Definisi 14.8.
Dua ruang topologi \((X,\tau_X)\) dan \((Y,\tau_Y)\) ekuivalen secara topologis jika terdapat bijeksi kontinu \(f : X \to Y\) sedemikian sehingga \(f^{-1}\) juga kontinu.
Bagian Ekuivalensi Topologis
Apabila kita dapat mendeformasi suatu himpunan menjadi himpunan lain tanpa melubanginya, kita memandang kedua himpunan tersebut ekuivalen dari sudut pandang topologi. Deformasi \(f\) itu harus bijektif agar kedua himpunan memiliki jumlah elemen yang sama, kontinu agar prapeta himpunan terbuka tetap terbuka, dan \(f^{-1}\) juga harus kontinu agar citra himpunan terbuka tetap terbuka. Fungsi seperti itu memberikan korespondensi satu-satu antara himpunan-himpunan terbuka dalam kedua ruang. Hal ini membawa kita pada definisi berikut.
Ekuivalensi metrik selalu mengakibatkan ekuivalensi topologis (dengan menggunakan topologi yang diinduksi oleh metrik), dan pembuktiannya diserahkan kepada Latihan 3. Jadi, ekuivalensi metrik merupakan syarat yang lebih kuat daripada ekuivalensi topologis.
Definisi 14.9.
Misalkan \((X,\tau_X)\) dan \((Y,\tau_Y)\) merupakan ruang topologi. Suatu fungsi \(f: X \to Y\) merupakan homeomorfisme jika \(f\) adalah bijeksi kontinu dan \(f^{-1}\) juga kontinu.
Jika terdapat homeomorfisme dari \((X,\tau_X)\) ke \((Y,\tau_Y)\text{,}\) kita mengatakan bahwa ruang \((X,\tau_X)\) dan \((Y,\tau_Y)\) merupakan ruang topologi yang homeomorfik.
Menunjukkan secara langsung bahwa dua ruang metrik homeomorfik dapat menjadi sulit, tetapi terdapat syarat cukup yang lebih mudah diperiksa dalam ruang metrik. Jika \(f\) merupakan homeomorfisme dari ruang metrik \((\R^2, d_E)\) ke ruang metrik \((\R^2, d_M)\text{,}\) sifat homeomorfisme \(f\) mempertahankan struktur topologis dari \(\R^2\) ke \(\R^2\text{,}\) tetapi tidak dengan sendirinya menjamin kehalusan ataupun batas global pada distorsi jarak — hal itu memerlukan syarat tambahan yang lebih kuat. Kita dapat meminta agar distorsi jarak dibatasi dalam kedua arah. Salah satu batas tersebut berbentuk: terdapat konstanta \(K\) sedemikian sehingga \(d_E(x,y) \leq K d_M(f(x),
f(y))\) untuk setiap \(x, y \in \R^2\text{.}\) Teorema berikut menyatakan bahwa batas dua arah seperti ini merupakan syarat cukup bagi ekuivalensi topologis ketika kita bekerja pada himpunan dasar yang sama.
Teorema 14.10.
Misalkan \(X\) suatu himpunan yang dilengkapi dengan dua metrik \(d\) dan \(d'\text{.}\) Jika terdapat konstanta positif \(K\) dan \(K'\) sedemikian sehingga
\begin{align*}
d'(x,y) \amp \leq K d(x,y)\\
d(x,y) \amp \leq K' d'(x,y)
\end{align*}
untuk semua \(x,y \in X\text{,}\) maka \((X,d)\) ekuivalen secara topologis dengan \((X,d')\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu himpunan yang dilengkapi dengan dua metrik \(d\) dan \(d'\text{.}\) Andaikan terdapat konstanta positif \(K\) dan \(K'\) sedemikian sehingga
\begin{align*}
d'(x,y) \amp \leq K d(x,y)\\
d(x,y) \amp \leq K' d'(x,y)
\end{align*}
untuk semua \(x,y \in X\text{.}\) Misalkan \(i_X : (X,d) \to (X,d')\) merupakan pemetaan identitas. Artinya, \(i_X(x)=x\) untuk semua \(x \in X\text{.}\) Kita akan membuktikan bahwa \(i_X\) merupakan homeomorfisme. Kita tahu bahwa \(i_X\) adalah bijeksi, sehingga kita hanya perlu memverifikasi bahwa \(i_X\) dan \(i_X^{-1}\) kontinu. Ambil \(\epsilon \gt 0\) dan \(a \in X\text{.}\) Pilih \(\delta = \frac{\epsilon}{K}\text{.}\) Andaikan \(x \in X\) sedemikian sehingga \(d(x,a) \lt \delta\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
d'(i_X(x), i_X(a)) = d'(x,a) \leq Kd(x,a) \lt K\delta = K\left(\frac{\epsilon}{K}\right) = \epsilon\text{.}
\end{equation*}
Jadi, \(i_X\) kontinu. Argumen yang sama menunjukkan bahwa \(i_X^{-1}\) juga kontinu. Oleh karena itu, \(i_X\) merupakan homeomorfisme antara \((X,d)\) dan \((X,d')\text{.}\)
Kegiatan 14.4.
(a)
Apakah \((\R^2,d_T)\) dan \((\R^2, d_M)\) ekuivalen secara topologis? Jelaskan.
(b)
Apakah \((\R^2,d_E)\) dan \((\R^2, d_T)\) ekuivalen secara topologis? Jelaskan.
(c)
Apakah Anda menduga bahwa \((\R^2,d_E)\) dan \((\R^2, d_M)\) ekuivalen secara topologis? Jelaskan tanpa melakukan perhitungan ataupun perbandingan.
