Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Citra himpunan-himpunan dalam \(\tau_p\) berturut-turut adalah \(\emptyset\text{,}\) \(\{c\}\text{,}\) \(\{a,b\}\text{,}\) dan \(Y\text{,}\) yang semuanya berada dalam \(\tau_q\text{.}\) Dengan kata lain, prapeta himpunan terbuka di bawah \(h^{-1}\) juga terbuka, sehingga \(h^{-1}\) kontinu. Maka \(h\) adalah homeomorfisme.

Proyeksi \(P:D^2\to[-1,1]\text{,}\) \(P(s,t)=s\text{,}\) kontinu dan surjektif. Dua titik mempunyai citra yang sama tepat ketika koordinat pertamanya sama, sehingga serat-serat \(P\) tepat kelas-kelas \(\sim\text{.}\)

Cakram \(D^2\) kompak dan selang \([-1,1]\) Hausdorff. Karena itu surjeksi kontinu \(P\) adalah pemetaan tertutup, dan setiap surjeksi kontinu yang tertutup merupakan pemetaan kuosien. Peta \(P\) menurunkan bijeksi \(\overline P:D^2/\ssim\to[-1,1]\text{.}\) Karena \(P\) dan proyeksi kanonik sama-sama pemetaan kuosien, bijeksi terinduksi ini adalah homeomorfisme. Jadi penciutan setiap penampang vertikal menyisakan tepat koordinat \(s\text{.}\)

Pada batas atas, \(u=1\) dan sudutnya \(2\pi\text{;}\) pada batas bawah, \(u=-1\) dan sudutnya \(0\text{.}\) Jadi dua titik batas dengan koordinat pertama yang sama mempunyai citra yang sama. Sebaliknya, untuk \(-1\lt u\lt1\text{,}\) sudut berada secara unik dalam \((0,2\pi)\text{;}\) bersama koordinat ketiga \(s\text{,}\) ini menunjukkan bahwa semua titik interior mempunyai serat tunggal. Kedua titik dengan \(s=\pm1\) juga mempunyai citra berbeda. Maka serat-serat \(F\) tepat kelas-kelas relasi yang diberikan. Rumus itu juga menjangkau setiap garis lintang, sehingga \(F\) surjektif.

Fungsi \(F\) menurunkan bijeksi kontinu \(\overline F:D^2/\ssim\to S^2\text{.}\) Domain kuosien kompak dan \(S^2\) Hausdorff, jadi \(\overline F\) merupakan homeomorfisme.

Pandang \(D^2=\{z\in\mathbb C\mid\lvert z\rvert\leq1\}\) dan definisikan \(F:D^2\to D^2\) dengan \(F(z)=z^2\text{.}\) Fungsi ini kontinu. Untuk setiap \(w\in D^2\text{,}\) suatu akar kuadrat \(z\) mempunyai \(\lvert z\rvert=\sqrt{\lvert w\rvert}\leq1\text{,}\) sehingga \(F\) surjektif.

Jika \(F(z_1)=F(z_2)\text{,}\) maka \((z_1-z_2)(z_1+z_2)=0\text{,}\) sehingga \(z_2=z_1\) atau \(z_2=-z_1\text{.}\) Sebaliknya, \(F(-z)=F(z)\text{.}\) Jadi serat-serat \(F\) tepat orbit \(\{z,-z\}\text{,}\) dengan orbit tunggal \(\{0\}\text{,}\) yakni tepat kelas-kelas relasi yang diberikan.

Karena itu \(F\) menurunkan bijeksi kontinu \(\overline F:D^2/\ssim\to D^2\text{.}\) Domain kuosien kompak dan cakram target Hausdorff, sehingga \(\overline F\) adalah homeomorfisme.

Untuk \(t\gt0\text{,}\) relasi menyatukan semua titik pada \(I\times\{t\}\text{;}\) sebut kelas itu \(u_t\text{.}\) Klausul kesamaan dalam definisi relasi menjamin bahwa pada tinggi nol setiap kelas adalah singleton \(b_s=[(s,0)]\text{.}\) Jadi deskripsi himpunan \(Q\) dalam jawaban benar dan tidak membuat identifikasi tambahan.

Jika prapeta ini terbuka dalam \(I\times I\text{,}\) pemeriksaan di titik-titik dengan tinggi positif menunjukkan bahwa \(V\) terbuka dalam \((0,1]\text{.}\) Pemeriksaan di setiap \((s,0)\) dengan \(s\in A\) menunjukkan bahwa \(A\) terbuka dalam \(I\text{.}\) Jika \(A\) tidak kosong, pilih satu \(s\in A\text{.}\) Sebuah lingkungan persegi panjang relatif dari \((s,0)\) yang termuat dalam prapeta memaksa adanya \(\varepsilon\gt0\) dengan \((0,\varepsilon)\subseteq V\text{.}\)

Sebaliknya, andaikan ketiga kondisi tersebut dipenuhi. Titik dengan tinggi dalam \(V\) mempunyai lingkungan produk di \(I\times V\text{.}\) Jika \(s\in A\text{,}\) pilih lingkungan relatif \(J\subseteq A\) bagi \(s\text{;}\) bila \(A\neq\emptyset\text{,}\) syarat pada \(V\) membuat \(J\times[0,\varepsilon)\) termuat dalam prapeta. Maka prapeta terbuka. Definisi topologi kuosien sekarang memberikan tepat pencirian dalam jawaban. Secara intuitif, terdapat satu interval titik pangkal \(b_s\text{,}\) dan semua titik pangkal itu berbagi batang tinggi positif yang sama.

