Bagian Panduan ruang topologi yang bukan ruang metrik
Panduan ini mengikuti kegiatan langsung pada bagian Ruang Metrik dan Ruang Topologi. Uraian dan solusi ditulis mandiri sebagai komponen CC BY 4.0 yang terpisah dari turunan GVSU.
Misalkan \(X=\{a,b,c,e\}\) dan \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},X\}\text{.}\) Jelaskan mengapa tidak ada metrik \(d:X\times X\to\R\) yang topologi metriknya tepat \(\tau\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Andaikan metrik tersebut ada. Perhatikan bola terbuka berpusat di \(c\) dengan jari-jari kurang dari jarak antara \(c\) dan \(e\text{.}\)
Tidak mungkin. Dalam topologi \(\tau\text{,}\) satu-satunya himpunan terbuka yang memuat \(c\) adalah \(X\text{,}\) tetapi setiap metrik memisahkan \(c\) dan \(e\) dengan bola terbuka yang tidak memuat \(e\text{.}\)
Andaikan ada metrik \(d\) yang menghasilkan tepat \(\tau\text{.}\) Karena \(c\neq e\text{,}\) maka \(\delta=d(c,e)>0\text{.}\) Ambil \(r=\delta/2\text{.}\) Bola metrik \(B_d(c,r)=\{x\in X:d(c,x)<r\}\) memuat \(c\text{,}\) tetapi tidak memuat \(e\text{,}\) sebab \(d(c,e)=\delta>r\text{.}\) Bola ini harus menjadi himpunan terbuka dalam topologi metrik, sehingga harus menjadi anggota \(\tau\text{.}\) Namun dari daftar \(\tau\text{,}\) satu-satunya himpunan terbuka yang memuat \(c\) adalah \(X\text{,}\) dan \(X\) juga memuat \(e\text{.}\) Kontradiksi. Jadi \(\tau\) bukan topologi yang termetriskan.
