Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan Bab 15, bagian pertama

Bagian ini mengikuti urutan sumber untuk sepuluh prompt latihan pertama tentang subruang. Setiap pernyataan dibuat mandiri dan disertai petunjuk, jawaban atau rubrik pembuktian, serta solusi lengkap. Materi pendamping ini ditulis secara terpisah, dilisensikan dengan CC BY 4.0, bukan materi resmi GVSU, dan tidak menyiratkan dukungan penulis sumber.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) ruang topologi, \(f:X\to Y\) fungsi kontinu, dan \(A\) subruang dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa pembatasan \(f|_A:A\to Y\) juga kontinu.
Petunjuk.
Ambil himpunan terbuka \(U\) dalam \(Y\text{.}\) Tuliskan prapetanya di bawah pembatasan sebagai irisan \(A\) dengan prapeta di bawah \(f\text{.}\)
Jawaban.
Untuk setiap \(U\) yang terbuka dalam \(Y\text{,}\) berlaku \((f|_A)^{-1}(U)=A\cap f^{-1}(U)\text{,}\) yang terbuka dalam topologi subruang pada \(A\text{.}\)
Solusi.
Ambil sebarang himpunan terbuka \(U\subseteq Y\text{.}\) Karena \(f\) kontinu, \(f^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Untuk \(x\in A\text{,}\) titik \(x\) berada dalam prapeta \(U\) di bawah \(f|_A\) tepat ketika \(x\in f^{-1}(U)\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*} (f|_A)^{-1}(U)=A\cap f^{-1}(U). \end{equation*}
Irisan di ruas kanan terbuka dalam topologi subruang pada \(A\text{.}\) Jadi prapeta setiap himpunan terbuka dalam \(Y\) terbuka dalam \(A\text{,}\) sehingga \(f|_A\) kontinu.
Misalkan \(X\) ruang topologi, \(A\) subruang dari \(X\text{,}\) dan \(B\) subruang dari \(A\text{.}\) Tunjukkan bahwa topologi subruang yang diwarisi \(B\) dari \(A\) sama dengan topologi subruang yang diwarisi \(B\) langsung dari \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Setiap himpunan terbuka dalam \(A\) berbentuk \(A\cap U\) untuk suatu \(U\) yang terbuka dalam \(X\text{.}\) Gunakan \(B\subseteq A\) untuk menyederhanakan \(B\cap(A\cap U)\text{.}\)
Jawaban.
Kedua topologi tersebut terdiri tepat atas himpunan berbentuk \(B\cap U\text{,}\) dengan \(U\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Solusi.
Himpunan \(W\subseteq B\) terbuka dalam topologi yang diwarisi dari \(A\) tepat ketika terdapat himpunan \(V\) yang terbuka dalam \(A\) sedemikian sehingga \(W=B\cap V\text{.}\) Karena \(A\) sendiri memakai topologi subruang dari \(X\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(U\subseteq X\) dengan \(V=A\cap U\text{.}\) Maka
\begin{equation*} W=B\cap V=B\cap A\cap U=B\cap U, \end{equation*}
sebab \(B\subseteq A\text{.}\) Jadi \(W\) terbuka dalam topologi subruang yang diwarisi \(B\) langsung dari \(X\text{.}\)
Sebaliknya, jika \(W=B\cap U\) untuk suatu \(U\) yang terbuka dalam \(X\text{,}\) maka \(A\cap U\) terbuka dalam \(A\) dan \(W=B\cap(A\cap U)\text{.}\) Jadi \(W\) juga terbuka dalam topologi yang diwarisi \(B\) dari \(A\text{.}\) Kedua topologi itu sama.
