengambil akar kuadrat menghasilkan \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\text{.}\) Langkah Cauchy–Schwarz ini membatasi suku silang dengan hasil kali kedua norma; suku silang tersebut tidak boleh dihilangkan.
Pemeriksaan K.13. Geometri ruang hasil kali dua interval.
Misalkan \(X_1=[1,2]\) dan \(X_2=[3,4]\text{,}\) masing-masing sebagai subruang dari \(\R\) dengan metrik Euklides. Jelaskan secara rinci ruang hasil kali \(X_1\times X_2\) dan metrik hasil kalinya. Rubrik: gambarkan himpunan titik, nyatakan apakah sisi-sisinya termasuk, sederhanakan rumus jarak, dan jelaskan bentuk bola jauh dari serta dekat batas.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: unsur hasil kali adalah pasangan \((x_1,x_2)\) dengan \(1\leq x_1\leq2\) dan \(3\leq x_2\leq4\text{.}\) Tahap 2: substitusikan \(d_1(s,t)=|s-t|\) dan \(d_2(s,t)=|s-t|\) ke rumus metrik hasil kali.
Hasil kalinya adalah persegi tertutup \([1,2]\times[3,4]\) di bidang. Metrik hasil kalinya sama dengan pembatasan metrik Euklides bidang, sehingga bola relatif adalah irisan cakram terbuka Euklides dengan persegi tersebut.
Secara himpunan,
\begin{equation*}
X_1\times X_2
=\{(s,t)\in\R^2\mid1\leq s\leq2,
\ 3\leq t\leq4\}.
\end{equation*}
Jadi bentuknya persegi dengan keempat sisi dan keempat titik sudut termasuk. Untuk \(p=(s,t)\) dan \(q=(u,v)\text{,}\) metrik hasil kali ialah
\begin{equation*}
d(p,q)=\sqrt{|s-u|^2+|t-v|^2}
=\sqrt{(s-u)^2+(t-v)^2},
\end{equation*}
tepat metrik Euklides bidang yang dibatasi ke persegi.
Karena ruangnya hanya persegi tersebut, bola \(B_{X_1\times X_2}(p,r)\) adalah cakram Euklides terbuka berpusat di \(p\) yang dipotong dengan \([1,2]\times[3,4]\text{.}\) Jika cakram tidak mencapai sisi, bola tampak bulat penuh; dekat sisi atau sudut, bagian di luar ruang dibuang. Keterbukaan selalu dihitung relatif terhadap ruang hasil kali ini.
Pemeriksaan K.14. Hasil kali bola umumnya bukan bola metrik hasil kali.
Jika \(B_1\) bola terbuka di \(X_1\) dan \(B_2\) bola terbuka di \(X_2\text{,}\) tentukan apakah \(B_1\times B_2\) harus menjadi satu bola terbuka bagi metrik hasil kali. Rubrik: bedakan bentuk persegi panjang dari cakram, berikan pilihan bola faktor yang konkret, dan buktikan bahwa tidak ada pusat serta radius yang membuat kedua himpunan itu sama.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: ambil \(B_1=B_{X_1}(3/2,1/4)\) dan \(B_2=B_{X_2}(7/2,1/4)\text{.}\) Tahap 2: hasil kalinya adalah persegi terbuka; irisan horizontal dan vertikal melalui pusat memaksa radius calon bola menjadi \(1/4\text{,}\) tetapi titik-titik dekat sudut persegi berjarak lebih dari \(1/4\) dari pusat.
Tidak harus. Pada contoh tersebut, \(B_1\times B_2=(5/4,7/4)\times(13/4,15/4)\) adalah persegi terbuka, bukan bola bagi metrik hasil kali Euklides. Hasil kali bola dapat menjadi bola dalam kasus khusus, tetapi tidak secara umum.
Kedua bola yang diberikan tidak terpotong oleh batas ruang faktornya, sehingga
\begin{equation*}
P=B_1\times B_2
=(5/4,7/4)\times(13/4,15/4).
\end{equation*}
Himpunan \(P\) adalah persegi terbuka berpusat di \(c=(3/2,7/2)\text{.}\) Andaikan \(P=B(w,R)\) untuk suatu pusat \(w=(w_1,w_2)\text{.}\) Karena \(w\in P\text{,}\) irisan \(P\) dengan garis horizontal melalui \(w\) adalah interval \((5/4,7/4)\times\{w_2\}\text{.}\) Irisan bola dengan garis yang sama adalah \((w_1-R,w_1+R)\times\{w_2\}\text{.}\) Kesamaan kedua irisan memaksa \(w_1=3/2\) dan \(R=1/4\text{.}\) Dengan cara yang sama, irisan vertikal memaksa \(w_2=7/2\text{.}\) Jadi pusat dan radius calon bola haruslah \(c\) dan \(1/4\text{.}\)
Namun titik \(p=(17/10,37/10)\) berada di \(P\text{,}\) sedangkan
\begin{equation*}
d(c,p)=\sqrt{(1/5)^2+(1/5)^2}=\frac{\sqrt2}{5}
\gt\frac14.
\end{equation*}
Jadi \(p\) tidak berada di bola berpusat \(c\) berjari-jari \(1/4\text{,}\) suatu kontradiksi. Dengan demikian, hasil kali dua bola terbuka tidak harus merupakan satu bola terbuka dalam metrik hasil kali. Perbedaannya ialah syarat hasil kali membatasi setiap koordinat secara terpisah, sedangkan bola hasil kali membatasi jumlah kuadrat jarak koordinat.
