Bagian Ruang Metrik dan Ruang Topologi
Setiap ruang metrik merupakan ruang topologi, dengan topologi berupa koleksi himpunan terbuka yang ditentukan oleh metrik. Topologi ini disebut topologi metrik. Pertanyaan alami adalah apakah setiap ruang topologi merupakan ruang metrik. Artinya, diberikan suatu ruang topologi, dapatkah kita mendefinisikan metrik pada ruang tersebut sehingga himpunan-himpunan terbukanya tepat sama dengan himpunan dalam topologinya? Sebagai contoh, setiap ruang dengan topologi diskret merupakan ruang metrik dengan metrik diskret.
Kegiatan 12.6.
Misalkan \(X = \{a,b,c,e\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X \}\text{.}\) Jelaskan mengapa tidak mungkin ada metrik \(d : X \times X \to \R\) sedemikian sehingga himpunan terbuka dalam topologi metrik adalah himpunan-himpunan dalam \(\tau\text{.}\)
Petunjuk.Andaikan metrik tersebut ada dan pertimbangkan bola-bola terbuka yang berpusat di \(c\text{.}\)
Kita menyimpulkan bahwa setiap ruang metrik merupakan ruang topologi, tetapi tidak setiap ruang topologi merupakan ruang metrik. Ruang topologi yang dapat direalisasikan sebagai ruang metrik disebut termetriskan.
