Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan Bab 14, bagian pertama

Bagian ini memberi dukungan bertahap untuk sepuluh unit soal mandiri pertama pada latihan tentang ekuivalensi metrik, homeomorfisme, dan kekontinuan. Urutannya mengikuti urutan soal pada sumber; uraian jawaban dan solusi di sini merupakan materi pendamping yang ditulis secara terpisah.
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) merupakan ruang metrik yang ekuivalen secara metrik, dan misalkan \(f:X\to Y\) suatu bijeksi sedemikian sehingga
\begin{equation*} d_X(x,y)=d_Y(f(x),f(y)) \end{equation*}
untuk semua \(x,y\in X\text{.}\) Buktikan bahwa
\begin{equation*} d_Y(u,v)=d_X(f^{-1}(u),f^{-1}(v)) \end{equation*}
untuk semua \(u\) dan \(v\) dalam \(Y\text{.}\)
Petunjuk.
Untuk \(u,v\in Y\text{,}\) tetapkan \(x=f^{-1}(u)\) dan \(y=f^{-1}(v)\text{,}\) lalu terapkan persamaan pelestarian jarak kepada \(x\) dan \(y\text{.}\)
Jawaban.
Persamaan tersebut berlaku karena \(f(f^{-1}(u))=u\) dan \(f(f^{-1}(v))=v\text{.}\)
Solusi.
Ambil sebarang \(u,v\in Y\text{.}\) Karena \(f\) bijektif, \(x=f^{-1}(u)\) dan \(y=f^{-1}(v)\) terdefinisi dan berada dalam \(X\text{.}\) Gunakan sifat pelestarian jarak pada pasangan \(x,y\text{:}\)
\begin{equation*} d_X(f^{-1}(u),f^{-1}(v)) =d_Y(f(f^{-1}(u)),f(f^{-1}(v))) =d_Y(u,v). \end{equation*}
Karena \(u\) dan \(v\) sebarang, persamaan berlaku untuk semua pasangan titik dalam \(Y\text{.}\) Jadi invers isometri itu juga mempertahankan jarak.
Misalkan \((X,\tau_X)\) dan \((Y,\tau_Y)\) merupakan ruang topologi, \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme, dan \(A\subseteq X\text{.}\) Jika \(x\) merupakan titik limit dari \(A\text{,}\) apakah \(f(x)\) harus merupakan titik limit dari \(f(A)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
Petunjuk.
Ambil lingkungan sebarang \(V\) bagi \(f(x)\text{.}\) Prapetanya adalah lingkungan bagi \(x\text{;}\) gunakan sifat titik limit, kemudian gunakan keinjektifan \(f\) untuk mempertahankan ketaksamaan titik.
Jawaban.
Ya. Setiap lingkungan bagi \(f(x)\) memuat suatu titik \(f(A)\) yang berbeda dari \(f(x)\text{.}\)
Solusi.
Ambil lingkungan sebarang \(V\) bagi \(f(x)\) dalam \(Y\text{.}\) Karena \(f\) kontinu, \(f^{-1}(V)\) merupakan lingkungan bagi \(x\text{.}\) Titik \(x\) adalah titik limit \(A\text{,}\) sehingga terdapat \(a\in A\) dengan \(a\neq x\) dan \(a\in f^{-1}(V)\text{.}\) Akibatnya, \(f(a)\in f(A)\cap V\text{.}\) Karena suatu homeomorfisme adalah injektif, \(a\neq x\) memberikan \(f(a)\neq f(x)\text{.}\) Jadi setiap lingkungan \(V\) bagi \(f(x)\) bertemu \(f(A)\setminus\{f(x)\}\text{.}\) Menurut definisi, \(f(x)\) merupakan titik limit dari \(f(A)\text{.}\)
Misalkan \((X,\tau_X)\) dan \((Y,\tau_Y)\) merupakan ruang topologi, \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme, dan \(A\subseteq X\text{.}\) Jika \(x\) merupakan titik interior dari \(A\text{,}\) apakah \(f(x)\) harus merupakan titik interior dari \(f(A)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
Petunjuk.
Pilih himpunan terbuka \(U\) dengan \(x\in U\subseteq A\text{.}\) Jelaskan mengapa \(f(U)=(f^{-1})^{-1}(U)\) terbuka.
