Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan sumber, bagian kedua

Empat belas panduan berikut berkorespondensi, dalam urutan sumber, dengan empat belas perintah terakhir pada latihan penutup Bab 9. ID panduan berlanjut dari o003-c90-ch09-guide-31 sampai o003-c90-ch09-guide-44. Materi ini merupakan uraian asli untuk pembelajaran mandiri dan tersedia sebagai bagian komponen CC BY 4.0, terpisah dari turunan GVSU.
Untuk perintah tentang \(a_n/b_n\text{,}\) buktikan hukum limit hasil bagi ketika \(a_n\to a\text{,}\) \(b_n\to b\neq0\text{,}\) dan setiap \(b_n\neq0\text{.}\) Rubrik: terlebih dahulu batasi penyebut menjauhi nol, lalu pisahkan selisih hasil bagi menjadi dua suku.
Petunjuk.
Tahap 1: akhirnya \(|b_n-b|\lt |b|/2\text{,}\) sehingga \(|b_n|\geq |b|/2\text{.}\) Tahap 2: tambahkan dan kurangkan \(a/b_n\) sebelum memakai pertidaksamaan segitiga.
Jawaban.
Barisan hasil bagi konvergen dan \(\lim(a_n/b_n)=a/b\text{.}\)
Solusi.
Karena \(b_n\to b\neq0\text{,}\) ada \(N_0\) sehingga \(|b_n-b|\lt |b|/2\) bagi \(n\geq N_0\text{;}\) akibatnya \(|b_n|\geq |b|/2\text{.}\) Untuk indeks tersebut,
\begin{equation*} \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\right| \leq \frac{2}{|b|}|a_n-a| +\frac{2|a|}{|b|^2}|b_n-b|. \end{equation*}
Jika \(a=0\text{,}\) suku kedua hilang. Jika tidak, pilih ambang bagi kedua barisan sehingga masing-masing suku di ruas kanan lebih kecil dari \(\epsilon/2\text{,}\) lalu ambil maksimum bersama \(N_0\text{.}\) Maka selisih hasil bagi lebih kecil dari \(\epsilon\) untuk semua indeks sesudah ambang itu, yang membuktikan limit yang dinyatakan.
Pada perintah berikutnya, buktikan bahwa \(fg\) kontinu apabila \(f,g:\R\to\R\) kontinu. Rubrik: gunakan pencirian sekuensial dan hukum limit hasil kali yang baru dibuktikan.
Petunjuk.
Ambil titik \(x\) dan sebarang barisan \(x_n\to x\text{.}\) Kekontinuan memberi dua limit citra; kalikan kedua limit itu.
Jawaban.
Untuk setiap \(x_n\to x\text{,}\) berlaku \(f(x_n)g(x_n)\to f(x)g(x)\text{;}\) jadi \(fg\) kontinu.
Solusi.
Tetapkan \(x\in\R\) dan ambil sebarang barisan \((x_n)\) dengan \(x_n\to x\text{.}\) Karena \(f\) dan \(g\) kontinu, teorema pencirian sekuensial memberi \(f(x_n)\to f(x)\) dan \(g(x_n)\to g(x)\text{.}\) Hukum limit hasil kali kemudian memberi
\begin{equation*} (fg)(x_n)=f(x_n)g(x_n)\longrightarrow f(x)g(x)=(fg)(x). \end{equation*}
Sifat ini berlaku bagi setiap barisan yang menuju \(x\text{,}\) maka \(fg\) kontinu di \(x\text{.}\) Karena titiknya sebarang, fungsi itu kontinu di seluruh \(\R\text{.}\)
Buktikan langsung dari definisi bahwa \(f/g\) kontinu jika \(f\) dan \(g\) kontinu serta \(g(x)\neq0\) untuk semua \(x\text{.}\) Rubrik: di sekitar titik tetap, buat \(|g(x)|\) memiliki batas bawah positif sebelum menaksir hasil bagi.
Petunjuk.
