Definisi 1.5.
Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan. Hasil kali Kartesius dari \(A\) dan \(B\) adalah himpunan
\begin{equation*}
A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \text{ dan } b \in B\}\text{.}
\end{equation*}
Bagian Hasil Kali Kartesius Himpunan
Operasi terakhir pada himpunan yang akan kita bahas adalah hasil kali Kartesius (atau hasil kali silang). Operasi ini sebenarnya sudah pernah kita jumpai. Ketika menggambar grafik garis \(y = mx+b\) pada bidang, kita memetakan titik-titik \((x,mx+b)\text{.}\) Titik-titik tersebut merupakan pasangan terurut bilangan real. Gagasan ini dapat kita perluas ke sebarang himpunan.
Dengan kata lain, hasil kali Kartesius \(A\) dan \(B\) adalah himpunan pasangan terurut \((a,b)\text{,}\) dengan \(a\) berasal dari \(A\) dan \(b\) berasal dari \(B\text{.}\) Perhatikan bahwa urutannya penting.
Kegiatan 1.7.
(a)
Tuliskan semua anggota \(\{\text{ merah } , \text{ biru } \} \times \{\text{ mobil } , \text{ truk } , \text{ van } \}\text{.}\)
(b)
Jika \(A\) memiliki \(m\) anggota dan \(B\) memiliki \(n\) anggota, berapa banyak anggota yang dimiliki himpunan \(A \times B\text{?}\) Jelaskan.
Tidak ada alasan untuk membatasi diri pada hasil kali Kartesius dua himpunan saja. Gagasan ini juga sudah pernah kita jumpai. Hasil kali Kartesius \(\R \times \R\) adalah bidang real standar yang kita nyatakan dengan \(\R^2\text{,}\) sedangkan hasil kali Kartesius \(\R \times \R \times \R\) adalah ruang real berdimensi tiga yang dinyatakan dengan \(\R^3\text{.}\) Jika kita memiliki suatu kumpulan berindeks \(\{X_{i}\}\) yang terdiri atas himpunan-himpunan, dengan \(i\) menjelajahi himpunan bilangan bulat positif, maka hasil kali Kartesius himpunan-himpunan \(X_{i}\) dapat kita definisikan sebagai himpunan barisan tak hingga \((x_1, x_2, \ldots,
x_n, \ldots)\text{,}\) dengan \(x_i \in X_i\) untuk setiap \(i \in \Z^+\text{.}\) Kita menyatakan hasil kali Kartesius ini dengan
\begin{equation*}
\Pi_{i \in \Z^+} X_i = \Pi_{i=1}^{\infty} X_i\text{.}
\end{equation*}
Huruf pi kapital (\(\Pi\)) digunakan untuk menyatakan hasil kali, sebagai analog dari sigma kapital (\(\Sigma\)) yang digunakan untuk menyatakan jumlah. Kita akan mempelajari barisan secara lebih mendalam nanti.
Sebagai penutup bagian ini, kita merangkum beberapa sifat himpunan. Banyak di antara sifat-sifat ini dapat diperluas ke kumpulan himpunan sembarang. Sebagian besar pembuktiannya langsung. Pembuktian hukum asosiatif dan distributif diserahkan kepada Latihan 3.
Teorema 1.6.
Misalkan \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) dan \(C\) merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan semesta \(U\text{.}\)
- Sifat Himpunan Kosong
- \(\displaystyle A \cap \emptyset = \emptyset\)
- \(\displaystyle A \cup \emptyset = A\)
- \(\displaystyle A-\emptyset = A\)
- \(\displaystyle \emptyset^c = U\)
- Sifat Himpunan Semesta
- \(\displaystyle A \cap U = A\)
- \(\displaystyle A \cup U = U\)
- \(\displaystyle A-U = \emptyset\)
- \(\displaystyle U^c = \emptyset\)
- Hukum Idempoten
- \(\displaystyle A \cap A = A\)
- \(\displaystyle A \cup A = A\)
- Hukum Komutatif
- \(\displaystyle A \cap B = B \cap A\)
- \(\displaystyle A \cup B = B \cup A\)
- Hukum Asosiatif
- \(\displaystyle (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
- \(\displaystyle (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)
- Hukum Distributif
- \(\displaystyle A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
- \(\displaystyle A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
- Sifat Dasar
- \(\displaystyle \left(A^c\right)^c = A\)
- \(\displaystyle A - B = A \cap B^c\)
- Himpunan Bagian dan Komplemen
- \(\displaystyle A \subseteq B \text{ jika dan hanya jika } B^c \subseteq A^c\)
