Bagian Pemeriksaan penguasaan Bab 10
Delapan pemeriksaan berikut menggabungkan beberapa gagasan Bab 10 dalam situasi baru. Materi ini ditulis secara mandiri untuk komponen pendamping berlisensi CC BY 4.0. Gunakan petunjuk hanya setelah mencoba soal; jawaban menyatakan hasil, sedangkan solusi memperlihatkan bukti lengkap.
Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) ambil \(A=\{0\}\cup(1,2]\text{.}\) Tentukan interior, tutupan, batas, himpunan titik limit, dan himpunan titik terasing dari \(A\text{.}\) Putuskan pula apakah \(A\) terbuka atau tertutup.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Analisis titik \(0\text{,}\) kedua ujung \(1,2\text{,}\) dan titik di antara \(1\) dan \(2\) secara terpisah.
\(\Int(A)=(1,2)\text{,}\) \(\overline A=\{0\}\cup[1,2]\text{,}\) \(\Bdry(A)=\{0,1,2\}\text{,}\) \(A'=[1,2]\text{,}\) dan \(A^i=\{0\}\text{.}\) Himpunan \(A\) tidak terbuka dan tidak tertutup.
Setiap titik di \((1,2)\) memiliki interval kecil di dalam \(A\text{;}\) tidak ada titik lain yang interior. Titik \(1\) dapat didekati dari kanan dan titik \(2\) dari kiri, sehingga keduanya berada dalam tutupan dan merupakan titik limit. Semua titik \((1,2)\) juga titik limit, sedangkan titik \(0\) terasing karena, misalnya, \(( -1/2,1/2)\cap A=\{0\}\text{.}\) Jadi \(A'=[1,2]\) dan \(A^i=\{0\}\text{.}\) Tutupan adalah \(A\cup A'=\{0\}\cup[1,2]\text{.}\) Menggunakan \(\Bdry(A)=\overline A\setminus\Int(A)\) memberi \(\{0,1,2\}\text{.}\) Karena \(0\) bukan titik interior, \(A\) tidak terbuka; karena \(1\in\overline A\setminus A\text{,}\) \(A\) tidak tertutup.
Pemeriksaan J.82. Menutup barisan kebalikan.
Buktikan langsung bahwa \(C=\{0\}\cup\{1/n\mid n\in\Z^+\}\) tertutup di \(\R\text{,}\) dan tentukan semua titik limit serta titik terasingnya.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Titik \(0\) adalah satu-satunya kandidat titik limit. Untuk \(1/n\text{,}\) pilih radius kurang dari separuh jaraknya ke tetangga terdekat dalam daftar.
Himpunan titik limit adalah \(C'=\{0\}\text{;}\) setiap \(1/n\) terasing. Karena \(C'\subseteq C\text{,}\) himpunan \(C\) tertutup.
Barisan \(1/n\) konvergen ke \(0\text{,}\) sehingga setiap lingkungan \(0\) memuat titik \(C\) selain \(0\text{;}\) jadi \(0\in C'\text{.}\) Untuk suatu \(1/n\text{,}\) jaraknya ke anggota lain dari daftar mempunyai minimum positif di sekitar indeks itu; pilih radius lebih kecil daripada setengah jarak ke \(1/(n-1)\) dan \(1/(n+1)\text{,}\) dengan penyesuaian yang jelas untuk \(n=1\text{.}\) Bola tersebut bertemu \(C\) hanya di \(1/n\text{,}\) jadi setiap \(1/n\) terasing.
Jika \(x\notin C\) dan \(x\neq0\text{,}\) pilih lingkungan kecil yang tidak memuat \(0\text{.}\) Hanya berhingga banyak suku \(1/n\) dapat berada di lingkungan itu; radius dapat diperkecil lagi untuk menghindari semuanya. Maka \(x\) bukan titik limit. Jadi \(C'=\{0\}\text{.}\) Karena \(C\) memuat semua titik limitnya, \(C\) tertutup.
Pemeriksaan J.83. Mengapa syarat lokal berhingga diperlukan.