Misalkan \(A\) subruang dari ruang topologi \(X\text{,}\) \(B\subseteq A\text{,}\) dan \(x\in A\text{.}\) Buktikan bahwa \(x\) merupakan titik limit dari \(B\) dalam topologi subruang pada \(A\) jika dan hanya jika \(x\) merupakan titik limit dari \(B\) dalam topologi pada \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Lingkungan terbuka bagi \(x\) dalam \(A\) berbentuk \(A\cap U\text{,}\) dengan \(U\) terbuka dalam \(X\) dan \(x\in U\text{.}\) Karena \(B\subseteq A\text{,}\) bandingkan \((A\cap U)\cap(B\setminus\{x\})\) dengan \(U\cap(B\setminus\{x\})\text{.}\)
Jawaban.
Kedua kondisi titik limit setara: untuk setiap himpunan terbuka \(U\) dalam \(X\) yang memuat \(x\text{,}\) kedua irisan yang relevan sama karena \(B\setminus\{x\}\subseteq A\text{.}\)
Solusi.
Andaikan dahulu \(x\) titik limit \(B\) dalam \(X\text{.}\) Ambil sebarang lingkungan terbuka \(N\) bagi \(x\) dalam \(A\text{.}\) Terdapat himpunan terbuka \(U\) dalam \(X\) dengan \(N=A\cap U\) dan \(x\in U\text{.}\) Sifat titik limit dalam \(X\) memberi suatu \(b\in U\cap(B\setminus\{x\})\text{.}\) Karena \(B\subseteq A\text{,}\) titik \(b\) juga berada dalam \(N\text{.}\) Jadi \(x\) titik limit \(B\) dalam \(A\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(x\) titik limit \(B\) dalam \(A\text{.}\) Untuk setiap himpunan terbuka \(U\subseteq X\) yang memuat \(x\text{,}\) himpunan \(A\cap U\) adalah lingkungan terbuka bagi \(x\) dalam \(A\text{.}\) Maka terdapat \(b\in(A\cap U)\cap(B\setminus\{x\})\text{,}\) sehingga khususnya \(b\in U\cap(B\setminus\{x\})\text{.}\) Dengan demikian \(x\) merupakan titik limit \(B\) dalam \(X\text{.}\)
Misalkan \(A\) subruang dari ruang topologi \(X\) dan \(B\subseteq A\text{.}\) Buktikan bahwa tutupan \(B\) dalam \(A\) adalah
\begin{equation*} \operatorname{cl}_A(B)=\operatorname{cl}_X(B)\cap A, \end{equation*}
dengan \(\operatorname{cl}_X(B)\) menyatakan tutupan \(B\) dalam \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan pencirian tutupan melalui lingkungan. Untuk \(x\in A\text{,}\) lingkungan subruang berbentuk \(A\cap U\text{;}\) karena \(B\subseteq A\text{,}\) berlaku \((A\cap U)\cap B=U\cap B\text{.}\)
Jawaban.
Untuk setiap \(x\in A\text{,}\) setiap lingkungan \(x\) dalam \(A\) bertemu \(B\) jika dan hanya jika setiap lingkungan \(x\) dalam \(X\) bertemu \(B\text{.}\) Jadi keanggotaan dalam kedua ruas persamaan itu setara.
Solusi.
Ambil \(x\in A\text{.}\) Titik \(x\) berada dalam \(\operatorname{cl}_A(B)\) tepat ketika setiap himpunan terbuka dalam \(A\) yang memuat \(x\) bertemu \(B\text{.}\) Setiap himpunan semacam itu berbentuk \(A\cap U\text{,}\) dengan \(U\) terbuka dalam \(X\) dan \(x\in U\text{.}\) Karena \(B\subseteq A\text{,}\)
\begin{equation*} (A\cap U)\cap B=U\cap B. \end{equation*}
Jadi semua lingkungan subruang bagi \(x\) bertemu \(B\) tepat ketika semua lingkungan terbuka bagi \(x\) dalam \(X\) bertemu \(B\text{.}\) Kondisi terakhir setara dengan \(x\in\operatorname{cl}_X(B)\text{.}\) Karena sejak awal \(x\in A\text{,}\) kita memperoleh \(x\in\operatorname{cl}_A(B)\) jika dan hanya jika \(x\in\operatorname{cl}_X(B)\cap A\text{.}\) Kesetaraan ini berlaku untuk setiap \(x\in A\text{,}\) sehingga kedua himpunan sama.
