Bagian Pemeriksaan aktivitas
Setelah mengerjakan aktivitas berjangkar
pa_sets, periksa apakah alasan Anda menjelaskan kontradiksi pada \(S=\{A : A\text{ himpunan dan }A\notin A\}\text{,}\) lalu merumuskan \(A\subseteq X\) dan kedudukan \(\emptyset\) dengan kuantor yang tepat.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Ganti \(A\) dengan \(S\) dalam syarat pembentuk \(S\text{.}\)
Petunjuk 2. Untuk subhimpunan, mulailah dengan \(x\in A\text{;}\) untuk himpunan kosong, tanyakan apakah ada contoh yang melanggar implikasi.
Definisi naif menghasilkan \(S\in S\iff S\notin S\text{.}\) Definisi yang dapat dipakai pada bab ini adalah \(A\subseteq X\) bila setiap anggota \(A\) merupakan anggota \(X\text{.}\) Karena implikasi tersebut benar secara vakum untuk \(\emptyset\text{,}\) berlaku \(\emptyset\subseteq X\) untuk setiap \(X\text{,}\) dan selalu \(A\subseteq A\text{.}\)
Jika \(S\in S\text{,}\) syarat pembentuknya mengatakan \(S\notin S\text{.}\) Jika \(S\notin S\text{,}\) syarat yang sama justru menempatkan \(S\) di dalam \(S\text{.}\) Jadi pemahaman “setiap koleksi yang dapat dideskripsikan adalah himpunan” tidak aman; inilah paradoks Russell. Untuk bagian subhimpunan, rumusan yang dapat diuji adalah \(\forall x(x\in A\Rightarrow x\in X)\text{.}\) Rumusan ini langsung memberi refleksivitas \(A\subseteq A\) dan fakta bahwa himpunan kosong adalah subhimpunan setiap himpunan.
Pemeriksaan A.2. Pemeriksaan 2: deformasi tanpa memotong atau menempel.
Bandingkan jawaban Anda pada aktivitas
act_rubber_sheet dengan invarian sederhana: apakah objek tetap berupa lengkung tertutup, dan berapa banyak terowongan tembus yang dimilikinya?
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Sebuah simpul karet tertutup tidak dapat berubah menjadi lengkung dengan dua ujung tanpa diputus.
Petunjuk 2. Pada benda tiga dimensi, bedakan lekukan biasa dari lubang yang menembus seluruh benda.
Dengan model standar berupa lengkung sederhana tertutup di bidang, persegi dapat dideformasi menjadi lingkaran, garis tepi huruf
D, dan bintang berujung lima yang tidak berpotongan sendiri, tetapi bukan huruf S sebagai lengkung terbuka. Dengan model benda padat, persegi padat dan mangkuk tanpa lubang tembus berada dalam kelas tanpa terowongan; donat dan cangkir bergagang masing-masing mempunyai satu terowongan.Jawaban bergantung pada pemodelan gambar. Pernyataan di atas memakai dua asumsi:
S adalah goresan terbuka, sedangkan bintang adalah garis tepi sederhana; “mangkuk” adalah gumpalan padat dengan cekungan, bukan permukaan tipis. Deformasi kontinu tidak membuat atau menghilangkan ujung maupun terowongan. Karena itu dua kelompok tersebut dapat dibedakan tanpa memakai ukuran atau sudut. Bila guru bermaksud model lain, nyatakan model itu sebelum memberi klasifikasi.Pemeriksaan A.3. Pemeriksaan 3: kesamaan himpunan.
Periksa empat keputusan pada aktivitas
act_set_equality dengan uji dua inklusi.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Sederhanakan \(x-1\lt1\) dan tulis syarat keterbagian sebagai kongruensi modulo \(4\text{.}\)
Petunjuk 2. Bilangan genap mempunyai residu \(0\) atau \(2\) modulo \(4\text{;}\) bilangan ganjil mempunyai residu \(1\) atau \(3\text{.}\)
Kesamaan berarti \(A\subseteq B\) dan \(B\subseteq A\text{.}\) Pada contoh riil, kedua himpunan sama-sama \(\{x:x\lt2\}\text{.}\) Pada contoh genap, himpunan \(B\) adalah bilangan yang kongruen \(2\) modulo \(4\text{,}\) sehingga \(B\subsetneq A\text{;}\) misalnya \(0\in A\setminus B\text{.}\) Pada contoh ganjil, residu \(1\) atau \(3\) modulo \(4\) tepat mencakup semua bilangan ganjil, jadi \(A=B\text{.}\)
Bukti yang dapat diperiksa selalu dimulai dengan anggota sembarang. Untuk contoh terakhir, jika \(n\) ganjil maka algoritma pembagian memberi \(n=4q+1\) atau \(n=4q+3\text{;}\) arah sebaliknya segera memberi \(n=2(2q)+1\) atau \(n=2(2q+1)+1\text{.}\) Jadi kedua inklusi terbukti. Satu contoh \(0\) cukup menggugurkan arah \(A\subseteq B\) pada contoh genap.
Pemeriksaan A.4. Pemeriksaan 4: operasi himpunan dan hukum De Morgan.
Untuk aktivitas
act_sets_1, hitung semua himpunan yang diminta dan cocokkan dua pasangan komplemen dengan hukum De Morgan.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Buat tabel keanggotaan untuk setiap unsur \(1\) sampai \(10\text{.}\)
Petunjuk 2. Negasi kata “atau” menjadi “dan tidak”, sedangkan negasi kata “dan” menjadi “atau tidak”.
