Tentukan, disertai bukti, manakah di antara himpunan-himpunan \(A\) berikut yang merupakan lingkungan dari \(a\) dalam ruang metrik yang diberikan.
(a)
\(A = \{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \lt 1\}\) dalam \((\R^2,d_E)\) dengan \(a = (0.5,0.5)\)
(b)
\(A\) adalah sumbu \(x\) dalam \((\R^2,d_T)\) dengan \(a =(0,0)\text{,}\) dengan \(d_T\) sebagai metrik taksi
(c)
\(A\) adalah himpunan bilangan rasional dalam \((\R, d_E)\) dengan \(a = 0\)
(d)
\(A\) adalah himpunan bilangan bulat positif dalam \((Q,d)\) dan \(a = 1\text{,}\) dengan \(Q\) sebagai himpunan semua bilangan rasional dalam bentuk paling sederhana dan metrik \(d : Q \times Q \to \R\) yang didefinisikan oleh
(Fakta bahwa \(d\) merupakan metrik dibahas dalam Latihan 3.)
2.
Misalkan \(X = \{1,3,5\}\) dan definisikan \(d_X: X \times X \to \R\) dengan \(d_X(x,y) = xy - 1 \pmod{8}\text{.}\) Artinya, \(d_X(x,y)\) adalah sisa pembagian \(xy - 1\) oleh \(8\text{.}\) Fakta bahwa \(d_X\) merupakan metrik pada \(X\) dikaji dalam Latihan 2. Misalkan \((Y,d_Y)\) suatu ruang metrik. Mungkinkah kita mendefinisikan suatu fungsi \(f: X \to Y\) yang tidak kontinu? Jelaskan.
3.
Jika \(x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\text{,}\) tetapkan \(|x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+ \cdots + x_n^2}\text{.}\) Untuk \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\) dan \(y = (y_1, y_2, \ldots y_n)\text{,}\) definisikan \(d_H: \R^n \times \R^n \to \R\) dengan
\begin{equation*}
d_H(x,y) = \begin{cases}0 \amp \text{ jika } x=y \\ |x|+|y| \amp \text{ selain itu } . \end{cases}
\end{equation*}
Fakta bahwa \(d_H\) merupakan metrik dikaji dalam Latihan 7. Misalkan \((X,d_X) = (\R^2, d_H)\) dan \((Y,d_Y) = (\R, d_E)\text{.}\) Definisikan \(f: X \to Y\) dan \(g: X \to Y\) dengan
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases}0 \amp \text{ jika } x = (0,0) \\ 1 \amp \text{ selain itu } \end{cases} \ \text{ dan } \ g(x) = \begin{cases}0 \amp \text{ jika } |x|\lt 1 \\ 1 \amp \text{ selain itu } \end{cases}\text{.}
\end{equation*}
Salah satu dari \(f\) dan \(g\) kontinu, sedangkan yang lain tidak. Tentukan yang mana, disertai bukti untuk masing-masing fungsi.
4.
Ingat kembali dari Bab 3 bahwa kita dapat membangun ruang metrik berhingga dengan memulai dari suatu himpunan titik berhingga lalu membuat graf yang titik-titiknya menjadi simpul. Kita membuat sisi-sisi sedemikian sehingga graf tersebut terhubung (artinya, terdapat lintasan dari setiap simpul ke setiap simpul lainnya) dan memberikan bobot pada sisi-sisinya. Selanjutnya, kita mendefinisikan metrik \(d\) pada \(X\) dengan menetapkan \(d(x,y)\) sebagai panjang lintasan terpendek antara simpul \(x\) dan \(y\) pada graf tersebut. Perhatikan ruang metrik \((X,d)\) yang bersesuaian dengan graf dalam Gambar 7.7.
Gambar7.7.Graf untuk mendefinisikan suatu metrik.
(a)
Tentukan semua bola terbuka \(B(a,\delta)\) untuk setiap bilangan real positif \(\delta\text{.}\)
(b)
Tentukan semua lingkungan dari \(a\text{.}\)
5.
(a)
Misalkan \(f: (\R,d_E) \to (\R,d_E)\) didefinisikan oleh \(f(x) = ax+b\) untuk suatu bilangan real \(a\) dan \(b\) dengan \(a \neq 0\text{.}\) Misalkan \(p \in \R\) dan \(r \gt 0\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(f^{-1}(B(f(p),r))\) memuat suatu bola terbuka yang berpusat di \(p\text{.}\) Simpulkan bahwa setiap fungsi linear dari \((\R,d_E)\) ke \((\R,d_E)\) bersifat kontinu.
