Pendahuluan

Bagian Pendahuluan

Kita telah melihat bahwa suatu subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \((X,d_X)\) menjadi subruang dari \(X\) ketika dibekali pembatasan metrik \(d_X\) pada \(A\text{.}\) Pada ruang topologi umum kita tidak memiliki metrik, sehingga pendekatan tersebut tidak dapat diterapkan dengan cara yang sama. Namun, kita telah membuktikan bahwa himpunan terbuka dalam subruang \(A\) dari ruang metrik \((X,d_X)\) tepat berupa irisan himpunan terbuka dalam \(X\) dengan \(A\text{.}\) Gagasan ini dapat dialihkan ke ruang topologi.

Untuk menjadikan suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \((X,\tau)\) sebagai ruang topologi, kita perlu mendefinisikan topologi pada \(A\text{.}\)

Sebuah persegi panjang besar berlabel X memuat persegi panjang berarsir ungu berlabel A. Sebuah lingkaran putus-putus berlabel O beririsan dengan sisi kiri A; bagian irisannya dengan A menggambarkan himpunan O irisan A yang terbuka relatif dalam subruang A.

Gambar 15.1. Calon himpunan terbuka dalam suatu subruang.

Aktivitas Persiapan 15.1.

Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi dan \(A\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(X\text{.}\) Masuk akal untuk menggunakan himpunan terbuka dalam \(X\) guna mendefinisikan himpunan terbuka dalam \(A\text{.}\) Lebih khusus, kita dapat menganggap suatu subhimpunan \(O_A\) dari \(A\) terbuka dalam \(A\) jika \(O_A\) merupakan irisan \(A\) dengan suatu himpunan terbuka dalam \(X\text{,}\) seperti diilustrasikan dalam Gambar 15.1. Dengan gagasan ini, kita mendefinisikan \(\tau_A\) sebagai

\begin{equation*} \tau_A = \{O \cap A \mid O \in \tau\}\text{.} \end{equation*}

(a)

Tunjukkan bahwa \(\tau_A\) merupakan topologi pada \(A\text{.}\) Hasil di atas menunjukkan bahwa setiap subhimpunan tak kosong dari suatu ruang topologi \((X,\tau)\) juga merupakan ruang topologi dengan topologi \(\tau_A\text{.}\)

(b)

Pada setiap butir berikut, \(X\) adalah ruang topologi dan \(\tau\) merupakan topologi pada \(X\text{.}\)

(i)

Misalkan \(X= \{a,b,c,d\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X \}\text{.}\) Perhatikan subhimpunan \(A=\{b,c\}\) dan daftarkan himpunan terbuka dalam topologi subruang \(\tau_A\text{.}\) Sekarang perhatikan \(Z = \{a,b\}\text{.}\) Apa nama topologi subruang \(\tau_Z\) pada subhimpunan dari \(X\) ini?

(ii)

Perhatikan \(X=\R\) dengan \(\tau\) topologi indiskret. Apa saja himpunan terbuka dalam topologi subruang pada \([1,2]\text{?}\) Sekarang generalisasikan hasilnya untuk sebarang himpunan tak kosong dalam topologi indiskret.

(iii)

Misalkan \(X = \{a,b,c,d,e,f,g,h,i\}\) dengan \(\tau\) topologi diskret. Apa saja himpunan terbuka dalam topologi subruang pada \(\{a,b,d\}\text{?}\) Sekarang generalisasikan hasilnya untuk sebarang himpunan tak kosong dalam topologi diskret.

(iv)

Misalkan \(X= \{a,b,c,d,e,f\}\) dengan \(\tau = \{\emptyset,\{a\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d,e,f\}, X\}\text{.}\) Apa saja himpunan terbuka dalam subruang \(A = \{a, b, e\}\text{?}\) Apakah setiap himpunan terbuka dalam \(A\) juga terbuka dalam \(X\text{?}\) Jelaskan.

(v)

Misalkan \(X=\Z\) dengan \(\tau = \tau_{FC}\) topologi komplemen berhingga. Apa saja himpunan terbuka dalam topologi subruang pada \(A = \{0,19, 37, 5284\}\text{?}\) Dapatkah Anda menggeneralisasikan hasil ini untuk topologi subruang pada sebarang subhimpunan berhingga dari \(\Z\text{?}\)

(vi)

Misalkan \(X=\Z\) dengan \(\tau = \tau_{FC}\) topologi komplemen berhingga. Apa saja himpunan terbuka dalam topologi subruang pada himpunan bilangan bulat genap? Dapatkah Anda menggeneralisasikan hasil ini untuk topologi subruang pada sebarang subhimpunan tak berhingga dari \(\Z\text{?}\)

Definisi 15.2.

Misalkan \((X,\tau)\) suatu ruang topologi. Suatu subruang dari \((X,\tau)\) adalah subhimpunan tak kosong \(A\) dari \(X\) yang dibekali topologi