\(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}\) dan \(A\cap B=\{2,4,6\}\text{.}\) Relatif terhadap \(U\text{,}\) \((A\cup B)^c=\{7,9\}=A^c\cap B^c\text{,}\) sedangkan \((A\cap B)^c=\{1,3,5,7,8,9,10\}=A^c\cup B^c\text{.}\)
Di sini \(A^c=\{7,8,9,10\}\) dan \(B^c=\{1,3,5,7,9\}\text{.}\) Mengambil irisan dan gabungannya menghasilkan dua himpunan pada jawaban. Untuk bukti umum, misalnya, \(x\in(A\cup B)^c\) ekuivalen dengan \(x\notin A\) dan \(x\notin B\text{,}\) yang ekuivalen dengan \(x\in A^c\cap B^c\text{.}\) Argumen serupa membuktikan hukum kedua.
Pemeriksaan A.5. Pemeriksaan 5: keluarga terindeks.
Periksa contoh hingga dan tak hingga pada aktivitas keluarga terindeks tanpa ID sumber, lalu tulis definisi gabungan dan irisan dengan kuantor.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Untuk \(A_\alpha=[0,|\alpha|)\text{,}\) indeks \(\alpha=0\) menentukan irisan.
Petunjuk 2. Untuk gabungan, setelah memilih \(y\geq0\text{,}\) pilih indeks dengan \(|\alpha|\gt y\text{.}\)
Pada keluarga hingga, \(A_5=\{1,2,3,4,5\}\text{,}\) \(A_8=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\text{,}\) dan terdapat sepuluh himpunan. Pada keluarga berindeks riil, \(A_5=[0,5)\text{,}\) \(A_\pi=[0,\pi)\text{,}\) serta \(A_{-2/3}=[0,2/3)\text{.}\) Selanjutnya \(\bigcap_{\alpha\in\R}A_\alpha=\emptyset\) dan \(\bigcup_{\alpha\in\R}A_\alpha=[0,\infty)\text{.}\)
Definisi umumnya adalah \(x\in\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha\) bila dan hanya bila \(\forall\alpha\in I,,x\in A_\alpha\text{,}\) sedangkan \(x\in\bigcup_{\alpha\in I}A_\alpha\) bila dan hanya bila \(\exists\alpha\in I,,x\in A_\alpha\text{.}\) Karena \(A_0=[0,0)=\emptyset\text{,}\) irisannya kosong. Setiap anggota setiap \(A_\alpha\) tidak negatif; sebaliknya, untuk \(y\geq0\) pilih \(\alpha=y+1\text{,}\) sehingga \(y\in[0,|\alpha|)\text{.}\) Ini membuktikan hasil gabungan.
Pemeriksaan A.6. Pemeriksaan 6: hukum De Morgan untuk keluarga tak hingga.
Untuk aktivitas tanpa ID sesudah teorema De Morgan, verifikasi kedua hukum pada \(A_n=\{1,\ldots,n\}\text{,}\) \(n\in\Z^+\text{,}\) dengan semesta \(\Z\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Tentukan dahulu \(\bigcup_{n\geq1}A_n\) dan \(\bigcap_{n\geq1}A_n\text{.}\)
Petunjuk 2. Keluarga \(A_n\) membesar, sehingga keluarga komplemennya mengecil.
\(\bigcup_{n\geq1}A_n=\Z^+\) dan \(\bigcap_{n\geq1}A_n=\{1\}\text{.}\) Maka \((\bigcup A_n)^c=\Z\setminus\Z^+=\bigcap A_n^c\text{,}\) serta \((\bigcap A_n)^c=\Z\setminus\{1\}=\bigcup A_n^c\text{.}\)
Setiap bilangan bulat positif muncul dalam \(A_n\) setelah \(n\) cukup besar, sementara hanya \(1\) yang terdapat dalam semua \(A_n\text{.}\) Selain itu, \(\bigcup A_n^c=A_1^c\) karena komplemennya mengecil. Secara logika, “tidak berada di sedikitnya satu gabungan” berarti “tidak berada di setiap komponennya”; perubahan kuantor inilah yang menukar gabungan dengan irisan.
Pemeriksaan A.7. Pemeriksaan 7: hasil kali Kartesius.
Periksa daftar pasangan dan argumen pencacahan pada aktivitas hasil kali Kartesius tanpa ID sumber.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Koordinat pertama mempunyai dua pilihan dan koordinat kedua tiga pilihan.
Petunjuk 2. Untuk tiap satu dari \(m\) pilihan pertama, ada \(n\) pilihan kedua.
Hasilnya ialah \(\{(\text{merah},\text{mobil}),(\text{merah},\text{truk}),(\text{merah},\text{van}),
(\text{biru},\text{mobil}),(\text{biru},\text{truk}),(\text{biru},\text{van})\}\text{.}\) Jika \(|A|=m\) dan \(|B|=n\text{,}\) maka \(|A\times B|=mn\text{.}\)
Kelompokkan pasangan menurut koordinat pertamanya. Ada \(m\) kelompok yang saling lepas, dan masing-masing berisi tepat \(n\) pasangan. Karena urutan koordinat bermakna, \((a,b)\) tidak boleh diam-diam diperlakukan sama dengan \((b,a)\text{.}\)