Untuk titik \(x_0\text{,}\) gunakan kekontinuan \(g\) agar \(|g(x)-g(x_0)|\lt |g(x_0)|/2\text{.}\) Setelah itu uraikan selisih \(f(x)/g(x)-f(x_0)/g(x_0)\) menjadi dua bagian.
Jawaban.
Fungsi \(f/g\) kontinu di setiap \(x_0\) karena penyebutnya tetap menjauhi nol pada suatu lingkungan \(x_0\text{.}\)
Solusi.
Tetapkan \(x_0\) dan tulis \(g_0=g(x_0)\neq0\text{.}\) Dari kekontinuan \(g\text{,}\) pilih lingkungan tempat \(|g(x)-g_0|\lt |g_0|/2\text{;}\) di sana \(|g(x)|\geq |g_0|/2\text{.}\) Untuk \(x\) di lingkungan itu,
\begin{equation*} \left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g_0}\right| \leq \frac{2}{|g_0|}|f(x)-f(x_0)| +\frac{2|f(x_0)|}{|g_0|^2}|g(x)-g_0|. \end{equation*}
Dengan kekontinuan kedua fungsi, persempit lingkungan sehingga suku pertama kurang dari \(\epsilon/2\) dan suku kedua juga kurang dari \(\epsilon/2\) (suku kedua nol jika \(f(x_0)=0\)). Maka selisih hasil bagi kurang dari \(\epsilon\text{.}\) Ini adalah definisi kekontinuan \(f/g\) di \(x_0\text{.}\)
Untuk barisan \(c_n=(a_n,b_n)\) dalam bidang Euklides, buktikan bahwa \(c_n\to(a,b)\) tepat ketika kedua barisan koordinat menuju \(a\) dan \(b\text{.}\) Rubrik: buktikan kedua arah dengan taksiran jarak Euklides.
Petunjuk.
Satu arah memakai \(|a_n-a|\leq d_E(c_n,(a,b))\text{.}\) Untuk arah balik, buat kedua selisih koordinat lebih kecil dari \(\epsilon/\sqrt2\) secara serentak.
Jawaban.
Konvergensi Euklides di \(\R^2\) ekuivalen dengan konvergensi masing-masing koordinat.
Solusi.
Jika \(c_n\to(a,b)\text{,}\) maka setiap selisih koordinat tidak melebihi \(d_E(c_n,(a,b))\text{,}\) sehingga keduanya menuju nol. Sebaliknya, andaikan \(a_n\to a\) dan \(b_n\to b\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih satu ambang sesudah kedua selisih mutlak kurang dari \(\epsilon/\sqrt2\text{.}\) Maka
\begin{equation*} d_E(c_n,(a,b)) =\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}\lt\epsilon. \end{equation*}
Jadi barisan pasangan menuju pasangan limitnya, dan kedua implikasi telah dibuktikan.
Untuk fungsi yang bernilai \(x\) pada bilangan rasional dan \(0\) pada bilangan irasional, tentukan tepat semua titik kekontinuannya. Rubrik: buktikan kekontinuan pada calon titik, lalu gunakan barisan rasional atau irasional untuk setiap titik lain.
Petunjuk.
Selalu berlaku \(|f(x)|\leq |x|\text{.}\) Di titik tak nol, gunakan kerapatan bilangan rasional dan irasional untuk memilih barisan dari jenis yang membuat nilai fungsi tidak menuju nilai di titik itu.
Jawaban.
Fungsi tersebut kontinu tepat di \(0\) dan tidak kontinu di setiap titik real tak nol.
Solusi.
Karena \(f(0)=0\) dan \(|f(x)-f(0)|\leq |x|\text{,}\) fungsi kontinu di \(0\text{.}\) Jika \(a\neq0\) rasional, ambil barisan irasional \(x_n\to a\text{;}\) maka \(f(x_n)=0\text{,}\) tetapi \(f(a)=a\neq0\text{.}\) Jika \(a\neq0\) irasional, ambil barisan rasional \(x_n\to a\text{;}\) maka \(f(x_n)=x_n\to a\text{,}\) tetapi \(f(a)=0\text{.}\) Pencirian sekuensial menyangkal kekontinuan dalam kedua kasus, sehingga hanya \(0\) yang tersisa.
