Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Ringkasan

Definisi 12.13.

Misalkan \(\tau_1\) dan \(\tau_2\) dua topologi pada himpunan \(X\text{.}\) Jika \(\tau_1 \subseteq \tau_2\text{,}\) maka \(\tau_1\) merupakan topologi yang lebih kasar (atau lebih lemah) daripada \(\tau_2\text{.}\) Kita juga mengatakan bahwa \(\tau_2\) merupakan topologi yang lebih halus (atau lebih kuat) daripada \(\tau_1\text{.}\)
Gagasan-gagasan penting yang kita bahas dalam bagian ini meliputi hal-hal berikut.
  • Topologi pada himpunan \(X\) adalah koleksi subhimpunan terbuka dari \(X\text{.}\) Secara lebih khusus, himpunan \(\tau\) yang terdiri dari subhimpunan suatu himpunan \(X\) merupakan topologi pada \(X\) jika
    1. \(X\) dan \(\emptyset\) merupakan anggota \(\tau\text{,}\)
    2. gabungan sebarang himpunan dalam \(\tau\) merupakan himpunan dalam \(\tau\text{,}\) dan
    3. irisan berhingga sebarang himpunan dalam \(\tau\) merupakan himpunan dalam \(\tau\text{.}\)
    Ruang topologi adalah himpunan yang dilengkapi dengan topologi pada himpunan tersebut.
  • Gabungan sebarang himpunan terbuka adalah terbuka dan irisan berhingga himpunan terbuka adalah terbuka dalam ruang topologi.
  • Menjelaskan secara lengkap himpunan terbuka dalam suatu topologi dapat sulit, dan bekerja dengan himpunan terbuka sebarang juga dapat sulit. Jika suatu koleksi himpunan yang lebih sederhana membangkitkan topologi, koleksi himpunan sederhana tersebut merupakan basis untuk topologi itu. Secara lebih formal, himpunan \(\B\) merupakan basis untuk topologi pada himpunan \(X\) jika
    1. Untuk setiap \(x \in X\text{,}\) terdapat himpunan dalam \(\B\) yang memuat \(x\text{.}\)
    2. Jika \(x \in X\) merupakan anggota \(B_1 \cap B_2\) untuk suatu \(B_1, B_2 \in B\text{,}\) maka terdapat himpunan \(B_3 \in \B\) sedemikian sehingga \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\text{.}\)
  • Subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) merupakan lingkungan titik \(a \in A\) jika terdapat himpunan terbuka \(O\) yang terkandung dalam \(A\) sedemikian sehingga \(a \in O\text{.}\)
  • Titik \(x\) dalam subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) merupakan titik interior \(A\) jika \(A\) merupakan lingkungan \(x\text{.}\) Interior himpunan \(A\) adalah koleksi semua titik interior \(A\text{.}\)
  • Subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) terbuka jika dan hanya jika \(A\) sama dengan interiornya.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>