Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Koleksi memuat \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Dengan notasi pada petunjuk, empat anggota selain \(X\) membentuk topologi partisi pada \(A\cup B\text{:}\) gabungan yang mungkin adalah \(\emptyset,A,B,A\cup B\text{,}\) dan irisan yang mungkin juga salah satu dari keempat himpunan itu karena \(A\cap B=\emptyset\text{.}\) Menambahkan \(X\) tidak menimbulkan hasil baru: gabungan yang memuat \(X\) adalah \(X\text{,}\) sedangkan irisan dengan \(X\) tidak mengubah faktor lainnya. Jadi semua gabungan sebarang dan irisan berhingga tetap berada dalam koleksi. Pernyataan benar.

Dalam topologi kofinit pada \(\R\text{,}\) sebuah himpunan terbuka tepat ketika himpunan itu kosong atau komplemennya berhingga. Himpunan \(\Z\) tidak kosong, sedangkan \(\R\setminus\Z\) tidak berhingga; misalnya, semua bilangan \(n+\tfrac12\) untuk \(n\in\Z\) termasuk di dalamnya. Jadi \(\Z\) bukan himpunan terbuka dan pernyataan salah.

Koleksi \(\mathcal B\) menutupi \(X\text{,}\) sebab \(\{a,b\}\cup\{b,c,d\}=X\text{.}\) Untuk dua anggota basis yang beririsan dan titik pada irisannya, terdapat anggota basis yang memuat titik itu dan berada di dalam irisan: semua kasus inklusi langsung bersifat sepele, sedangkan irisan tak-sepele mengecil menjadi \(\{b\}\) atau \(\{c\}\text{,}\) yang keduanya anggota basis. Jadi \(\mathcal B\) memang basis suatu topologi.

Gabungan-gabungan berbeda yang dihasilkan adalah \(\emptyset\text{,}\) \(\{b\}\text{,}\) \(\{c\}\text{,}\) \(\{a,b\}\text{,}\) \(\{b,c\}\text{,}\) \(\{a,b,c\}\text{,}\) \(\{b,c,d\}\text{,}\) dan \(X\text{.}\) Daftar ini tepat sama dengan \(\tau\text{.}\) Maka pernyataan benar.

Definisikan \(d(x,y)=0\) jika \(x=y\) dan \(d(x,y)=1\) jika \(x\ne y\text{.}\) Fungsi ini memenuhi aksioma metrik. Untuk pertidaksamaan segitiga, jika \(x=z\) ruas kiri nol; jika \(x\ne z\text{,}\) paling sedikit satu dari \(x\ne y\) atau \(y\ne z\) berlaku, sehingga ruas kanan sekurang-kurangnya \(1=d(x,z)\text{.}\) Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) berlaku \(B_d(x,1/2)=\{x\}\text{.}\) Jadi setiap singleton terbuka, dan setiap subhimpunan \(A\subseteq X\) adalah gabungan singleton \(\bigcup_{x\in A}\{x\}\text{,}\) sehingga terbuka. Topologi metrik yang dihasilkan adalah topologi diskret \(\tau\text{.}\) Pernyataan benar.

Menurut daftar \(\tau\) pada soal, \(U=\{a,b\}\) adalah himpunan terbuka. Himpunan ini memuat \(b\) dan memenuhi \(U\subseteq\{a,b,d\}=A\text{.}\) Jadi ada lingkungan terbuka dari \(b\) yang terkandung dalam \(A\text{.}\) Berdasarkan definisi titik interior, \(b\in\Int(A)\text{;}\) pernyataan benar.

Pada \(X=\{a,b,c\}\text{,}\) masing-masing koleksi \(\tau_1=\{\emptyset,X,\{a\}\}\) dan \(\tau_2=\{\emptyset,X,\{b\}\}\) adalah topologi: hanya ada satu himpunan terbuka tak-sepele di masing-masing koleksi, sehingga aksioma gabungan dan irisan langsung terpenuhi. Namun \(\tau_1\cup\tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b\}\}\) memuat \(\{a\}\) dan \(\{b\}\) tetapi tidak memuat gabungannya \(\{a,b\}\text{.}\) Koleksi itu tidak tertutup terhadap gabungan dan bukan topologi. Jadi pernyataan salah.

Karena \(\emptyset,X\in\tau_1\) dan \(\emptyset,X\in\tau_2\text{,}\) kedua himpunan itu berada dalam \(\tau_1\cap\tau_2\text{.}\) Ambil keluarga sebarang \(\{U_i\}_{i\in I}\subseteq\tau_1\cap\tau_2\text{.}\) Setiap \(U_i\) berada dalam \(\tau_1\) dan \(\tau_2\text{;}\) karena keduanya topologi, \(\bigcup_{i\in I}U_i\) berada dalam keduanya, jadi berada dalam irisannya. Demikian pula, irisan berhingga anggota \(\tau_1\cap\tau_2\) berada dalam masing-masing topologi dan karenanya dalam \(\tau_1\cap\tau_2\text{.}\) Semua aksioma dipenuhi, jadi pernyataan benar.