Pemeriksaan K.15. Hasil kali bola tetap merupakan himpunan terbuka.
Misalkan \(B_i=B_{X_i}(c_i,r_i)\) untuk \(i=1,2\text{.}\) Buktikan bahwa \(B_1\times B_2\) merupakan himpunan terbuka di \(X_1\times X_2\text{,}\) meskipun panduan 14 menunjukkan bahwa himpunan itu umumnya bukan satu bola. Rubrik: pada titik sebarang dalam hasil kali, hitung sisa radius di kedua faktor dan pilih radius bola hasil kali yang dikendalikan oleh sisa terkecil.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: untuk \(x=(x_1,x_2)\in B_1\times B_2\text{,}\) tetapkan \(\epsilon_i=r_i-d_i(x_i,c_i)\gt0\text{.}\) Tahap 2: pilih \(\epsilon=\min\{\epsilon_1,\epsilon_2\}\) dan gunakan \(d_i(x_i,y_i)\leq d(x,y)\text{.}\)
Ya. Setiap titik \(x\in B_1\times B_2\) mempunyai bola hasil kali berjari-jari \(\min\{r_1-d_1(x_1,c_1),r_2-d_2(x_2,c_2)\}\) yang termuat dalam \(B_1\times B_2\text{.}\) Jadi hasil kali tersebut terbuka.
Ambil \(x=(x_1,x_2)\in B_1\times B_2\text{.}\) Karena \(d_i(x_i,c_i)\lt r_i\text{,}\) bilangan \(\epsilon_i=r_i-d_i(x_i,c_i)\) positif. Tetapkan \(\epsilon=\min\{\epsilon_1,\epsilon_2\}\gt0\text{.}\) Jika \(y=(y_1,y_2)\) memenuhi \(d(x,y)\lt\epsilon\text{,}\) maka untuk \(i=1,2\text{,}\)
\begin{equation*}
d_i(x_i,y_i)
\leq\sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2}
=d(x,y)\lt\epsilon\leq\epsilon_i.
\end{equation*}
Pertidaksamaan segitiga di faktor ke-\(i\) sekarang memberi
\begin{equation*}
d_i(y_i,c_i)
\leq d_i(y_i,x_i)+d_i(x_i,c_i)
\lt\epsilon_i+d_i(x_i,c_i)=r_i.
\end{equation*}
Jadi \(y_i\in B_i\) untuk kedua koordinat, sehingga \(y\in B_1\times B_2\text{.}\) Dengan demikian, \(B(x,\epsilon)\subseteq B_1\times B_2\text{,}\) dan hasil kali itu terbuka. Secara geometris, himpunan terbuka tidak harus berupa satu bola; ia cukup menjadi gabungan bola-bola yang lebih kecil.
Pemeriksaan K.16. Himpunan terbuka yang bukan satu hasil kali berbentuk persegi panjang.
Temukan suatu subhimpunan terbuka dari \(X_1\times X_2=[1,2]\times[3,4]\) yang tidak dapat ditulis sebagai \(O_1\times O_2\) dengan \(O_i\) terbuka di \(X_i\text{.}\) Rubrik: gunakan satu bola hasil kali yang tidak menyentuh batas, lalu pilih dua titik di dalamnya yang titik silang koordinatnya berada di luar bola.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1: ambil \(U=B((3/2,7/2),1/4)\text{.}\) Tahap 2: uji \(p=(17/10,7/2)\text{,}\) \(q=(3/2,37/10)\text{,}\) dan titik silang \(s=(17/10,37/10)\text{.}\)
Bola terbuka \(U=B((3/2,7/2),1/4)\) adalah contoh yang diminta. Titik \(p\) dan \(q\) pada petunjuk berada di \(U\text{,}\) tetapi titik silang \(s\) tidak; sifat ini mustahil bagi satu hasil kali \(O_1\times O_2\text{.}\)
Bola \(U=B((3/2,7/2),1/4)\) terbuka menurut definisi dan seluruhnya berada di bagian dalam persegi hasil kali. Kedua titik \(p=(17/10,7/2)\) dan \(q=(3/2,37/10)\) masing-masing berjarak \(1/5\lt1/4\) dari pusat, sehingga \(p,q\in U\text{.}\) Untuk titik silang \(s=(17/10,37/10)\text{,}\) berlaku
\begin{equation*}
d\bigl((3/2,7/2),s\bigr)=\frac{\sqrt2}{5}\gt\frac14,
\end{equation*}
sehingga \(s\notin U\text{.}\)
Andaikan \(U=O_1\times O_2\text{.}\) Dari \(p\in U\) diperoleh \(17/10\in O_1\) dan \(7/2\in O_2\text{;}\) dari \(q\in U\) diperoleh \(3/2\in O_1\) dan \(37/10\in O_2\text{.}\) Maka definisi hasil kali memaksa \(s=(17/10,37/10)\in O_1\times O_2=U\text{,}\) bertentangan dengan perhitungan jarak. Jadi \(U\) terbuka tetapi tidak berbentuk satu hasil kali dari himpunan-himpunan terbuka pada ruang faktor.