Modifikasi konstruksi sebelumnya agar fungsi kontinu tepat di \(0\) dan \(1\text{,}\) lalu perluas ke sebarang himpunan berhingga yang telah ditentukan. Rubrik: gunakan polinom yang himpunan nolnya tepat sama dengan titik-titik sasaran.
Petunjuk.
Untuk \(\{0,1\}\text{,}\) gunakan faktor \(x(x-1)\text{.}\) Untuk \(F=\{s_1,\ldots,s_k\}\text{,}\) gunakan \(P(x)=\prod_{j=1}^k(x-s_j)\) pada bilangan rasional dan nol pada bilangan irasional.
Jawaban.
Fungsi \(P(x)\) pada rasional dan \(0\) pada irasional kontinu tepat pada himpunan nol polinom \(P\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(P(x)=x(x-1)\) dan definisikan \(g(x)=P(x)\) bila \(x\) rasional, serta \(g(x)=0\) bila \(x\) irasional. Di \(0\) dan \(1\text{,}\) kekontinuan \(P\) dan taksiran \(|g(x)|\leq |P(x)|\) memberi kekontinuan \(g\text{.}\) Di titik lain, barisan rasional dan irasional memberi dua limit citra berbeda. Argumen sama berlaku bagi \(P(x)=\prod_{s\in F}(x-s)\text{:}\) fungsi hasil konstruksi kontinu tepat pada nol-nol \(P\text{,}\) yaitu tepat pada himpunan berhingga \(F\text{.}\)
Untuk \(0\leq a\lt1\text{,}\) buktikan bahwa \(a^n\to0\text{.}\) Rubrik: pisahkan kasus \(a=0\text{;}\) untuk \(0\lt a\lt1\text{,}\) hasilkan ambang indeks yang bergantung pada \(\epsilon\text{.}\)
Petunjuk.
Tulis \(1/a=1+h\) dengan \(h\gt0\text{.}\) Pertidaksamaan Bernoulli memberi \((1+h)^n\geq1+nh\text{,}\) sehingga \(a^n\leq1/(1+nh)\text{.}\)
Jawaban.
Barisan \((a^n)\) konvergen ke \(0\) untuk setiap \(0\leq a\lt1\text{.}\)
Solusi.
Jika \(a=0\text{,}\) semua suku bernilai nol. Jika \(0\lt a\lt1\text{,}\) tulis \(1/a=1+h\) dengan \(h\gt0\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\) sehingga \(1/(1+Nh)\lt\epsilon\text{.}\) Bagi \(n\geq N\text{,}\) pertidaksamaan Bernoulli memberi
\begin{equation*} 0\leq a^n=\frac{1}{(1+h)^n} \leq\frac{1}{1+nh}\leq\frac{1}{1+Nh}\lt\epsilon. \end{equation*}
Ini tepat definisi \(a^n\to0\text{.}\)
Untuk \(f_n(x)=x^n\) pada \([0,1]\text{,}\) tentukan apakah \(f_n\) konvergen dalam metrik supremum ke fungsi yang nol pada \([0,1)\) dan satu di \(1\text{.}\) Rubrik: hitung supremum selisih, bukan hanya limit pada setiap titik.
Petunjuk.
Pada \(x=1\) selisihnya nol, tetapi untuk \(x\lt1\) selisihnya \(x^n\text{.}\) Seberapa besar supremum \(x^n\) ketika \(0\leq x\lt1\text{?}\)
Jawaban.
Tidak. Untuk setiap \(n\text{,}\) jarak supremum dari \(f_n\) ke fungsi calon limit itu sama dengan \(1\text{.}\)
Solusi.
