Kita telah melihat bahwa sebuah himpunan dapat dijadikan ruang metrik dengan berbagai metrik. Sebagai contoh, ruang-ruang \((\R^2, d_E)\text{,}\)\((\R^2, d_T)\text{,}\)\((\R^2, d_M)\text{,}\) dan \((\R^2, d)\) semuanya merupakan ruang metrik, dengan \(d_E\) sebagai metrik Euklides, \(d_T\) sebagai metrik taksi, \(d_M\) sebagai metrik maksimum, dan \(d\) sebagai metrik diskret. Namun, apakah ruang-ruang metrik ini benar-benar merupakan ruang metrik yang “berbeda”? Apa yang kita maksud dengan “berbeda”?
Kegiatan14.3.
Kita dapat menganggap dua ruang metrik \((X, d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) ekuivalen jika terdapat bijeksi antara kedua himpunan \(X\) dan \(Y\) yang mempertahankan sifat-sifat metriknya. Artinya, kita mencari suatu fungsi bijektif \(f : X \to Y\) sedemikian sehingga \(d_X(a,b) = d_Y(f(a),
f(b))\) untuk semua \(a,b \in X\text{.}\) Dengan kata lain, \(f\) mempertahankan jarak.
(a)
Misalkan \(X = ((0,1), d_X)\) dan \(Y = ((0,2), d_Y)\text{,}\) dengan \(d_X\) dan \(d_Y\) keduanya merupakan metrik Euklides. Apakah mungkin menemukan suatu bijeksi \(f : X \to Y\) yang mempertahankan sifat-sifat metrik? Jelaskan.
(b)
Sekarang misalkan \(X = ((0,1), d_X)\) dan \(Y = ((0,2), d_Y)\text{,}\) dengan \(d_X\) didefinisikan oleh \(d_X(a,b) = 2 | a-b |\) dan \(d_Y = d_E\text{.}\) Anda boleh mengasumsikan bahwa \(d_X\) merupakan suatu metrik. Apakah mungkin menemukan suatu bijeksi \(f : X \to Y\) yang mempertahankan sifat-sifat metrik? Jelaskan.
Jika terdapat bijeksi antara dua ruang metrik yang mempertahankan jarak, kita mengatakan bahwa kedua ruang metrik tersebut ekuivalen secara metrik.
Definisi14.5.
Dua ruang metrik \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ekuivalen secara metrik jika terdapat bijeksi \(f : X \to Y\) sedemikian sehingga
Ekuivalensi metrik merupakan jenis ekuivalensi yang sangat kuat — keberadaan suatu isometri tidak memberi banyak keluwesan karena jarak harus dipertahankan. Dari sudut pandang topologi, kita hanya memperhatikan himpunan-himpunan terbuka — tidak ada jarak. Bola satuan terbuka dalam \((\R^2, d_E)\) dan bola satuan terbuka dalam \((\R^2, d_M)\) (dengan \(d_E\) sebagai metrik Euklides dan \(d_M\) sebagai metrik maksimum) tidak terlalu berbeda, sebagaimana dapat kita lihat dalam Gambar 14.7. Jika kita tidak perlu mempertahankan jarak, kita dapat meregangkan bola terbuka \(B_E = B((0,0),1)\) dalam \((\R^2, d_E)\) secara seragam sepanjang garis \(y=x\) dan \(y=-x\) sehingga bentuknya menjadi bola satuan \(B_M = B((0,0),1)\) dalam \((\R^2, d_M)\text{.}\) Hal yang penting ialah peregangan ini mempertahankan himpunan-himpunan terbuka. Jenis ekuivalensi ini jauh lebih luwes dan mempertahankan gagasan utama topologi yang telah kita bahas — sifat-sifat ruang apa yang tidak berubah ketika ruang tersebut diregangkan dan dilengkungkan. Jenis ekuivalensi yang memungkinkan kita memanipulasi suatu ruang tanpa mengubah himpunan-himpunan terbukanya secara mendasar disebut ekuivalensi topologis.
Gambar14.7.Bola-bola satuan terbuka dalam \((\R^2, d_E)\) dan \((\R^2, d_M)\text{.}\)