Berikan keluarga terhitung himpunan tertutup di \(\R\) yang gabungannya tidak tertutup. Tunjukkan secara eksplisit di titik mana keluarga itu gagal menjadi lokal berhingga.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gunakan himpunan satu titik \(C_n=\{1/n\}\text{.}\)
Keluarga \(C_n=\{1/n\}\) terdiri atas himpunan tertutup, tetapi gabungannya tidak memuat titik limit \(0\text{.}\) Keluarga itu tidak lokal berhingga di \(0\text{.}\)
Setiap \(C_n=\{1/n\}\) tertutup karena himpunan satu titik tertutup dalam ruang metrik. Gabungannya adalah \(U=\{1/n\mid n\in\Z^+\}\text{.}\) Barisan \(1/n\) konvergen ke \(0\text{,}\) jadi \(0\in\overline U\text{,}\) tetapi \(0\notin U\text{.}\) Maka \(U\) tidak tertutup. Untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) terdapat tak hingga banyak \(n\) dengan \(1/n\lt\epsilon\text{;}\) akibatnya \(B(0,\epsilon)\) bertemu tak hingga banyak \(C_n\text{.}\) Tepat di \(0\) syarat lokal berhingga gagal.
Pemeriksaan J.84. Himpunan nol fungsi kontinu.
Jika \(f:X\to\R\) kontinu, buktikan bahwa \(Z(f)=\{x\in X\mid f(x)=0\}\) tertutup. Kemudian simpulkan bahwa setiap himpunan aras \(\{x\mid f(x)=c\}\) juga tertutup.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tulis himpunan tersebut sebagai prapeta dari himpunan satu titik di \(\R\text{.}\)
\(Z(f)=f^{-1}(\{0\})\) dan \(\{x\mid f(x)=c\}=f^{-1}(\{c\})\text{;}\) keduanya tertutup.
Setiap himpunan satu titik \(\{c\}\) tertutup di \(\R\text{.}\) Menurut pencirian kekontinuan dengan himpunan tertutup, prapeta himpunan tertutup terhadap \(f\) tertutup di \(X\text{.}\) Karena \(Z(f)=f^{-1}(\{0\})\text{,}\) himpunan nol tertutup. Argumen yang sama dengan \(\{c\}\) memberi ketertutupan setiap himpunan aras \(f^{-1}(\{c\})\text{.}\)
Pemeriksaan J.85. Fungsi jarak ke suatu himpunan.
Untuk \(C\neq\emptyset\text{,}\) definisikan \(\delta_C(x)=d(x,C)\text{.}\) Buktikan \(|\delta_C(x)-\delta_C(y)|\leq d(x,y)\text{.}\) Simpulkan bahwa \(\delta_C\) kontinu dan bahwa himpunan nolnya adalah \(\overline C\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Untuk setiap \(c\in C\text{,}\) pertidaksamaan segitiga memberi \(d(x,c)\leq d(x,y)+d(y,c)\text{.}\) Ambil infimum, lalu tukar \(x\) dan \(y\text{.}\)
Fungsi \(\delta_C\) bersifat Lipschitz dengan konstanta \(1\text{,}\) sehingga kontinu, dan \(\delta_C^{-1}(\{0\})=\overline C\text{.}\)
Untuk setiap \(c\in C\text{,}\) \(d(x,c)\leq d(x,y)+d(y,c)\text{.}\) Mengambil infimum atas \(c\) memberi \(\delta_C(x)\leq d(x,y)+\delta_C(y)\text{,}\) jadi \(\delta_C(x)-\delta_C(y)\leq d(x,y)\text{.}\) Menukar \(x\) dan \(y\) menghasilkan pertidaksamaan lawan; keduanya setara dengan \(|\delta_C(x)-\delta_C(y)|\leq d(x,y)\text{.}\) Maka \(\delta_C\) kontinu.
Jika \(x\in\overline C\text{,}\) setiap \(B(x,1/n)\) bertemu \(C\text{,}\) sehingga \(0\leq\delta_C(x)\lt1/n\) untuk semua \(n\) dan \(\delta_C(x)=0\text{.}\) Sebaliknya, jika \(\delta_C(x)=0\text{,}\) untuk setiap \(n\) ada \(c_n\in C\) dengan \(d(x,c_n)\lt1/n\text{;}\) jadi setiap lingkungan \(x\) bertemu \(C\) dan \(x\in\overline C\text{.}\)
Pemeriksaan J.86. Dua identitas batas.