Jawaban.
Ya. Homeomorfisme membawa lingkungan terbuka yang termuat dalam \(A\) ke lingkungan terbuka yang termuat dalam \(f(A)\text{.}\)
Solusi.
Karena \(x\) merupakan titik interior \(A\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(U\subseteq X\) dengan \(x\in U\subseteq A\text{.}\) Invers \(f^{-1}:Y\to X\) kontinu, sehingga prapeta himpunan terbuka \(U\) di bawah \(f^{-1}\) terbuka dalam \(Y\text{.}\) Prapeta ini adalah
\begin{equation*} (f^{-1})^{-1}(U)=f(U). \end{equation*}
Selain itu, \(f(x)\in f(U)\subseteq f(A)\text{.}\) Jadi \(f(A)\) memuat lingkungan terbuka \(f(U)\) dari \(f(x)\text{,}\) yang berarti \(f(x)\) merupakan titik interior dari \(f(A)\text{.}\)
Misalkan \((X,\tau_X)\) dan \((Y,\tau_Y)\) merupakan ruang topologi, \(f:X\to Y\) suatu homeomorfisme, dan \(A\subseteq X\text{.}\) Jika \(x\) merupakan titik batas dari \(A\text{,}\) apakah \(f(x)\) harus merupakan titik batas dari \(f(A)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
Petunjuk.
Untuk lingkungan \(V\) bagi \(f(x)\text{,}\) lingkungan \(f^{-1}(V)\) bagi \(x\) bertemu \(A\) dan \(X\setminus A\text{.}\) Gunakan keinjektifan untuk menentukan citra titik dari komplemen itu.
Jawaban.
Ya. Setiap lingkungan bagi \(f(x)\) bertemu \(f(A)\) dan \(Y\setminus f(A)\text{.}\)
Solusi.
Ambil lingkungan sebarang \(V\) bagi \(f(x)\text{.}\) Kekontinuan \(f\) membuat \(f^{-1}(V)\) menjadi lingkungan bagi \(x\text{.}\) Karena \(x\) titik batas \(A\text{,}\) terdapat \(a\in f^{-1}(V)\cap A\) dan \(b\in f^{-1}(V)\cap(X\setminus A)\text{.}\) Maka \(f(a)\in V\cap f(A)\text{.}\)
Di sisi lain, \(f(b)\in V\) tetapi \(f(b)\notin f(A)\text{.}\) Memang, jika \(f(b)=f(c)\) untuk suatu \(c\in A\text{,}\) keinjektifan \(f\) akan memberikan \(b=c\in A\text{,}\) bertentangan dengan \(b\notin A\text{.}\) Jadi \(f(b)\in V\cap(Y\setminus f(A))\text{.}\) Setiap lingkungan \(V\) bertemu kedua \(f(A)\) dan komplemennya; dengan demikian \(f(x)\) merupakan titik batas dari \(f(A)\text{.}\)
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) merupakan ruang metrik yang ekuivalen secara metrik. Tunjukkan bahwa \(X\) dan \(Y\) ekuivalen secara topologis jika menggunakan topologi metriknya.
Petunjuk.
Ambil isometri \(f:X\to Y\text{.}\) Dalam pembuktian \(\epsilon\)-\(\delta\) untuk \(f\) maupun \(f^{-1}\text{,}\) pilihan \(\delta=\epsilon\) sudah cukup.
Jawaban.
Setiap isometri adalah homeomorfisme terhadap topologi yang diinduksi oleh metrik; jadi kedua ruang tersebut ekuivalen secara topologis.
Solusi.