Berdasarkan Latihan 5, kita dapat mengasumsikan \(a \gt 0\) untuk menyederhanakan soal.
(b)
Misalkan \(f: (\R,d_E) \to (\R,d_E)\) didefinisikan oleh \(f(x) = ax^2+bx+c\) untuk suatu bilangan real \(a\text{,}\)\(b\text{,}\) dan \(c\) dengan \(a \neq 0\text{.}\) Misalkan \(p \in \R\) dan \(r \gt 0\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(f^{-1}(B(f(p),r))\) memuat suatu bola terbuka yang berpusat di \(p\text{.}\) Simpulkan bahwa setiap fungsi kuadrat dari \((\R,d_E)\) ke \((\R,d_E)\) bersifat kontinu.
untuk semua \(b, c \in X\text{.}\) Definisikan \(f: X \to \R\) dengan \(f(x) = d(x,A)\text{.}\) Misalkan \(b \in X\text{.}\) Diberikan \(\epsilon \gt 0\text{,}\) tunjukkan bahwa terdapat lingkungan \(N\) dari \(b\) sedemikian sehingga \(x \in N\) mengakibatkan \(f(x) \in B(f(b),\epsilon)\text{.}\) Simpulkan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu. (Asumsikan bahwa metrik pada \(\R\) adalah metrik Euklides.)
7.
Misalkan \(a\) dan \(b\) merupakan dua titik berbeda dalam suatu ruang metrik \(X\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat lingkungan \(N_a\) dan \(N_b\text{,}\) masing-masing dari \(a\) dan \(b\text{,}\) sedemikian sehingga \(N_a \cap N_b = \emptyset\text{.}\)
8.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(a \in X\text{.}\) Buktikan setiap pernyataan berikut.
(a)
Terdapat suatu lingkungan yang memuat \(a\text{.}\)
(b)
Jika \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\) dan \(N \subseteq M\text{,}\) maka \(M\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
(c)
Jika \(M\) dan \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{,}\) maka demikian pula halnya dengan \(M \cap N\text{.}\)
9.
Misalkan \(f: (\R,d_E) \to (\R,d_E)\) suatu fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa jika \(f(a) \gt 0\) untuk suatu \(a \in \R\text{,}\) maka terdapat lingkungan \(N\) dari \(a\) sedemikian sehingga \(f(x) \gt 0\) untuk semua \(x \in N\text{.}\)
10.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dengan \(d\) sebagai metrik diskret. Tunjukkan bahwa setiap subhimpunan dari \(X\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya.
11.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan itu selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \(N\) merupakan lingkungan dari suatu titik \(a\) dalam ruang metrik \(X\text{,}\) maka setiap bola terbuka yang termuat dalam \(N\) juga merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
(b)
Jika \(N\) merupakan lingkungan dari suatu titik \(a\) dalam ruang metrik \(X\text{,}\) maka \(N\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya.
(c)
Jika \(X\) dan \(Y\) merupakan ruang metrik dan \(f : X \to Y\) suatu fungsi kontinu, maka \(f(N)\) merupakan lingkungan dari \(f(a)\) dalam \(Y\) setiap kali \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\) dalam \(X\text{.}\)
(d)
Jika \(X\) dan \(Y\) merupakan ruang metrik, \(f : X \to Y\) kontinu di \(a \in X\text{,}\) dan \(N\) merupakan lingkungan dari \(f(a)\) dalam \(Y\text{,}\) maka \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan dari \(a\) dalam \(X\text{.}\)
(e)
Jika \(a\) suatu titik dalam ruang metrik \(X\) dan \(\delta\) suatu bilangan real positif, maka bola terbuka \(B(a,\delta)\) memuat tak berhingga banyak titik dari \(X\text{.}\)
(f)
Jika \(N_1\text{,}\)\(N_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(N_k\) merupakan lingkungan dari suatu titik \(a\) dalam ruang metrik \(X\) untuk suatu bilangan bulat positif \(k\text{,}\) maka \(\bigcap_{i=1}^k N_i\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
(g)
Jika \(N_{\alpha}\) merupakan lingkungan dari suatu titik \(a\) dalam ruang metrik \(X\) untuk setiap \(\alpha\) dalam suatu himpunan indeks \(I\text{,}\) maka \(\bigcap_{\alpha \in I} N_{\alpha}\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
