Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Andaikan \(X\) berhingga dan Hausdorff. Tetapkan \(x\in X\text{.}\) Untuk setiap \(y\in X\setminus\{x\}\text{,}\) pilih himpunan terbuka \(U_y\) dan \(V_y\) dengan \(x\in U_y\text{,}\) \(y\in V_y\text{,}\) serta \(U_y\cap V_y=\emptyset\text{.}\) Karena hanya ada berhingga banyak \(y\text{,}\) himpunan \(U=\bigcap_{y\neq x}U_y\) terbuka. Himpunan ini memuat \(x\) dan tidak memuat satu pun \(y\neq x\text{,}\) sehingga \(U=\{x\}\text{.}\) Jadi setiap singleton terbuka, dan setiap subhimpunan \(X\) terbuka sebagai gabungan singleton. Topologinya diskret.

Sebaliknya, dalam ruang diskret, dua titik berbeda \(x\) dan \(y\) mempunyai lingkungan terbuka saling lepas \(\{x\}\) dan \(\{y\}\text{.}\) Jadi ruang itu Hausdorff. Argumen ini juga mencakup ruang kosong dan ruang satu titik, dengan syarat pemisahan terpenuhi secara vakum.

Jelas \(A\subseteq\overline{A}\text{.}\) Jika \(x\in\Bdry(A)\text{,}\) setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\text{;}\) maka \(x\in\overline{A}\text{.}\) Jadi \(A\cup\Bdry(A)\subseteq\overline{A}\text{.}\)

Sebaliknya, ambil \(x\in\overline{A}\text{.}\) Jika \(x\in A\text{,}\) maka \(x\in A\cup\Bdry(A)\text{.}\) Jika \(x\notin A\text{,}\) setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\) karena \(x\in\overline{A}\text{,}\) dan juga bertemu \(A^c\) karena lingkungan itu memuat \(x\in A^c\text{.}\) Jadi \(x\in\Bdry(A)\text{.}\) Ini membuktikan inklusi sebaliknya dan karenanya kesamaan.

Andaikan \(\Bdry(A)=\emptyset\text{.}\) Jika \(x\in A\text{,}\) maka \(x\) bukan titik batas. Ada lingkungan terbuka \(U\) dari \(x\) yang tidak bertemu \(A^c\text{,}\) sebab setiap lingkungan otomatis bertemu \(A\) di \(x\text{.}\) Jadi \(U\subseteq A\) dan \(A\) terbuka. Dengan argumen yang sama untuk setiap \(x\in A^c\text{,}\) himpunan \(A^c\) terbuka. Maka \(A\) juga tertutup.

Sebaliknya, andaikan \(A\) dan \(A^c\) terbuka. Titik dalam \(A\) mempunyai lingkungan \(A\) yang tidak bertemu \(A^c\text{,}\) sedangkan titik dalam \(A^c\) mempunyai lingkungan \(A^c\) yang tidak bertemu \(A\text{.}\) Tidak ada titik yang setiap lingkungannya bertemu kedua sisi, sehingga \(\Bdry(A)=\emptyset\text{.}\)

Karena setiap himpunan terbuka tak kosong dalam \(\tau_p\) memuat \(0\text{,}\) tidak ada himpunan terbuka tak kosong yang termuat dalam \(A\text{.}\) Jadi \(\Int(A)=\emptyset\text{.}\) Komplemen \(A^c\) memuat \(0\text{,}\) sehingga \(A^c\) terbuka dan \(A\) tertutup. Maka \(\overline{A}=A\text{.}\) Akhirnya, \(\Bdry(A)=\overline{A}\setminus\Int(A)=A\text{.}\)

Karena \(0\notin A\text{,}\) himpunan \(A\) terbuka, sehingga \(\Int(A)=A\text{.}\) Himpunan \(A\cup\{0\}\) tertutup: komplemennya tidak memuat \(0\text{,}\) jadi terbuka. Setiap himpunan tertutup yang memuat \(A\) harus pula memuat \(0\text{,}\) karena setiap himpunan tertutup tak kosong memuat \(0\text{.}\) Oleh sebab itu, \(\overline{A}=A\cup\{0\}=[0,1]\text{.}\) Maka \(\Bdry(A)=\overline{A}\setminus\Int(A)=\{0\}\text{.}\)

Setiap \(x\in\R\) berada dalam \([x,x+1)\text{,}\) jadi \(\B\) menutupi \(\R\text{.}\) Sekarang ambil \(x\in[a,b)\cap[c,d)\text{.}\) Karena \(x\lt b\) dan \(x\lt d\text{,}\) berlaku \(x\lt e=\min\{b,d\}\text{.}\) Unsur basis \([x,e)\) memuat \(x\) dan memenuhi \([x,e)\subseteq[a,b)\cap[c,d)\text{.}\) Kedua aksioma basis terpenuhi, maka gabungan sebarang unsur \(\B\) membentuk topologi \(\tau_{\ell\ell}\text{.}\)

Jika \(x\in(a,b)\text{,}\) maka \([x,b)\in\B\text{,}\) \(x\in[x,b)\text{,}\) dan \([x,b)\subseteq(a,b)\text{.}\) Dengan demikian setiap titik dalam \((a,b)\) mempunyai lingkungan basis yang termuat di dalamnya. Secara setara, \((a,b)=\bigcup_{x\in(a,b)}[x,b)\text{,}\) sehingga \((a,b)\) terbuka dalam topologi limit bawah.

Setiap interval basis Euklides \((a,b)\) terbuka dalam \(\tau_{\ell\ell}\text{.}\) Karena setiap himpunan terbuka Euklides merupakan gabungan interval seperti itu, diperoleh \(\tau_{\mathrm{E}}\subseteq\tau_{\ell\ell}\text{.}\) Inklusi ini ketat: \([0,1)\) adalah unsur basis topologi limit bawah, tetapi tidak terbuka dalam topologi Euklides karena tidak ada interval Euklides yang memuat \(0\) dan sekaligus termuat dalam \([0,1)\text{.}\) Jadi \(\tau_{\mathrm{E}}\subsetneq\tau_{\ell\ell}\text{.}\)

Karena \([a,b)\) merupakan unsur basis, himpunan itu terbuka. Komplemennya adalah \((-\infty,a)\cup[b,\infty)\text{.}\) Jika \(x\lt a\text{,}\) maka \([x,a)\) merupakan lingkungan basis yang termuat dalam \((-\infty,a)\text{.}\) Jika \(x\geq b\text{,}\) maka \([x,x+1)\) merupakan lingkungan basis yang termuat dalam \([b,\infty)\text{.}\) Jadi komplemen \([a,b)\) terbuka, sehingga \([a,b)\) juga tertutup dan karenanya buka-tutup.

Ambil himpunan terbuka tak kosong \(O\subseteq\R\text{.}\) Ada \(x\in O\) dan interval \((a,b)\) dengan \(x\in(a,b)\subseteq O\text{.}\) Pilih bilangan asli \(n\) sehingga \(n(b-a)\gt 1\text{.}\) Karena interval \((na,nb)\) panjangnya lebih dari \(1\text{,}\) ada \(m\in\Z\) dengan \(na\lt m\lt nb\text{.}\) Maka \(m/n\in\Q\cap(a,b)\subseteq\Q\cap O\text{.}\) Jadi setiap himpunan terbuka tak kosong bertemu \(\Q\text{,}\) yang setara dengan \(\overline{\Q}=\R\text{.}\)