Misalkan \(X\) suatu ruang topologi dan \(Y\) suatu himpunan, serta misalkan \(p: X \to Y\) suatu surjeksi. Kita dapat mendefinisikan relasi \(\sim_p\) pada \(X\) dengan \(x \sim_p y\) jika dan hanya jika \(p(x) = p(y)\text{.}\) Tidak sulit menunjukkan bahwa \(\sim_p\) merupakan relasi ekuivalensi; perinciannya diserahkan kepada Latihan 1. Dari sini kita melihat bahwa kedua pendekatan kita untuk mendefinisikan topologi kuosien dan ruang kuosien sebenarnya sama.
Sering kali kita memiliki ruang topologi \(X\) dan relasi \(\sim\) pada \(X\text{,}\) lalu ingin memiliki cara efektif untuk mengenali ruang kuosien \(X/\ssim\) sebagai ruang yang homeomorfik dengan suatu ruang topologi \(Y\) yang telah dikenal. Artinya, kita ingin dapat menunjukkan bahwa terdapat homeomorfisme \(f\) dari \(X/\ssim\) ke \(Y\text{.}\)
Contoh16.7.
Perhatikan keadaan berikut. Misalkan \(X = \R\) dengan topologi standar dan definisikan relasi \(\sim\) pada \(\R\) dengan \(x \sim y\) jika \(x - y \in \Z\text{.}\) Tidak sulit menunjukkan bahwa \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi. Berdasarkan relasi ekuivalensi ini, kita memiliki \(x-1 \sim x\) untuk setiap bilangan real \(x\text{.}\) Dengan demikian, setiap kelas ekuivalensi dari \(\R\) dapat diwakili oleh suatu titik dalam selang \([0,1]\text{,}\) dengan \(0\) dan \(1\) diidentifikasi oleh relasi tersebut. Karena itu, kita dapat menduga bahwa \(\R/\ssim\) homeomorfik dengan lingkaran \(S^1 = \{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1\}\) sebagai subruang dari \(\R^2\) dengan topologi standar. Sekarang tujuannya ialah mencari homeomorfisme antara \(S^1\) dan \(\R/\ssim\text{.}\) Karena setiap titik pada lingkaran satuan berbentuk \((\cos(t), \sin(t))\) untuk suatu bilangan real \(t\text{,}\) kita dapat mencoba mendefinisikan \(f: (\R/\ssim) \to S^1\) dengan \(f([t]) = (\cos(t), \sin(t))\text{.}\) Namun, kita memiliki \(0 \sim 1\text{,}\) yang berarti bahwa \([0] = [1]\text{,}\) sedangkan \(f([0]) \neq f([1])\text{.}\) Jadi, \(f\) tidak terdefinisi dengan baik. Pilihan lain adalah \(f([t]) = (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))\text{.}\) Dalam hal ini, jika \(x \sim y\text{,}\) maka \(2 \pi x\) dan \(2 \pi y\) berbeda sebesar suatu kelipatan \(2 \pi\text{,}\) sehingga \(f([x]) = f([y])\text{.}\) Selanjutnya kita dapat menunjukkan bahwa \(f\) merupakan homeomorfisme. Kita akan segera melanjutkan contoh ini.
Teorema berikut merangkum contoh di atas.
Teorema16.8.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan-himpunan dan misalkan \(\sim\) suatu relasi ekuivalensi pada \(X\text{.}\) Misalkan \(f\) suatu fungsi dari \(X\) ke \(Y\) sedemikian sehingga \(f(x_1) = f(x_2)\) setiap kali \(x_1 \sim x_2\) dalam \(X\text{.}\) Misalkan \(X/\ssim\) himpunan kelas-kelas ekuivalensi dari \(X\) menurut relasi \(\sim\text{,}\) dan misalkan \(p: X \to (X/\ssim)\) proyeksi kuosien kanonis yang didefinisikan oleh \(p(x) = [x]\text{.}\) Fungsi \(\overline{f}\) dari \(X/\ssim\) ke \(Y\) yang didefinisikan oleh \(\overline{f}([x]) = f(x)\) untuk setiap \(x \in X\) merupakan satu-satunya fungsi yang memenuhi
\begin{equation*}
f = \overline{f} \circ p\text{.}
\end{equation*}
Kegiatan16.6.
Teorema 16.8 merupakan pernyataan tentang himpunan dan fungsi, tanpa melibatkan topologi. Kita membuktikan teorema tersebut dalam aktivitas ini. Gunakan syarat-syarat yang dinyatakan dalam Teorema 16.8.
