Bagian Basis untuk Topologi
Menjelaskan secara lengkap himpunan terbuka dalam suatu topologi dapat sulit. Sebagai gantinya, kita dapat menjelaskan topologi menggunakan koleksi himpunan yang membangkitkan topologi tersebut. Sebagai contoh, jika \((X,d)\) merupakan ruang metrik, maka koleksi himpunan terbuka dalam \(X\) membentuk topologi pada \(X\text{,}\) yang disebut topologi metrik. Kita juga telah melihat bahwa dalam ruang metrik, setiap himpunan terbuka dalam \(X\) merupakan gabungan bola-bola terbuka. Karena itu kita menyebut koleksi bola terbuka sebagai basis untuk himpunan-himpunan terbuka dalam \(X\text{.}\) Hal yang sama dapat kita lakukan dalam ruang topologi mana pun. Sebagai contoh yang tidak sepele, suatu topologi menarik yang didefinisikan pada bilangan bulat positif diperkenalkan oleh S.W. Golomb. Topologi ini dapat digunakan untuk membuktikan bahwa terdapat tak berhingga banyak bilangan prima. Topologi ini juga menjadikan bilangan bulat positif sebagai ruang Hausdorff terhubung (konsep-konsep ini akan dibahas lebih lanjut nanti). Topologi Golomb didefinisikan sebagai berikut. Jika \(a\) dan \(b\) merupakan bilangan bulat koprima dalam \(\Z^+\) (yaitu, \(a\) dan \(b\) tidak memiliki faktor positif bersama selain 1 sehingga pembagi persekutuan terbesar \(a\) dan \(b\) adalah \(1\)), misalkan
\begin{equation*}
B_{a,b} = \{a+bn \mid n \geq 0\}\text{.}
\end{equation*}
Koleksi himpunan \(B_{a,b}\) merupakan basis untuk topologi Golomb, dan ruang topologi \((\Z^+, \tau)\) disebut ruang Golomb. Membuktikan bahwa himpunan-himpunan \(B_{a,b}\) membentuk basis suatu topologi merupakan latihan dalam teori bilangan, sehingga kita tidak membahas rinciannya.
Kegiatan 12.3.
Misalkan \(X = \{a,b,c,d\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\},X\}\text{.}\) Anda boleh mengasumsikan bahwa \(\tau\) merupakan topologi pada \(X\text{.}\) Jelaskan mengapa setiap himpunan terbuka tak kosong dalam ruang topologi \((X, \tau)\) dapat ditulis menggunakan gabungan sebarang dan irisan berhingga dari \(\{a\}\text{,}\) \(\{b\}\text{,}\) dan \(\{c,d\}\text{.}\)
Kegiatan 12.3 menunjukkan bahwa, seperti bola-bola terbuka dalam ruang metrik, suatu topologi dapat memiliki koleksi subhimpunan yang gabungannya membentuk semua himpunan terbuka dalam topologi tersebut. Namun kita perlu sedikit berhati-hati. Suatu basis akan membangkitkan koleksi himpunan terbuka untuk sebuah topologi, sehingga himpunan-himpunan basis yang kita gunakan harus merupakan himpunan terbuka. Selain itu, setiap titik dalam ruang topologi harus menjadi anggota salah satu himpunan basis, dan karena unsur-unsur basis harus menghasilkan semua himpunan terbuka dalam topologi, setiap himpunan dalam topologi (kecuali himpunan kosong) harus merupakan gabungan himpunan-himpunan dalam suatu basis. Kita juga harus dapat memastikan bahwa setiap irisan berhingga himpunan dalam topologi tetap merupakan himpunan dalam topologi ketika kita menulis himpunan-himpunan tersebut dalam istilah himpunan basis. Untuk menjamin dua syarat terakhir, akan kita lihat bahwa cukup mensyaratkan: untuk setiap titik dalam irisan unsur-unsur basis, terdapat unsur basis lain di dalam irisan tersebut yang memuat titik itu. Hal ini dirangkum dalam
Teorema 12.2.
Teorema 12.2.
Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\B\) koleksi subhimpunan dari \(X\) sedemikian sehingga
Untuk setiap \(x \in X\text{,}\) terdapat himpunan dalam \(\B\) yang memuat \(x\text{.}\)
Jika \(x \in X\) merupakan anggota \(B_1 \cap B_2\) untuk suatu \(B_1, B_2 \in \B\text{,}\) maka terdapat himpunan \(B_3 \in \B\) sedemikian sehingga \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\text{.}\)
Maka himpunan \(\tau\) yang terdiri dari himpunan kosong dan gabungan unsur-unsur \(\B\) merupakan topologi pada \(X\text{.}\)
Sebelum membuktikan
Teorema 12.2, kita perlu mengetahui satu fakta tentang himpunan
\(\B\text{.}\)
Kegiatan 12.4.
Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\B\) koleksi subhimpunan dari \(X\) sedemikian sehingga
(a)
Untuk setiap \(x \in X\text{,}\) terdapat himpunan dalam \(\B\) yang memuat \(x\text{.}\)
(b)
Jika \(x \in X\) merupakan anggota \(B_1 \cap B_2\) untuk suatu \(B_1, B_2 \in \B\text{,}\) maka terdapat himpunan \(B_3 \in \B\) sedemikian sehingga \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\text{.}\)
Misalkan \(B_1\text{,}\) \(B_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(B_n\) merupakan anggota \(\B\text{.}\) Tujuan kegiatan ini adalah memperluas sifat 2 dan menunjukkan bahwa jika \(x \in \bigcap_{1 \leq k \leq n} B_k\text{,}\) maka terdapat himpunan \(B \in \B\) sedemikian sehingga \(x \in B\) dan \(B \subseteq \bigcap_{1 \leq k \leq n} B_k\text{.}\)
(i)
Karena pernyataan yang ingin kita buktikan bergantung pada bilangan bulat positif \(n\text{,}\) kita akan menggunakan induksi matematika. Jelaskan mengapa kasus \(n=1\) dan \(n=2\) benar.
(ii)
Apa hipotesis induksinya dan apa yang ingin kita buktikan pada langkah induksi?
(iii)
Gunakan hipotesis induksi dan kondisi 2 untuk melengkapi pembuktian lema yang dicantumkan setelah kegiatan ini.
Lema 12.3.
Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\B\) koleksi subhimpunan dari \(X\) sedemikian sehingga
Untuk setiap \(x \in X\text{,}\) terdapat himpunan dalam \(\B\) yang memuat \(x\text{.}\)
Jika \(x \in X\) merupakan anggota \(B_1 \cap B_2\) untuk suatu \(B_1, B_2 \in \B\text{,}\) maka terdapat himpunan \(B_3 \in \B\) sedemikian sehingga \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\text{.}\)
Misalkan \(B_1\text{,}\) \(B_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(B_n\) merupakan anggota \(\B\text{.}\) Jika \(x \in \bigcap_{1 \leq k \leq n} B_k\text{,}\) maka terdapat himpunan \(B \in \B\) sedemikian sehingga \(x \in B\) dan \(B \subseteq \bigcap_{1 \leq k \leq n} B_k\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan misalkan \(\B\) serta \(\tau\) memenuhi kondisi yang diberikan. Berdasarkan definisi, \(\emptyset \in \tau\text{.}\) Untuk setiap \(x \in X\) terdapat himpunan \(B_x \in \B\) sedemikian sehingga \(x \in B_x\text{.}\) Maka \(X = \bigcup_{x \in X} B_x\text{,}\) dan \(X \in \tau\text{.}\) Untuk melengkapi pembuktian bahwa \(\tau\) merupakan topologi pada \(X\text{,}\) kita perlu menunjukkan bahwa \(\tau\) tertutup terhadap gabungan sebarang dan irisan berhingga. Kita pertimbangkan gabungan terlebih dahulu. Misalkan \(\{U_{\alpha}\}\) koleksi himpunan dalam \(\tau\) untuk \(\alpha\) pada suatu himpunan pengindeks \(I\text{.}\) Berdasarkan definisi, setiap \(U_{\alpha}\) kosong atau merupakan gabungan unsur-unsur \(\B\text{.}\) Jadi \(U = \bigcup_{\alpha \in I} U_{\alpha}\) kosong, atau merupakan gabungan himpunan-himpunan dalam \(\B\text{.}\) Dengan demikian, \(U \in \tau\) dan \(\tau\) tertutup terhadap gabungan sebarang.