Buktikan \(\Bdry(A)=\overline A\setminus\Int(A)\) dan \(\Bdry(A)=\Bdry(X\setminus A)\) untuk setiap \(A\subseteq X\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Mulai dari \(\Bdry(A)=\overline A\cap\overline{X\setminus A}\) dan identitas \(\overline{X\setminus A}=X\setminus\Int(A)\text{.}\)
Kedua identitas benar; yang pertama mengikuti dari identitas komplemen interior, dan yang kedua dari simetri irisan kedua tutupan.
Gunakan rumus batas dan dualitas interior–tutupan:
\begin{equation*}
\Bdry(A)=\overline A\cap\overline{X\setminus A}
=\overline A\cap(X\setminus\Int(A))
=\overline A\setminus\Int(A).
\end{equation*}
Selanjutnya,
\begin{equation*}
\Bdry(X\setminus A)
=\overline{X\setminus A}\cap\overline{X\setminus(X\setminus A)}
=\overline{X\setminus A}\cap\overline A
=\Bdry(A).
\end{equation*}
Kesamaan terakhir hanya menggunakan sifat komutatif irisan.
Pemeriksaan J.87. Pencirian titik tutupan dengan barisan.
Buktikan bahwa \(x\in\overline A\) jika dan hanya jika terdapat barisan \((a_n)\) di \(A\) yang konvergen ke \(x\text{.}\) Jelaskan mengapa barisan konstan diperlukan ketika \(x\in A\) terasing.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Dari tutupan, pilih \(a_n\in A\cap B(x,1/n)\text{.}\) Untuk arah balik, setiap lingkungan akhirnya memuat semua suku barisan.
Pilihan dari bola menyusut memberi arah maju; definisi konvergensi memberi arah balik. Jika \(x\) terasing, pilihan yang mungkin untuk semua indeks besar adalah \(a_n=x\text{.}\)
Jika \(x\in\overline A\text{,}\) setiap bola \(B(x,1/n)\) bertemu \(A\text{.}\) Pilih \(a_n\in A\cap B(x,1/n)\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\gt1/\epsilon\text{;}\) jika \(n\geq N\text{,}\) maka \(d(a_n,x)\lt1/n\leq1/N\lt\epsilon\text{.}\) Jadi \(a_n\to x\text{.}\) Bila \(x\) terasing, bola yang cukup kecil bertemu \(A\) hanya di \(x\text{,}\) sehingga konstruksi ini akhirnya memilih \(a_n=x\text{;}\) barisan konstan memang harus diizinkan.
Sebaliknya, jika \(a_n\in A\) dan \(a_n\to x\text{,}\) setiap lingkungan \(N\) dari \(x\) memuat suatu bola \(B(x,\epsilon)\text{.}\) Semua suku dengan indeks cukup besar berada dalam bola itu, sehingga \(N\cap A\neq\emptyset\text{.}\) Maka setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\text{,}\) yakni \(x\in\overline A\text{.}\)
Pemeriksaan J.88. Himpunan terbuka-tertutup dan fungsi indikator.
Beri \(\{0,1\}\) metrik diskret dan definisikan \(\chi_A:X\to\{0,1\}\) dengan nilai \(1\) pada \(A\) dan \(0\) di luar \(A\text{.}\) Buktikan bahwa \(\chi_A\) kontinu jika dan hanya jika \(A\) sekaligus terbuka dan tertutup.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Dalam ruang diskret dua titik, \(\{0\}\) dan \(\{1\}\) terbuka. Hitung kedua prapetanya.
\(\chi_A^{-1}(\{1\})=A\) dan \(\chi_A^{-1}(\{0\})=X\setminus A\text{;}\) kekontinuan ekuivalen dengan keterbukaan kedua himpunan tersebut.
Jika \(\chi_A\) kontinu, prapeta dua himpunan terbuka \(\{1\}\) dan \(\{0\}\) harus terbuka. Prapeta itu masing-masing adalah \(A\) dan \(X\setminus A\text{.}\) Jadi \(A\) terbuka dan komplemennya terbuka, yang berarti \(A\) juga tertutup.
Sebaliknya, andaikan \(A\) sekaligus terbuka dan tertutup. Maka \(A\) dan \(X\setminus A\) terbuka. Setiap himpunan terbuka dalam ruang diskret \(\{0,1\}\) adalah salah satu dari \(\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\text{;}\) prapetanya berturut-turut \(\emptyset,X\setminus A,A,X\text{,}\) semuanya terbuka. Karena prapeta setiap himpunan terbuka bersifat terbuka, \(\chi_A\) kontinu.