Jika \(x\lt1\text{,}\) fungsi calon limit bernilai nol sehingga \(|f_n(x)-f(x)|=x^n\text{;}\) pada \(x=1\) selisihnya nol. Walaupun nilai \(1\) tidak dicapai pada interval setengah terbuka \([0,1)\text{,}\) nilai \(x^n\) dapat dibuat sedekat apa pun dengan \(1\) dengan memilih \(x\) cukup dekat ke \(1\text{.}\) Jadi
\begin{equation*} d(f_n,f)=\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1 \end{equation*}
untuk setiap \(n\text{.}\) Jarak itu tidak menuju nol, maka tidak ada konvergensi dalam metrik supremum.
Pandang kembali \(f_n(x)=x^n\text{,}\) kini di \(C[0,1]\) dengan metrik integral. Tentukan apakah barisan memiliki limit di ruang itu. Rubrik: uji fungsi nol yang kontinu dengan menghitung integral secara tepat.
Petunjuk.
Hitung \(d(f_n,0)=\int_0^1x^n\,dx\text{.}\) Limit titik demi titik yang tak kontinu bukan calon dalam \(C[0,1]\text{,}\) tetapi metrik integral dapat memiliki limit lain pada satu titik yang berbeda.
Jawaban.
Ya. Dalam metrik integral, \(f_n\) konvergen ke fungsi nol.
Solusi.
Fungsi nol berada dalam \(C[0,1]\text{.}\) Karena \(x^n\geq0\text{,}\)
\begin{equation*} d(f_n,0)=\int_0^1|x^n-0|\,dx =\int_0^1x^n\,dx=\frac{1}{n+1}\longrightarrow0. \end{equation*}
Jadi \(f_n\to0\) dalam metrik integral. Tidak ada konflik dengan limit titik demi titik yang bernilai satu di \(1\text{:}\) perubahan pada satu titik tidak memengaruhi integral, sedangkan metrik supremum peka terhadap nilai-nilai yang mendekati titik itu.
Nilai pernyataan bahwa barisan real yang menurun dan terbatas di bawah konvergen ke infimum himpunan sukunya. Rubrik: gunakan sifat penentu infimum untuk menemukan satu suku di bawah \(L+\epsilon\text{.}\)
Petunjuk.
Tulis \(L=\inf\{a_n:n\in\Z^+\}\text{.}\) Ada \(N\) dengan \(a_N\lt L+\epsilon\text{;}\) kemotonan mengendalikan semua suku sesudahnya.
Jawaban.
Pernyataan benar: barisan tersebut konvergen ke infimum himpunan semua sukunya.
Solusi.
Karena \(L\) batas bawah, \(L\leq a_n\) bagi semua \(n\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) bilangan \(L+\epsilon\) bukan batas bawah; maka ada \(N\) dengan \(a_N\lt L+\epsilon\text{.}\) Karena barisan menurun, bagi \(n\geq N\) berlaku \(L\leq a_n\leq a_N\lt L+\epsilon\text{.}\) Dengan demikian \(|a_n-L|\lt\epsilon\text{,}\) sehingga \(a_n\to L\text{.}\)
Nilai pernyataan: jika setiap bola \(B(a,r)\) bertemu subhimpunan tak kosong \(A\text{,}\) maka ada barisan di \(A\) yang konvergen ke \(a\text{.}\) Rubrik: pilih satu titik dari bola berjari-jari \(1/n\) untuk setiap \(n\text{.}\)
Petunjuk.
Pilih \(a_n\in A\cap B(a,1/n)\text{.}\) Definisi bola langsung memberi batas atas untuk \(d(a_n,a)\text{.}\)
Jawaban.
Pernyataan benar; pilihan \(a_n\in A\cap B(a,1/n)\) menghasilkan barisan yang konvergen ke \(a\text{.}\)
Solusi.