Ekuivalensi metrik menyediakan bijeksi \(f:X\to Y\) dengan \(d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\) untuk semua \(x,y\in X\text{.}\) Tetapkan \(x\in X\) dan \(\epsilon\gt 0\text{.}\) Jika \(d_X(x,y)\lt\delta\) dengan \(\delta=\epsilon\text{,}\) maka
\begin{equation*} d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\lt\epsilon. \end{equation*}
Jadi \(f\) kontinu di setiap \(x\text{.}\)
Karena \(f\) bijektif, inversnya terdefinisi. Untuk semua \(u,v\in Y\text{,}\) pelestarian jarak pada arah invers memberikan \(d_X(f^{-1}(u),f^{-1}(v))=d_Y(u,v)\text{.}\) Argumen yang sama, kembali dengan \(\delta=\epsilon\text{,}\) menunjukkan bahwa \(f^{-1}\) kontinu. Dengan demikian \(f\) adalah bijeksi kontinu dengan invers kontinu, yaitu homeomorfisme antara topologi-topologi metrik pada \(X\) dan \(Y\text{.}\)
Misalkan \((X,\tau_X)\) dan \((Y,\tau_Y)\) merupakan ruang topologi, dan \(f:X\to Y\) suatu fungsi. Buktikan bahwa \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(C)\) merupakan himpunan tertutup dalam \(X\) setiap kali \(C\) merupakan himpunan tertutup dalam \(Y\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan kesamaan \(f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)\) dan ubah himpunan tertutup menjadi komplemen himpunan terbuka pada kedua arah bukti.
Jawaban.
Pernyataan itu benar: pencirian prapeta himpunan tertutup setara dengan pencirian prapeta himpunan terbuka karena prapeta mempertahankan komplemen.
Solusi.
Andaikan \(f\) kontinu dan ambil himpunan tertutup \(C\subseteq Y\text{.}\) Himpunan \(Y\setminus C\) terbuka, sehingga \(f^{-1}(Y\setminus C)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Akan tetapi,
\begin{equation*} f^{-1}(Y\setminus C)=X\setminus f^{-1}(C). \end{equation*}
Jadi komplemen \(f^{-1}(C)\) terbuka, dan karenanya \(f^{-1}(C)\) tertutup dalam \(X\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan prapeta setiap himpunan tertutup dalam \(Y\) tertutup dalam \(X\text{.}\) Ambil himpunan terbuka \(O\subseteq Y\text{.}\) Komplemennya \(C=Y\setminus O\) tertutup, sehingga \(f^{-1}(C)\) tertutup. Maka
\begin{equation*} f^{-1}(O)=f^{-1}(Y\setminus C)=X\setminus f^{-1}(C) \end{equation*}
terbuka dalam \(X\text{.}\) Prapeta setiap himpunan terbuka dalam \(Y\) dengan demikian terbuka dalam \(X\text{,}\) yang membuktikan kekontinuan \(f\text{.}\)
Misalkan \((X,\tau_X)\text{,}\) \((Y,\tau_Y)\text{,}\) dan \((Z,\tau_Z)\) merupakan ruang topologi. Misalkan \(f:X\to Y\) dan \(g:Y\to Z\) merupakan fungsi kontinu. Buktikan bahwa \(g\circ f:X\to Z\) merupakan fungsi kontinu.
Petunjuk.
Untuk himpunan terbuka \(O\subseteq Z\text{,}\) gunakan \((g\circ f)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))\) dan terapkan kekontinuan kedua fungsi secara berurutan.
Jawaban.
Komposisi \(g\circ f\) kontinu karena prapeta setiap himpunan terbuka di bawah komposisi itu terbuka dalam \(X\text{.}\)
Solusi.
Ambil sebarang himpunan terbuka \(O\subseteq Z\text{.}\) Karena \(g\) kontinu, \(g^{-1}(O)\) terbuka dalam \(Y\text{.}\) Karena \(f\) kontinu, \(f^{-1}(g^{-1}(O))\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Identitas prapeta komposisi memberikan
\begin{equation*} (g\circ f)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O)). \end{equation*}
Jadi prapeta setiap himpunan terbuka dalam \(Z\) di bawah \(g\circ f\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Berdasarkan pencirian kekontinuan dengan himpunan terbuka, \(g\circ f\) kontinu.
Misalkan \((X,\tau_X)\text{,}\) \((Y,\tau_Y)\text{,}\) dan \((Z,\tau_Z)\) merupakan ruang topologi. Misalkan \(f:(X,\tau_X)\to(Y,\tau_Y)\) suatu homeomorfisme dan \(h:(Y,\tau_Y)\to(Z,\tau_Z)\) suatu fungsi. Buktikan bahwa \(h\) kontinu jika dan hanya jika \(h\circ f\) kontinu.