Dengan topologi standar, buktikan bahwa \(\R\) homeomorfik dengan setiap interval berbentuk \((a,\infty)\) dan dengan setiap interval berbentuk \((-\infty,b)\text{,}\) untuk \(a,b\in\R\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan fungsi eksponensial untuk memperoleh nilai positif. Untuk sinar kanan tambahkan \(a\text{;}\) untuk sinar kiri kurangkan hasil eksponensial dari \(b\text{.}\) Tuliskan invers masing-masing.
Jawaban.
Homeomorfisme yang dapat dipakai adalah \(F_a(x)=a+e^x\) menuju \((a,\infty)\) dan \(G_b(x)=b-e^x\) menuju \((-\infty,b)\text{.}\)
Solusi.
Tetapkan \(a\in\R\) dan definisikan \(F_a:\R\to(a,\infty)\) dengan \(F_a(x)=a+e^x\text{.}\) Fungsi ini kontinu dan bijektif karena \(e^x\) kontinu serta memetakan \(\R\) secara bijektif ke \((0,\infty)\text{.}\) Inversnya adalah
\begin{equation*} F_a^{-1}(y)=\ln(y-a), \end{equation*}
yang kontinu pada \((a,\infty)\text{.}\) Jadi \(F_a\) merupakan homeomorfisme.
Demikian pula, untuk \(b\in\R\text{,}\) definisikan \(G_b:\R\to(-\infty,b)\) dengan \(G_b(x)=b-e^x\text{.}\) Fungsi ini kontinu dan bijektif; inversnya
\begin{equation*} G_b^{-1}(y)=\ln(b-y) \end{equation*}
kontinu pada \((-\infty,b)\text{.}\) Maka \(G_b\) juga merupakan homeomorfisme, dan klaim berlaku untuk semua \(a\) dan \(b\text{.}\)
Misalkan \(X\) ruang topologi, \(O\) subhimpunan terbuka dari \(X\text{,}\) dan \(A\subseteq O\text{.}\) Buktikan bahwa \(A\) terbuka dalam subruang \(O\) jika dan hanya jika \(A\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Jika \(A\) terbuka dalam \(O\text{,}\) tuliskan \(A=O\cap U\) untuk suatu \(U\) yang terbuka dalam \(X\text{.}\) Gunakan bahwa \(O\) sendiri terbuka dalam \(X\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Pada arah yang tidak langsung, \(A=O\cap U\) merupakan irisan dua himpunan terbuka dalam \(X\text{;}\) arah sebaliknya langsung dari definisi topologi subruang.
Solusi.
Andaikan \(A\) terbuka dalam subruang \(O\text{.}\) Menurut definisi topologi subruang, terdapat himpunan terbuka \(U\subseteq X\) sedemikian sehingga \(A=O\cap U\text{.}\) Karena \(O\) dan \(U\) sama-sama terbuka dalam \(X\text{,}\) irisan \(A\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(A\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Karena \(A\subseteq O\text{,}\) kita mempunyai \(A=O\cap A\text{.}\) Ruas kanan adalah irisan \(O\) dengan suatu himpunan terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga \(A\) terbuka dalam topologi subruang pada \(O\text{.}\)
Misalkan \(X\) ruang topologi, \(C\) subhimpunan tertutup dari \(X\text{,}\) dan \(B\subseteq C\text{.}\) Buktikan bahwa \(B\) tertutup dalam subruang \(C\) jika dan hanya jika \(B\) tertutup dalam \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan pencirian himpunan tertutup relatif: \(B\) tertutup dalam \(C\) tepat ketika \(B=C\cap F\) untuk suatu \(F\) yang tertutup dalam \(X\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Jika \(B=C\cap F\text{,}\) maka \(B\) adalah irisan dua himpunan tertutup dalam \(X\text{;}\) arah sebaliknya memakai \(B=C\cap B\text{.}\)
Solusi.
