Definisi 14.11.
Suatu relasi pada himpunan \(S\) adalah subhimpunan \(R\) dari \(S \times S\text{.}\)
Bagian Relasi
Kita menggunakan kata “ekuivalen” secara sengaja ketika membahas ekuivalensi metrik atau topologis. Ingat bahwa ekuivalensi merupakan istilah yang digunakan untuk relasi, dan bahwa relasi merupakan cara membandingkan dua elemen dari suatu himpunan. Kita mengenal banyak relasi pada himpunan, misalnya “\(\lt\)”, “\(=\)”, dan “\(\geq\)” pada bilangan bulat.
Sebagai contoh, subhimpunan \(R = \{(a,a) \mid a \in \Z \}\) dari \(\Z \times \Z\) adalah relasi yang kita sebut relasi kesamaan. Jika \(R\) merupakan relasi pada himpunan \(S\text{,}\) biasanya kita menghilangkan notasi himpunannya dan menulis \(a \sim b\) jika \((a,b) \in R\text{,}\) lalu mengatakan bahwa \(a\) berelasi dengan \(b\text{.}\) Dalam hal ini, kita sering menyebut \(\sim\) sebagai relasinya, bukan himpunan \(R\text{.}\) Kadang-kadang kita menggunakan simbol yang sudah dikenal untuk relasi khusus. Sebagai contoh, kita menulis \(a = b\) jika \((a,b) \in R = \{(a,a) \mid a \in \Z \}\text{.}\)
Dalam membahas relasi, ada tiga sifat khusus yang kita pertimbangkan.
- Suatu relasi \(\sim\) pada himpunan \(S\) bersifat refleksif jika \(a \sim a\) untuk semua \(a \in S\text{.}\)
- Suatu relasi \(\sim\) pada himpunan \(S\) bersifat simetris jika, untuk setiap pilihan elemen a dan b, berlaku \(a \sim b\) dengan a dan b berada dalam \(S\text{,}\) maka kita juga memperoleh \(b \sim a\text{.}\)
- Suatu relasi \(\sim\) pada himpunan \(S\) bersifat transitif jika, untuk setiap pilihan elemen a, b, dan c, berlaku \(a \sim b\) dan \(b \sim c\) dengan a, b, dan c berada dalam \(S\text{,}\) maka kita juga memperoleh \(a \sim c\text{.}\)
Ketika kita menggunakan kata “ekuivalensi”, yang dimaksud adalah suatu relasi ekuivalensi.
Definisi 14.12.
Suatu relasi ekuivalensi adalah relasi pada suatu himpunan yang refleksif, simetris, dan transitif.
Kegiatan 14.5.
(a)
Jelaskan mengapa ekuivalensi metrik merupakan relasi ekuivalensi pada setiap himpunan terpilih yang terdiri atas ruang-ruang metrik.
(b)
Jelaskan mengapa ekuivalensi topologis merupakan relasi ekuivalensi pada setiap himpunan terpilih yang terdiri atas ruang-ruang topologi.
Relasi ekuivalensi penting karena relasi ekuivalensi pada suatu himpunan \(S\) mempartisi himpunan tersebut menjadi gabungan saling lepas dari kelas-kelas ekuivalensi. Karena ekuivalensi topologis merupakan relasi ekuivalensi, kita dapat memperlakukan ruang-ruang yang ekuivalen secara topologis satu sama lain sebagai ruang yang pada dasarnya sama dari sudut pandang topologi. Berdasarkan relasi homeomorfisme, kelas-kelas ekuivalensi tersebut disebut kelas homeomorfisme.