Petunjuk.
Satu arah mengikuti kekontinuan komposisi. Untuk arah sebaliknya, tuliskan \(h=(h\circ f)\circ f^{-1}\text{.}\)
Jawaban.
Kedua pernyataan setara karena \(f\) dan \(f^{-1}\) kontinu, sedangkan komposisi fungsi-fungsi kontinu selalu kontinu.
Solusi.
Jika \(h\) kontinu, maka \(f\) juga kontinu karena merupakan homeomorfisme. Oleh teorema komposisi, \(h\circ f:X\to Z\) kontinu.
Sebaliknya, andaikan \(h\circ f\) kontinu. Invers \(f^{-1}:Y\to X\) kontinu menurut definisi homeomorfisme. Karena \(f\) bijektif,
\begin{equation*} (h\circ f)\circ f^{-1}=h\circ(f\circ f^{-1})=h. \end{equation*}
Ruas kiri adalah komposisi dua fungsi kontinu, sehingga \(h\) kontinu. Kedua implikasi membuktikan ekuivalensi yang diminta.
Misalkan \((X,\tau_X)\text{,}\) \((Y,\tau_Y)\text{,}\) dan \((Z,\tau_Z)\) merupakan ruang topologi. Misalkan \(f:(X,\tau_X)\to(Y,\tau_Y)\) suatu homeomorfisme dan \(k:(Z,\tau_Z)\to(X,\tau_X)\) suatu fungsi. Buktikan bahwa \(k\) kontinu jika dan hanya jika \(f\circ k\) kontinu.
Petunjuk.
Satu arah menggunakan komposisi \(f\circ k\text{.}\) Untuk arah sebaliknya, susun kembali \(k=f^{-1}\circ(f\circ k)\text{.}\)
Jawaban.
Kedua pernyataan setara karena komposisi dengan homeomorfisme dapat dibatalkan secara kontinu menggunakan \(f^{-1}\text{.}\)
Solusi.
Jika \(k\) kontinu, kekontinuan \(f\) menunjukkan bahwa komposisi \(f\circ k:Z\to Y\) kontinu.
Sebaliknya, andaikan \(f\circ k\) kontinu. Karena \(f\) homeomorfisme, \(f^{-1}:Y\to X\) kontinu. Selain itu,
\begin{equation*} f^{-1}\circ(f\circ k)=(f^{-1}\circ f)\circ k=k. \end{equation*}
Jadi \(k\) adalah komposisi dua fungsi kontinu dan karenanya kontinu. Ini membuktikan kedua arah pernyataan.
Misalkan \(X=\{a,b,c,d\}\) dengan topologi \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{b,d\},\{a,b,d\},X\}\text{.}\) Temukan fungsi \(f:X\to X\) yang kontinu tepat di satu titik, atau tunjukkan bahwa fungsi seperti itu tidak ada.
Petunjuk.
Perhatikan bahwa \(\{a\}\) dan \(\{b\}\) terbuka. Tentukan apa akibatnya bagi kekontinuan sebarang fungsi pada titik \(a\) dan \(b\) di domain.
Jawaban.
Fungsi seperti itu tidak ada. Setiap fungsi \(f:X\to X\) kontinu setidaknya di dua titik, yaitu \(a\) dan \(b\text{.}\)
Solusi.
Titik \(a\) terisolasi karena singleton \(\{a\}\) terbuka. Ambil sebarang fungsi \(f:X\to X\) dan sebarang lingkungan \(N\) bagi \(f(a)\text{.}\) Karena \(f(a)\in N\text{,}\) berlaku \(a\in f^{-1}(N)\text{.}\) Dengan demikian \(f^{-1}(N)\) memuat himpunan terbuka \(\{a\}\text{,}\) sehingga merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Menurut definisi, \(f\) kontinu di \(a\text{.}\)
Argumen yang sama berlaku bagi \(b\text{,}\) sebab \(\{b\}\) juga terbuka. Jadi, apa pun nilai-nilai fungsi \(f\text{,}\) fungsi itu selalu kontinu di \(a\) dan \(b\text{.}\) Akibatnya tidak mungkin ada fungsi dari \(X\) ke \(X\) yang kontinu tepat di satu titik.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>