Andaikan \(B\) tertutup dalam subruang \(C\text{.}\) Pencirian himpunan tertutup dalam topologi subruang memberi suatu himpunan tertutup \(F\subseteq X\) dengan \(B=C\cap F\text{.}\) Karena \(C\) juga tertutup dalam \(X\text{,}\) irisan \(B\) tertutup dalam \(X\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(B\) tertutup dalam \(X\text{.}\) Karena \(B\subseteq C\text{,}\) berlaku \(B=C\cap B\text{.}\) Jadi \(B\) adalah irisan \(C\) dengan suatu himpunan tertutup dalam \(X\text{,}\) yang menurut pencirian topologi subruang berarti \(B\) tertutup dalam \(C\text{.}\)
Suatu sifat ruang topologi disebut herediter jika setiap subruangnya juga memiliki sifat tersebut. Buktikan bahwa sifat \(T_1\text{,}\) \(T_2\text{,}\) dan \(T_3\) semuanya herediter.
Catatan sumber: klaim yang serupa untuk \(T_4\) tidak benar. Papan Tychonoff yang normal memiliki papan Tychonoff terhapus yang tidak normal sebagai subruang; sumber merujuk pembaca ke Counterexamples in Topology (2nd ed.) karya Lynn Arthur Steen dan J. Arthur Seebach, Jr. untuk contoh tersebut.
Petunjuk.
Untuk \(T_1\) dan \(T_2\text{,}\) iriskan himpunan terbuka pemisah dalam ruang ambien dengan subruangnya. Untuk \(T_3\text{,}\) tuliskan himpunan tertutup \(F\) dalam subruang \(A\) sebagai \(F=A\cap C\) dengan \(C\) tertutup dalam ruang ambien, lalu pisahkan suatu titik \(a\in A\setminus F\) dari \(C\text{.}\)
Jawaban.
Rubrik lengkap: buktikan secara terpisah bahwa pemisah terbuka untuk dua titik tetap menjadi pemisah setelah diiriskan dengan subruang; lalu buktikan bahwa keteraturan diwarisi menggunakan \(F=A\cap C\text{.}\) Karena \(T_3\) berarti reguler sekaligus \(T_1\text{,}\) kedua bagiannya harus disebutkan.
Solusi.
Misalkan \(A\) subruang dari \(X\text{.}\) Pertama, andaikan \(X\) merupakan ruang \(T_1\text{.}\) Untuk titik berbeda \(x,y\in A\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(U\subseteq X\) yang memuat \(y\) tetapi tidak memuat \(x\text{.}\) Himpunan \(A\cap U\) terbuka dalam \(A\text{,}\) memuat \(y\text{,}\) dan tidak memuat \(x\text{.}\) Jadi \(A\) merupakan ruang \(T_1\text{.}\)
Kedua, andaikan \(X\) merupakan ruang \(T_2\text{.}\) Untuk titik berbeda \(x,y\in A\text{,}\) pilih himpunan terbuka saling lepas \(U,V\subseteq X\) dengan \(x\in U\) dan \(y\in V\text{.}\) Himpunan \(A\cap U\) dan \(A\cap V\) terbuka dalam \(A\text{,}\) memuat titik masing-masing, dan tetap saling lepas. Maka \(A\) merupakan ruang \(T_2\text{.}\)
Terakhir, andaikan \(X\) merupakan ruang \(T_3\text{;}\) jadi \(X\) bersifat reguler dan \(T_1\text{.}\) Bagian pertama telah menunjukkan bahwa \(A\) bersifat \(T_1\text{.}\) Ambil himpunan tertutup \(F\) dalam \(A\) dan titik \(a\in A\setminus F\text{.}\) Ada himpunan tertutup \(C\) dalam \(X\) dengan \(F=A\cap C\text{.}\) Karena \(a\in A\) tetapi \(a\notin F\text{,}\) kita mempunyai \(a\notin C\text{.}\) Keteraturan \(X\) memberi himpunan terbuka saling lepas \(U,V\) dalam \(X\) dengan \(C\subseteq U\) dan \(a\in V\text{.}\) Maka \(F\subseteq A\cap U\) dan \(a\in A\cap V\text{;}\) kedua himpunan itu terbuka dan saling lepas dalam \(A\text{.}\) Jadi \(A\) reguler. Karena \(A\) juga \(T_1\text{,}\) ruang \(A\) adalah \(T_3\text{.}\) Dengan demikian ketiga sifat tersebut herediter.
