Bagian Gabungan dan Irisan Himpunan Tertutup
Sekarang kita telah mendefinisikan himpunan terbuka dan tertutup dalam ruang topologi. Dalam kegiatan pendahuluan, kita melihat bahwa suatu himpunan dapat sekaligus terbuka dan tertutup. Seperti yang kita lakukan pada ruang metrik, setiap himpunan yang sekaligus terbuka dan tertutup akan kita sebut himpunan buka-tutup (clopen, gabungan kata closed-open).
Berdasarkan definisi, sebarang gabungan dan setiap irisan berhingga himpunan terbuka dalam ruang topologi bersifat terbuka. Karena himpunan tertutup merupakan komplemen himpunan terbuka, kita memperoleh teorema berikut.
Teorema 13.2.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi.
Sebarang irisan himpunan-himpunan tertutup dalam \(X\) merupakan himpunan tertutup dalam \(X\text{.}\)
Setiap gabungan berhingga himpunan-himpunan tertutup dalam \(X\) merupakan himpunan tertutup dalam \(X\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi. Untuk membuktikan bagian 1, andaikan \(C_{\alpha}\) merupakan himpunan tertutup dalam \(X\) untuk setiap \(\alpha\) dalam suatu himpunan indeks \(I\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
X \setminus \bigcap_{\alpha \in I} C_{\alpha} = \bigcup_{\alpha \in I} X \setminus C_{\alpha}\text{.}
\end{equation*}
Ruas kanan merupakan gabungan sebarang himpunan-himpunan terbuka, sehingga ruas tersebut terbuka. Oleh karena itu, berdasarkan definisi, \(\bigcap_{\alpha \in I} C_{\alpha}\) merupakan himpunan tertutup.
Untuk bagian 2, andaikan \(C_1\text{,}\) \(C_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(C_n\) merupakan himpunan-himpunan tertutup dalam \(X\) untuk suatu \(n \in \Z^+\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(C = \bigcup_{k=1}^n C_k\) merupakan himpunan tertutup, kita akan menunjukkan bahwa \(X \setminus C\) merupakan himpunan terbuka. Sekarang,
\begin{equation*}
X \setminus \bigcup_{k=1}^n C_k = \bigcap_{k=1}^n (X \setminus C_k)
\end{equation*}
merupakan irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka, sehingga bersifat terbuka. Dengan demikian, \(\bigcup_{k=1}^n C_k\) merupakan himpunan tertutup.
Teorema 13.2 menyatakan bahwa sebarang irisan himpunan-himpunan tertutup bersifat tertutup, sedangkan hanya gabungan berhingga himpunan-himpunan tertutup yang dijamin tertutup. Bagaimana kita mengetahui bahwa gabungan tak berhingga himpunan-himpunan tertutup belum tentu tertutup?
Kegiatan 13.2.
Misalkan \(\Z\) suatu ruang topologi dengan topologi komplemen berhingga \(\tau_{FC}\text{.}\) Artinya, suatu himpunan tak kosong \(O\) terbuka dalam \(\Z\) jika \(\Z \setminus O\) berhingga.
(a)
Apa yang harus berlaku bagi kardinalitas himpunan-himpunan tertutup dalam \((\Z, \tau_{FC})\text{?}\)
(b)
Misalkan \(C_n = \{2, 3, \ldots, n\}\text{.}\) Apakah himpunan \(\bigcup_{n \geq 3} C_n\) tertutup dalam \((\Z, \tau_{FC})\text{?}\) Jelaskan.