Misalkan \(\pi:X\to X/\ssim\) adalah proyeksi kanonik dan tetapkan \(b_0=\pi(0,0)\) serta \(b_1=\pi(1,0)\text{.}\) Kedua kelas ini berbeda, sebab pada tinggi nol relasi hanya mengidentifikasi titik dengan dirinya sendiri.

Ambil sembarang lingkungan terbuka \(U\) dari \(b_0\) dan \(V\) dari \(b_1\) dalam ruang kuosien. Prapeta \(\pi^{-1}(U)\) terbuka dan memuat \((0,0)\text{,}\) sehingga terdapat \(\varepsilon_0\gt0\) dengan \((0,t)\in\pi^{-1}(U)\) untuk setiap \(0\lt t\lt\varepsilon_0\text{.}\) Demikian pula, terdapat \(\varepsilon_1\gt0\) dengan \((1,t)\in\pi^{-1}(V)\) untuk setiap \(0\lt t\lt\varepsilon_1\text{.}\)

Pilih \(0\lt t\lt\min\{\varepsilon_0,\varepsilon_1\}\text{.}\) Karena \(t\gt0\text{,}\) berlaku \((0,t)\sim(1,t)\text{.}\) Oleh karena itu satu kelas yang sama, yaitu \(\pi(0,t)=\pi(1,t)\text{,}\) berada dalam \(U\cap V\text{.}\) Jadi tidak ada lingkungan terbuka saling lepas bagi \(b_0\) dan \(b_1\text{.}\) Ruang kuosien tersebut bukan Hausdorff.

Kelas-kelas ekuivalensi kongruensi modulo \(3\) adalah \(C_0=3\Z\text{,}\) \(C_1=3\Z+1\text{,}\) dan \(C_2=3\Z+2\text{.}\) Jadi himpunan dasar kuosien adalah \(Q=\{C_0,C_1,C_2\}\text{.}\) Misalkan \(\pi:\Z\to Q\) proyeksi kanonik.

Prapeta \(\pi^{-1}(\emptyset)=\emptyset\) terbuka. Untuk \(U\neq\emptyset\text{,}\) prapeta \(\pi^{-1}(U)\) terbuka dalam topologi titik tertentu tepat ketika memuat \(1\text{.}\) Karena \(1\in C_1\text{,}\) syarat ini setara dengan \(C_1\in U\text{.}\) Jadi himpunan terbuka kuosien adalah \(\emptyset\) bersama semua subhimpunan \(Q\) yang memuat \(C_1\text{,}\) tepat seperti daftar dalam jawaban.

Seperti sebelumnya, kelas-kelas kuosien adalah \(C_r=3\Z+r\) untuk \(r=0,1,2\text{,}\) dan \(1\in C_1\text{.}\) Misalkan \(\pi:\Z\to Q\) adalah proyeksi kanonik.

Jika \(U=Q\text{,}\) maka \(\pi^{-1}(U)=\Z\text{,}\) yang terbuka. Jika \(U\subsetneq Q\text{,}\) prapeta \(\pi^{-1}(U)\) terbuka tepat ketika tidak memuat titik yang dikecualikan \(1\text{.}\) Hal ini setara dengan \(C_1\notin U\text{.}\) Jadi semua subhimpunan dari \(\{C_0,C_2\}\) terbuka, seluruh \(Q\) juga terbuka, dan tidak ada himpunan lain yang terbuka. Daftarnya tepat seperti dalam jawaban.

Untuk setiap \(x\neq0\text{,}\) berlaku \(x=1x\) dan \(1\neq0\text{,}\) sehingga \(x\sim_P x\text{.}\) Jika \(x\sim_P y\text{,}\) ada \(k\neq0\) dengan \(y=kx\text{.}\) Maka \(x=k^{-1}y\text{,}\) dan \(k^{-1}\neq0\text{,}\) sehingga \(y\sim_P x\text{.}\)

Jika \(x\sim_P y\) dan \(y\sim_P z\text{,}\) pilih skalar tak nol \(k\) dan \(\ell\) sehingga \(y=kx\) dan \(z=\ell y\text{.}\) Kemudian \(z=(\ell k)x\text{,}\) dan \(\ell k\neq0\text{.}\) Jadi \(x\sim_P z\text{.}\) Ketiga aksioma relasi ekuivalensi telah dipenuhi.

Sebaliknya, setiap garis linear \(L\) melalui titik asal memuat suatu vektor tak nol \(v\text{,}\) dan semua vektor tak nol pada \(L\) adalah kelipatan skalar tak nol dari \(v\text{.}\) Maka \(L\setminus\{0\}\) adalah tepat satu kelas ekuivalensi. Dengan demikian korespondensi \([v]\mapsto\operatorname{span}(v)\) merupakan bijeksi antara unsur-unsur \(\mathbb{R}P^2\) dan garis linear melalui asal di \(\R^3\text{.}\) Setelah dinormalisasi ke panjang satu, garis itu bertemu \(S^2\) pada \(v/\lVert v\rVert\) dan antipodanya, sehingga satu titik proyektif juga dapat dipandang sebagai satu pasangan antipodal atau satu arah tanpa orientasi.