1.
Tentukan apakah himpunan-himpunan \(S\) berikut terbuka dalam subruang \(A\) dari ruang metrik \((\R, d_E)\text{.}\)
(a)
\(S = [1,2)\) dalam \(A = [1,3]\)
(b)
\(S = \{1, 2\}\) dalam \(A = \Q\)
(c)
\(S = \{1,2\}\) dalam \(A = \Z\)
Latihan Latihan
2.
Misalkan \(O\) suatu himpunan terbuka dalam ruang metrik \((X,d)\text{.}\) Tunjukkan bahwa suatu subhimpunan \(U\) dari \(O\) terbuka dalam \((O, d|_{O \times O})\) jika dan hanya jika \(U\) terbuka dalam \((X,d)\text{.}\)
3.
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) ruang-ruang metrik, dan misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi kontinu. Jika \(A\) merupakan subruang dari \(X\text{,}\) apakah pembatasan \(f|_A\) dari \(f\) pada \(A\) yang memetakan \(A\) ke \(Y\) harus kontinu? Berikan bukti bahwa pembatasan tersebut kontinu, atau berikan suatu contoh yang menunjukkan bahwa pembatasan tersebut tidak harus kontinu.
4.
Buktikan Teorema 11.3. Artinya, misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Buktikan bahwa suatu subhimpunan \(C_A\) dari \(A\) tertutup dalam \(A\) jika dan hanya jika terdapat suatu himpunan tertutup \(C_X\) dalam \(X\) sedemikian sehingga \(C_A = C_X \cap A\text{.}\)
5.
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ruang-ruang metrik. Buktikan atau sangkal: fungsi \(d: (X \times Y) \times (X \times Y) \to \R\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) = d_X(x_1,x_2) + d_Y(y_1,y_2)
\end{equation*}
merupakan suatu metrik pada \(X \times Y\text{.}\)
6.
Misalkan \((X_i, d_i)\) merupakan ruang metrik untuk \(i\) dari \(1\) sampai suatu bilangan bulat positif \(n\text{.}\) Misalkan \(X = \prod_{i=1}^n X_i,\ d: X \times X \to \R\) didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n d_i(x_i,y_i)^2}
\end{equation*}
apabila \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\) dan \(y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)\) berada dalam \(X\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(d\) merupakan suatu metrik pada \(\prod_{i=1}^n X_i\text{.}\)
7.
Misalkan \((x_n)\) suatu barisan bilangan real yang tak menurun dan terbatas di atas. Artinya, \(x_n \leq x_{n+1}\) untuk setiap \(n\) dan terdapat bilangan real positif \(K\) sedemikian sehingga \(x_n \leq K\) untuk setiap \(n\text{.}\) Tunjukkan bahwa barisan \((x_n)\) konvergen.
8.
Hasil kali tak hingga dapat dipandang sebagai ruang metrik. Salah satu contoh penting adalah ruang Hilbert \(H\text{,}\) yang terdiri atas semua barisan tak hingga \((x_n)\) dengan \(x_n \in \R\) untuk setiap \(n\) dan \(\sum_{k = 1}^{\infty} x_k^2\) berhingga. Ruang Hilbert memiliki penerapan penting dalam fisika, khususnya dalam mekanika kuantum.
(a)
Berikan dua unsur berbeda dalam \(H\) dan satu barisan tak hingga yang tidak berada dalam \(H\text{.}\) Jelaskan contoh-contoh Anda.
(b)
Kita mendefinisikan norma suatu unsur \(x = (x_n)\) dalam \(H\) sebagai
\begin{equation*}
\lVert x\rVert = \sqrt{\sum_{k=1}^{\infty} x_k^2}\text{.}
\end{equation*}
Dari norma ini, kita dapat mendefinisikan jarak antara unsur-unsur \(x = (x_n)\) dan \(y = (y_n)\) dalam \(H\) sebagai berikut:
\begin{equation*}
d(x,y) = \lVert x-y \rVert\text{,}
\end{equation*}
dengan \(x-y = (x_n-y_n)\text{.}\) Cara lain untuk menuliskan \(d\) adalah
\begin{equation*}
d(x,y) = \sqrt{\sum_{k=1}^{\infty} (x_k-y_k)^2}\text{.}
\end{equation*}
Salah satu potensi masalah dengan fungsi \(d\) ini adalah bahwa kita perlu mengetahui: jika \(x\) dan \(y\) berada dalam \(H\text{,}\) maka \(x-y \in H\text{.}\) Artinya, tunjukkan bahwa jika \(\sum_{k=1}^{\infty} x_k^2\) dan \(\sum_{k=1}^{\infty} y_k^2\) berhingga, maka \(\sum_{k=1}^{\infty} (x_k-y_k)^2\) juga berhingga.
(c)
Tunjukkan bahwa \(d\) merupakan suatu metrik pada \(H\text{.}\)
(d)
Misalkan \(E^m = \{(x_n) \in H \mid x_k = 0 \text{ untuk } k > m\}\text{.}\) Misalkan \(f: E^m \to \R^m\) didefinisikan oleh \(f((x_n)_{n=1}^{\infty}) = (x_n)_{n=1}^m\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(f\) merupakan bijeksi sedemikian sehingga \(d((x_n), (y_n)) = d_E(f((x_n)),
f((y_n)))\) untuk sebarang unsur \((x_n)\text{,}\) \((y_n)\) dalam \(E^m\text{.}\) Jadi, \(E^m\) pada dasarnya sama dengan \(\R^m\text{,}\) sehingga kita dapat memandang ruang \(\R^m\) tertanam dalam \(H\) sebagai suatu subruang dari \(H\) untuk setiap \(m \in \Z^+\text{.}\)
9.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \(d\) merupakan metrik diskret pada ruang metrik \(X\text{,}\) maka untuk sebarang subruang \(A\) dari \(X\text{,}\) pembatasan \(d\) pada \(A\) merupakan metrik diskret.
(b)
Jika \(d\) merupakan metrik pada ruang \(X\) yang bukan metrik diskret, dan jika \(A\) merupakan subhimpunan dari \(X\text{,}\) maka \(d|_A\) tidak mungkin merupakan metrik diskret.
(c)
Misalkan \(A\) suatu subruang dari ruang metrik \((X,d)\text{.}\) Jika suatu barisan \((a_n)\) berada dalam \(A\) dan \(\lim a_n = a\) untuk suatu \(a \in A\text{,}\) maka \(\lim a_n = a\) dalam \(X\text{.}\)
(d)
Misalkan \(A\) suatu subruang dari ruang metrik \((X,d)\text{.}\) Jika suatu barisan \((a_n)\) berada dalam \(A\) dan \(\lim a_n = a\) untuk suatu \(a \in X\text{,}\) maka \(\lim a_n = a\) dalam \(A\text{.}\)
(e)
Jika \((X,d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) merupakan ruang-ruang metrik, maka fungsi \(d: (X \times Y) \times (X \times Y) \to \R\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) = \max\{d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1,y_2)\}
\end{equation*}
merupakan suatu metrik pada \(X \times Y\text{.}\)
(f)
Jika \((X,d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) merupakan ruang-ruang metrik, maka fungsi \(d: (X \times Y) \times (X \times Y) \to \R\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) = d_X(x_1,x_2)d_Y(y_1,y_2)
\end{equation*}
merupakan suatu metrik pada \(X \times Y\text{.}\)