Misalkan \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme antara ruang topologi \(X\) dan \(Y\text{,}\) dan ambil \(a\in X\text{.}\) Tentukan apakah subruang \(X'=X\setminus\{a\}\) harus homeomorfik dengan subruang \(Y'=Y\setminus\{f(a)\}\text{,}\) lalu buktikan jawaban Anda.
Petunjuk.
Pertimbangkan pembatasan \(g=f|_{X'}\text{.}\) Gunakan keinjektifan dan kesurjektifan \(f\) untuk menunjukkan bahwa citra \(g\) tepat \(Y'\text{,}\) lalu identifikasi invers \(g\) sebagai pembatasan dari \(f^{-1}\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Homeomorfismenya adalah \(f|_{X'}:X'\to Y'\text{,}\) dengan invers \(f^{-1}|_{Y'}:Y'\to X'\text{.}\)
Solusi.
Definisikan \(g=f|_{X'}\text{.}\) Jika \(x\in X'\text{,}\) maka \(x\neq a\text{;}\) keinjektifan \(f\) memberi \(f(x)\neq f(a)\text{.}\) Jadi \(g(x)\in Y'\text{.}\) Sebaliknya, untuk \(y\in Y'\text{,}\) kesurjektifan \(f\) memberi suatu \(x\in X\) dengan \(f(x)=y\text{.}\) Titik ini bukan \(a\text{,}\) sebab \(y\neq f(a)\text{.}\) Maka \(x\in X'\) dan \(g(x)=y\text{.}\) Bersama keinjektifan yang diwarisi dari \(f\text{,}\) hal ini membuktikan bahwa \(g:X'\to Y'\) bijektif.
Pembatasan fungsi kontinu pada subruang kontinu, sehingga \(g\) kontinu. Inversnya adalah pembatasan \(f^{-1}|_{Y'}:Y'\to X'\text{,}\) yang juga kontinu karena \(f^{-1}\) kontinu. Jadi \(g\) merupakan homeomorfisme antara \(X'\) dan \(Y'\text{.}\)
Tentukan benar atau salah: jika \(X\) memiliki topologi diskret, maka setiap subruang \(A\) dari \(X\) juga memiliki topologi diskret. Jelaskan jawaban Anda.
Petunjuk.
Untuk membuktikan bahwa topologi pada \(A\) diskret, ambil sebarang \(S\subseteq A\) dan tunjukkan bahwa \(S\) terbuka dalam topologi subruang.
Jawaban.
Benar. Setiap \(S\subseteq A\) terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga \(S=A\cap S\) terbuka dalam subruang \(A\text{.}\)
Solusi.
Ambil subruang \(A\subseteq X\) dan sebarang himpunan \(S\subseteq A\text{.}\) Karena topologi \(X\) diskret, setiap subhimpunan dari \(X\text{,}\) termasuk \(S\text{,}\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Kesamaan \(S=A\cap S\) menunjukkan bahwa \(S\) terbuka dalam topologi subruang pada \(A\text{.}\) Karena setiap subhimpunan \(S\) dari \(A\) terbuka, topologi subruang pada \(A\) adalah topologi diskret. Jadi pernyataan itu benar.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>