1.
Misalkan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan \(X\text{.}\) Nyatakan setiap himpunan berikut dalam notasi matematika dengan menggunakan simbol \(\cup\text{,}\) \(\cap\text{,}\) dan \(\setminus\text{.}\)
(a)
Anggota \(X\) yang merupakan anggota \(A\) dan \(B\text{,}\) tetapi bukan anggota \(C\text{.}\)
(b)
Anggota \(X\) yang merupakan anggota \(C\) dan setidaknya salah satu dari \(A\) atau \(B\text{.}\)
(c)
Anggota \(X\) yang merupakan anggota \(A\text{,}\) tetapi tidak sekaligus menjadi anggota \(B\) dan \(C\text{.}\)
(d)
Anggota \(X\) yang bukan merupakan anggota satu pun dari himpunan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\text{.}\)
(e)
Anggota \(X\) yang bukan merupakan anggota setidaknya dua dari himpunan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\text{.}\)
(f)
Anggota \(X\) yang bukan merupakan anggota paling banyak satu dari himpunan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\text{.}\)
3.
Misalkan \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan semesta \(U\text{,}\) dan anggap pula setiap himpunan lain yang muncul di bawah merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta yang sama. Buktikan hukum asosiatif dan distributif. Dengan kata lain, buktikan setiap pernyataan berikut.
(a)
\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
(b)
\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)
(c)
\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
(d)
\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
4.
Buktikan Hukum De Morgan. Dengan kata lain, misalkan \(\{A_{\alpha}\}\) adalah kumpulan himpunan yang diindeks oleh suatu himpunan \(I\) di dalam himpunan semesta \(U\text{.}\) Buktikan bahwa
(a)
\(\displaystyle \left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right)^c = \bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha}^c\)
(b)
\(\displaystyle \left(\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right)^c = \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}^c\)
6.
Jika \(A\) adalah suatu himpunan, himpunan kuasa dari \(A\text{,}\) yang dinyatakan dengan \(2^A\text{,}\) adalah kumpulan semua himpunan bagian dari \(A\text{.}\)
(a)
Tuliskan anggota \(\ds 2^{\{1,2\}}\text{.}\)
(b)
Jika \(A\) adalah himpunan yang memiliki tiga anggota, berapa banyak anggota dalam \(2^A\text{?}\)
(c)
Jika \(A\) adalah himpunan yang memiliki \(n\) anggota, buatlah dugaan mengenai banyaknya anggota dalam \(2^A\text{.}\) Buktikan dugaan Anda.
7.
Jika
\(A\) adalah suatu himpunan, himpunan kuasa dari
\(A\text{,}\) yang dinyatakan dengan
\(2^A\text{,}\) adalah kumpulan semua himpunan bagian dari
\(A\text{.}\) (Lihat
Latihan 6.) Telaahlah setiap pernyataan berikut. Apakah pernyataan tersebut bermakna atau tidak? Jika tidak, jelaskan alasannya, lalu perbaikilah menjadi pernyataan yang benar (dan tidak sepele).
(a)
Jika \(A\) adalah suatu himpunan, maka \(A \in 2^A\text{.}\)
(b)
Jika \(A\) adalah suatu himpunan, maka \(A \subset 2^A\text{.}\)
(c)
Jika \(A\) adalah suatu himpunan, maka \(\{A\} \subset 2^A\text{.}\)
(d)
Jika \(A\) adalah suatu himpunan, maka \(\emptyset \in 2^A\text{.}\)
(e)
Jika \(A\) adalah suatu himpunan, maka \(\emptyset \subset 2^A\text{.}\)
(f)
Jika \(A\) dan \(B\) adalah himpunan dan \(A \subseteq B\text{,}\) maka \(2^A \subseteq 2^B\text{.}\)
8.
Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, yang masing-masing memiliki sekurang-kurangnya dua anggota berbeda. Buktikan bahwa terdapat suatu himpunan bagian \(W \subset A \times B\) yang bukan merupakan hasil kali Kartesius antara suatu himpunan bagian dari \(A\) dan suatu himpunan bagian dari \(B\text{.}\) [Jadi, tidak setiap himpunan bagian dari suatu hasil kali Kartesius merupakan hasil kali Kartesius dari sepasang himpunan bagian.]
9.
Misalkan \(I\) adalah himpunan bilangan real yang lebih besar daripada \(0\text{.}\) Untuk setiap \(x \in I\text{,}\) misalkan \(A_x\) adalah interval terbuka \((0,x)\text{.}\) Buktikan bahwa \(\bigcap_{x \in I} A_x = \emptyset\text{,}\) \(\bigcup_{x \in I} A_x = I\text{.}\) Untuk setiap \(x \in I\text{,}\) misalkan \(B_x\) adalah interval tertutup \([0,x]\text{.}\) Buktikan bahwa \(\bigcap_{x \in I} B_x = \{0\}\text{,}\) \(\bigcup_{x \in I} B_x = I \cup \{0\}\text{.}\)
10.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan tersebut hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan itu salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya. Sebagai contoh pernyataan yang benar, perhatikan pernyataan berikut.
Misalkan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) adalah himpunan sedemikian sehingga \(A \cap B = A \cap C\) dan \(A \cap B \neq \emptyset\text{.}\)
Maka \(B \cap C \neq \emptyset\text{.}\) Kita dapat membenarkan pernyataan ini dengan argumen singkat. Karena \(A \cap B \neq \emptyset\text{,}\) terdapat anggota \(x \in A \cap B\text{.}\) Dengan demikian, \(x \in B\text{.}\) Karena \(A \cap B = A \cap C\text{,}\) juga harus berlaku \(x \in A \cap C\text{,}\) yang berarti bahwa \(x \in C\text{.}\) Jadi, \(x \in B \cap C\) dan \(B \cap C \neq \emptyset\text{.}\) Sebagai contoh pernyataan yang salah, perhatikan pernyataan berikut.
Misalkan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) adalah himpunan sedemikian sehingga \(A \cap B = A \cap C\text{.}\)
Maka \(B = C\text{.}\) Kita dapat menunjukkan bahwa pernyataan ini salah dengan memberikan contoh tandingan. Sebagai contoh, misalkan \(A = \{0,1\}\text{,}\) \(B=\{1\}\text{,}\) dan \(C = \{1,2\}\text{.}\) Maka \(A \cap B = \{1\} = A \cap C\text{,}\) tetapi \(B \neq C\text{.}\)
(a)
Jika \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) adalah himpunan serta \(A \subseteq B\) dan \(A \subseteq C\text{,}\) maka \(A \subseteq (B \cap C)\text{.}\)
(b)
Jika \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) adalah himpunan serta \(A \subseteq C\) dan \(B \subseteq C\text{,}\) maka \((A \cup B) \subseteq C\text{.}\)
(c)
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan \(X\) serta \(A \subseteq B\text{,}\) maka \((X \setminus A) \subseteq (X \setminus B)\text{.}\)
(d)
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan \(X\) serta \(A \subseteq B\text{,}\) maka \((X \setminus B) \subseteq (X \setminus A)\text{.}\)
(e)
Jika \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, maka \((A \cup B) \setminus B = A\text{.}\)
(f)
Jika \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, maka \(A \setminus (A \setminus B) = B\text{.}\)
(g)
Jika \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) adalah himpunan, maka \(A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C)\text{.}\)
(h)
Jika \(A\) dan \(C\) merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan \(X\text{,}\) maka \((A \setminus C) = A \cap (X \setminus C)\text{.}\)
(i)
Himpunan \(\{\emptyset\}\) tidak memiliki anggota.
(j)
Terdapat dua objek berbeda yang merupakan anggota himpunan \(\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\text{.}\)