Sekarang kita tunjukkan bahwa \(\tau\) tertutup terhadap irisan berhingga. Misalkan \(n\) bilangan bulat positif dan \(\{U_{k}\}\) koleksi himpunan dalam \(\tau\) untuk \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Misalkan \(U = U_1 \cap U_2 \cap \cdots \cap U_n\text{.}\) Jika \(U_k = \emptyset\) untuk suatu \(k\text{,}\) maka \(U = \emptyset\) merupakan anggota \(\tau\text{.}\) Jadi anggap \(U_k \neq \emptyset\) untuk setiap \(k\) antara \(1\) dan \(n\text{.}\) Misalkan \(x \in U\text{.}\) Maka \(x \in U_k\) untuk setiap \(k\text{.}\) Untuk setiap \(m\) antara \(1\) dan \(n\text{,}\) fakta bahwa \(U_m\) merupakan gabungan unsur-unsur dalam \(\B\) menyiratkan adanya \(B_m \subseteq U_m\) dengan \(x \in B_m\text{.}\) Jadi, \(x \in \bigcap_{1 \leq m \leq n} B_m\text{.}\)
Lema 12.3 menunjukkan bahwa terdapat himpunan
\(B_x \in \B\) sedemikian sehingga
\(x \in B_x\) dan
\(B_x \subseteq \bigcap_{1 \leq m \leq n} B_m \subseteq \bigcap_{1 \leq m \leq n} U_m = U\text{.}\) Karena
\(x\) merupakan anggota sebarang dari
\(U\text{,}\) kita harus memiliki
\(U \subseteq \bigcup_{x \in U} B_x\text{.}\) Namun setiap
\(B_x\) merupakan subhimpunan dari
\(U\text{,}\) sehingga
\(\bigcup_{x \in U} B_x \subseteq U\text{.}\) Akibatnya,
\begin{equation*}
U = \bigcup_{x \in U} B_x
\end{equation*}
dan \(U \in \tau\text{.}\) Jadi, \(\tau\) merupakan topologi pada \(X\text{.}\)
Setiap koleksi
\(\B\) himpunan seperti yang diberikan dalam
Teorema 12.2 memiliki nama khusus.
Definisi 12.4.
Misalkan \(X\) suatu himpunan. Himpunan \(\B\) merupakan basis untuk suatu topologi (atau cukup disebut basis) pada \(X\) jika
Untuk setiap \(x \in X\text{,}\) terdapat himpunan dalam \(\B\) yang memuat \(x\text{.}\)
Jika \(x \in X\) merupakan anggota \(B_1 \cap B_2\) untuk suatu \(B_1, B_2 \in \B\text{,}\) maka terdapat himpunan \(B_3 \in \B\) sedemikian sehingga \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\text{.}\)
Unsur-unsur suatu basis
\(\B\) disebut
unsur basis atau
himpunan terbuka dasar. Basis untuk topologi pada himpunan
\(X\) mendefinisikan topologi pada
\(X\) seperti ditunjukkan dalam
Teorema 12.2.
Perhatikan bahwa karena sifat (1) dari
Definisi 12.4, gabungan himpunan-himpunan dalam basis harus memuat
\(X\text{.}\) Dengan kata lain, himpunan-himpunan dalam basis menutupi ruang tersebut. Sifat kedua memastikan bahwa jika suatu titik berada dalam irisan dua himpunan terbuka dasar, maka terdapat himpunan terbuka dasar yang lebih kecil yang memuat
\(x\text{.}\)
Definisi 12.5.
Misalkan \(\B\) suatu basis untuk topologi pada himpunan \(X\text{.}\) Topologi \(\tau\) yang dibangkitkan oleh \(\B\) memuat himpunan kosong dan semua gabungan sebarang unsur basis.
Jika topologi untuk ruang \(X\) sudah jelas dari konteks, kita juga menyebut basis topologi tersebut sebagai basis untuk \(X\text{.}\)
Kegiatan 12.5.
(a)
Misalkan \(X=\{a,b,c,d,e,f\}\) dan \(\tau= \{\emptyset, \{a\}, \{c,d\},\{a,c,d\}, \{b,c,d,e,f\}, X \}\text{.}\)
(i)
Apakah himpunan
\begin{equation*}
\mathcal{B} = \{\{a\},\{a,c,d\} \}
\end{equation*}
merupakan basis untuk \(\tau\text{?}\) Jika bukan, tambahkan sesedikit mungkin himpunan ke \(\mathcal{B}\) agar menjadi basis untuk topologi ini.
(ii)
Apakah himpunan
\begin{equation*}
\mathcal{B} = \{\{a\},\{c,d\},\{b,c,d,e,f\} \}
\end{equation*}
merupakan basis untuk \(\tau\text{?}\) Jika bukan, tambahkan sesedikit mungkin himpunan ke \(\mathcal{B}\) agar menjadi basis untuk topologi ini.
(b)
Misalkan \(X=\{a,b,c\}\) dan \(X\) memiliki topologi diskret (topologi yang terdiri dari semua subhimpunan \(X\)). Apakah \(\mathcal{B} = \{\{a\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\} \}\) merupakan basis untuk topologi diskret pada \(X\text{?}\) Jika bukan, tambahkan sesedikit mungkin himpunan ke \(\mathcal{B}\) agar menjadi basis untuk topologi ini.
(c)
Tentukan basis untuk topologi diskret pada sembarang himpunan \(X\text{.}\)