(a)
Tunjukkan bahwa \(\overline{f}\) terdefinisi dengan baik. Artinya, tunjukkan bahwa setiap kali \([x_1] = [x_2]\) dalam \(X/\ssim\text{,}\) berlaku \(\overline{f}([x_1]) =\overline{f}([x_2])\text{.}\)
(b)
Buktikan bahwa \(f = \overline{f} \circ p\text{.}\)
(c)
Tunjukkan bahwa keunikan \(\overline{f}\) berasal dari persamaan \(f = \overline{f} \circ p\text{.}\)
Sekarang kita menyajikan hasil terakhir yang sangat berguna ketika bekerja dengan ruang kuosien.
Teorema16.9.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi dan misalkan \(\sim\) suatu relasi ekuivalensi pada \(X\text{.}\) Pandang himpunan \(X/\ssim\) sebagai ruang topologi dengan topologi kuosien, dan misalkan \(p: X \to (X/\ssim)\) proyeksi kuosien kanonis yang didefinisikan oleh \(p(x) = [x]\text{.}\) Misalkan \(Y\) suatu ruang topologi dan \(f: X \to Y\) suatu fungsi kontinu sedemikian sehingga \(f(x_1) = f(x_2)\) setiap kali \(x_1 \sim x_2\) dalam \(X\text{.}\) Maka \(\overline{f} : (X/\ssim) \to Y\) yang didefinisikan oleh \(\overline{f}([x]) = f(x)\) merupakan satu-satunya fungsi kontinu yang memenuhi \(f = \overline{f} \circ p\text{.}\)
Bukti.
Keberadaan \(\overline{f}\) sebagai satu-satunya fungsi yang memenuhi \(f = \overline{f} \circ p\) telah dibuktikan dalam Teorema 16.8. Tinggal menunjukkan bahwa \(\overline{f}\) kontinu. Misalkan \(O\) suatu himpunan terbuka dalam \(Y\text{.}\) Karena \(f\) kontinu, kita mengetahui bahwa \(f^{-1}(O)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Jika \(x_1 \in f^{-1}(O)\) dan \(x_1 \sim x_2\text{,}\) maka \(x_2 \in f^{-1}(O)\) juga. Jadi, kita dapat menuliskan \(f^{-1}(O)\) sebagai
Artinya, \(f^{-1}(O)\) merupakan gabungan kelas-kelas ekuivalensi. Karena \(\overline{f}([x]) = f(x)\text{,}\) jika \(x \in f^{-1}(O)\text{,}\) maka \([x] \in \overline{f}^{-1}(O)\text{.}\) Dengan demikian,
Dengan demikian, \(\overline{f}^{-1}(O)\) terbuka dalam ruang kuosien tersebut: memang, prapetanya di bawah proyeksi kuosien adalah himpunan terbuka dalam \(X\text{,}\) sesuai definisi topologi kuosien. Jadi, \(\overline{f}\) kontinu.
Sekarang kita akan melihat cara menggunakan Teorema 16.9 untuk membangun homeomorfisme dari ruang kuosien suatu ruang topologi ke ruang topologi lainnya.
Contoh16.10.
Kita kembali ke keadaan dalam Contoh 16.7, dengan \(X = \R\) yang diberi topologi standar dan relasi ekuivalensi \(\sim\) yang didefinisikan oleh \(x \sim y\) jika \(x - y \in \Z\text{.}\) Kita akan menggunakan Teorema 16.9 untuk menunjukkan bahwa \(\R/\ssim\) homeomorfik dengan lingkaran \(Y = S^1\text{.}\)
Gambar16.11.Suatu elemen basis untuk \(S^1\text{.}\)
Langkah 1
Definisikan suatu surjeksi kontinu \(f: X \to Y\) yang menghormati relasi tersebut. Artinya, kita perlu memastikan bahwa \(f(x_1) = f(x_2)\) setiap kali \(x_1 \sim x_2\) dalam \(X\text{.}\) Sebelumnya kita melihat bahwa fungsi \(f\) yang didefinisikan oleh \(f(t) = (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))\) menghormati relasi tersebut. Karena setiap titik pada lingkaran satuan berbentuk \((\cos(\theta), \sin(\theta))\) untuk suatu bilangan real \(\theta\text{,}\) memilih \(t = \frac{\theta}{2 \pi}\) menghasilkan \(f(t) = (\cos(\theta), \sin(\theta))\text{,}\) sehingga \(f\) merupakan surjeksi. Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa \(f\) kontinu. Suatu koleksi himpunan terbuka basis dalam \(S^1\) dapat diperoleh dengan mengambil irisan \(S^1\) dengan bola-bola terbuka dalam \(\R^2\text{,}\) seperti diperlihatkan dalam Gambar 16.11. Kita melihat bahwa himpunan-himpunan terbuka basis tersebut merupakan busur-busur berbentuk \(\overparen{ab}\) untuk \(a\) dan \(b\) dalam \(S^1\text{.}\) Untuk busur yang dipilih, misalkan \(a = (\cos(2 \pi A), \sin(2 \pi A))\) dan \(b = (\cos(2 \pi B), \sin(2 \pi B))\text{,}\) dengan parameter real \(A\) dan \(B\) yang dipilih sehingga parameter pertama mendahului parameter kedua sepanjang busur tersebut dan selisihnya kurang dari satu putaran penuh. Maka \(f^{-1}(\overparen{ab})\) merupakan gabungan selang \((A+k, B+k)\) untuk \(k \in \Z\text{.}\) Sebagai gabungan selang-selang terbuka, \(f^{-1}(\overparen{ab})\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Dengan demikian, kita telah memperoleh surjeksi kontinu dari \(X\) ke \(Y\) yang menghormati relasi tersebut.