Hipotesis menjamin bahwa \(A\cap B(a,1/n)\) tidak kosong untuk setiap \(n\text{.}\) Pilih \(a_n\) dari irisan itu. Maka \(d(a_n,a)\lt1/n\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka \(d(a_n,a)\lt1/n\leq1/N\lt\epsilon\text{.}\) Jadi barisan yang seluruh sukunya berada di \(A\) tersebut konvergen ke \(a\text{.}\)
Nilai pernyataan bahwa \(\sup(S)\leq\inf(R)\) apabila setiap unsur \(S\) tidak melebihi setiap unsur \(R\text{.}\) Rubrik: baca setiap unsur \(R\) sebagai batas atas \(S\text{,}\) lalu balikkan peran batas itu.
Petunjuk.
Untuk setiap \(y\in R\text{,}\) berlaku \(\sup(S)\leq y\text{.}\) Artinya, \(\sup(S)\) sendiri merupakan batas bawah bagi \(R\text{.}\)
Jawaban.
Pernyataan benar: syarat urutan memaksa \(\sup(S)\leq\inf(R)\text{.}\)
Solusi.
Tetapkan \(y\in R\text{.}\) Karena \(x\leq y\) untuk semua \(x\in S\text{,}\) bilangan \(y\) adalah batas atas \(S\text{;}\) sehingga \(\sup(S)\leq y\text{.}\) Ini berlaku bagi setiap \(y\in R\text{,}\) jadi \(\sup(S)\) adalah batas bawah \(R\text{.}\) Karena \(\inf(R)\) adalah batas bawah terbesar, diperoleh \(\sup(S)\leq\inf(R)\text{.}\)
Nilai klaim bahwa \((1/n)\) menuju \(0\) dalam metrik pada pecahan rasional bentuk paling sederhana yang membandingkan pembilang dan penyebut. Rubrik: tulis representasi paling sederhana bagi \(1/n\) dan \(0\text{,}\) lalu hitung jaraknya.
Petunjuk.
Gunakan \(1/n\) dan \(0/1\text{.}\) Metrik memberi maksimum antara selisih pembilang dan selisih penyebut.
Jawaban.
Klaim salah, sebab \(d(1/n,0)=\max\{1,n-1\}\text{,}\) yang tidak menuju nol.
Solusi.
Pecahan \(1/n\) sudah dalam bentuk paling sederhana dan nol ditulis sebagai \(0/1\text{.}\) Maka
\begin{equation*} d\left(\frac1n,0\right) =\max\{|1-0|,|n-1|\}=\max\{1,n-1\}. \end{equation*}
Nilai ini sekurang-kurangnya \(1\) untuk semua \(n\text{,}\) bahkan bertambah tanpa batas. Karena jarak ke calon limit tidak menuju nol, barisan tersebut tidak konvergen ke \(0\) dalam metrik ini.
Nilai pernyataan bahwa barisan dalam ruang bermetrik diskret konvergen tepat ketika barisan itu pada akhirnya konstan. Rubrik: untuk satu arah pilih toleransi yang lebih kecil dari \(1\text{;}\) arah sebaliknya mengikuti definisi secara langsung.
Petunjuk.
Jika \(a_n\to a\text{,}\) gunakan \(\epsilon=1/2\text{.}\) Dalam metrik diskret, pertidaksamaan \(d(a_n,a)\lt1/2\) memaksa \(a_n=a\text{.}\)
Jawaban.
Pernyataan benar: barisan konvergen dalam metrik diskret jika dan hanya jika pada akhirnya semua sukunya sama dengan limitnya.
Solusi.
Andaikan \(a_n\to a\text{.}\) Untuk \(\epsilon=1/2\text{,}\) ada \(N\) sehingga \(d(a_n,a)\lt1/2\) bagi semua \(n\geq N\text{.}\) Jarak diskret hanya bernilai nol atau satu, maka harus \(d(a_n,a)=0\text{,}\) yakni \(a_n=a\text{,}\) sesudah \(N\text{.}\) Sebaliknya, jika \(a_n=a\) sesudah suatu ambang, maka bagi setiap \(\epsilon\gt0\) jarak \(d(a_n,a)=0\lt\epsilon\) sesudah ambang tersebut. Jadi barisan konvergen ke \(a\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>