Langkah 2
Carilah suatu fungsi kontinu dari \(X/\ssim\) ke \(Y\text{.}\)Teorema 16.9 memberi tahu kita bahwa fungsi \(\overline{f} : (X/\ssim) \to Y\) yang didefinisikan oleh \(\overline{f}([t]) = f(t)\) bersifat kontinu. Jadi, \(\overline{f}\) merupakan kandidat homeomorfisme kita.
Langkah 3
Tunjukkan bahwa \(\overline{f}\) merupakan bijeksi. Misalkan \(y \in Y\text{.}\) Karena \(f\) merupakan surjeksi, terdapat \(t \in \R\) sedemikian sehingga \(f(t) = y\text{.}\) Akibatnya, \(\overline{f}([t]) = f(t) = y\) dan \(\overline{f}\) merupakan surjeksi. Untuk menunjukkan bahwa \(\overline{f}\) merupakan injeksi, misalkan \(\overline{f}([s]) = \overline{f}([t])\) untuk suatu \(s,
t \in \R\text{.}\) Maka \((\cos(2 \pi s), \sin(2 \pi s)) = f(s) = f(t) = (\cos(2\pi t), \sin(2 \pi t))\text{.}\) Karena itu, \(2 \pi s\) dan \(2 \pi t\) harus berbeda sebesar suatu kelipatan \(2 \pi\text{.}\) Artinya, \(2 \pi s - 2 \pi t = 2 \pi k\) untuk suatu bilangan bulat \(k\text{.}\) Dari sini kita memperoleh \(s - t = k \in \Z\text{,}\) sehingga \(s \sim t\text{.}\) Jadi, \([s] = [t]\) dan kita menyimpulkan bahwa \(\overline{f}\) merupakan injeksi.
Langkah 4
Tunjukkan bahwa \(\overline{f}\) merupakan homeomorfisme. Pada tahap ini kita telah mengetahui bahwa \(\overline{f}\) merupakan bijeksi kontinu, sehingga tinggal menunjukkan bahwa \(\overline{f}(\overline{O})\) terbuka setiap kali \(\overline{O}\) terbuka dalam \(X/\ssim\text{.}\) Misalkan \(p: X \to (X/\ssim)\) proyeksi kuosien kanonis. Misalkan \(\overline{O}\) suatu himpunan terbuka tak kosong dalam \(X/\ssim\text{.}\) Maka \(O = p^{-1}(\overline{O})\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Jadi, \(O\) merupakan gabungan selang-selang terbuka. Untuk setiap titik dalam himpunan ini, pilih selang terbuka \((a,b)\) yang memuat titik tersebut, termuat dalam \(O\text{,}\) dan panjangnya kurang dari satu. Berdasarkan definisi \(f\text{,}\) himpunan \(f(a,b)\) merupakan busur terbuka \(\overparen{f(a)f(b)}\text{,}\) yang terbuka dalam \(Y\text{.}\) Kumpulan busur tersebut menutupi citra seluruh himpunan terbuka itu. Jadi, \(f(O)\) merupakan gabungan busur-busur terbuka dalam \(Y\text{,}\) sehingga \(f(O)\) terbuka dalam \(Y\text{.}\) Sekarang \(f(O) = (\overline{f} \circ p)(O) = \overline{f}(p(O)) = \overline{f}(\overline{O})\text{,}\) dan \(\overline{f}(\overline{O})\) terbuka dalam \(Y\text{.}\) Kita menyimpulkan bahwa \(\overline{f}\) merupakan homeomorfisme dari \(X/\ssim\) ke \(S^1\text{,}\) sehingga \(S^1\) merupakan ruang kuosien dari \(\R\text{.}\)
