Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan sumber, bagian pertama

Sepuluh panduan berikut mengikuti, dalam urutan baca, sepuluh perintah atomik pertama pada latihan penutup Bab 11. Uraian ini merupakan materi pendamping asli untuk belajar mandiri, bukan jawaban dari penulis karya sumber, dan tersedia di bawah lisensi Creative Commons Atribusi 4.0 Internasional (CC BY 4.0).
Dalam subruang \(A=[1,3]\) dari \((\R,d_E)\text{,}\) tentukan apakah \(S=[1,2)\) terbuka dalam \(A\text{.}\) Rubrik. Jawaban harus menyatakan suatu himpunan terbuka di ruang ambien yang irisannya dengan \(A\) tepat sama dengan \(S\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan pencirian keterbukaan subruang: cari himpunan terbuka \(O\subseteq\R\) sedemikian sehingga \(S=A\cap O\text{.}\) Interval terbuka dengan ujung kanan \(2\) dapat dipilih agar juga memuat titik \(1\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Himpunan \(S=[1,2)\) terbuka secara relatif dalam \(A=[1,3]\) karena \(S=A\cap(0,2)\text{.}\)
Solusi.
Interval \(O=(0,2)\) terbuka dalam \((\R,d_E)\text{.}\) Selain itu,
\begin{equation*} A\cap O=[1,3]\cap(0,2)=[1,2)=S. \end{equation*}
Berdasarkan pencirian himpunan terbuka dalam subruang, irisan suatu himpunan terbuka di ruang ambien dengan \(A\) terbuka dalam \(A\text{.}\) Jadi \(S\) terbuka dalam \(A\text{,}\) walaupun \(S\) tidak terbuka dalam \(\R\text{.}\)
Dalam subruang \(A=\Q\) dari \((\R,d_E)\text{,}\) tentukan apakah \(S=\{1,2\}\) terbuka dalam \(A\text{.}\) Rubrik. Jika jawabannya negatif, tunjukkan bahwa sekurang-kurangnya satu titik \(S\) tidak mempunyai bola subruang yang termuat dalam \(S\text{.}\)
Petunjuk.
Ambil sebarang \(r\gt0\text{.}\) Dengan memilih bilangan bulat positif \(n\) yang cukup besar, titik rasional \(1+1/n\) dapat dibuat berada dalam \(B_{\Q}(1,r)\) tanpa sama dengan \(1\) atau \(2\text{.}\)
Jawaban.
Tidak. Setiap bola terbuka dalam \(\Q\) yang berpusat di \(1\) memuat bilangan rasional selain \(1\) dan \(2\text{.}\)
Solusi.
Andaikan \(r\gt0\text{.}\) Pilih \(n\in\Z^+\) sedemikian sehingga \(1/n\lt\min\{r,1/2\}\text{,}\) dan tetapkan \(q=1+1/n\text{.}\) Maka \(q\in\Q\text{,}\) \(d_E(q,1)=1/n\lt r\text{,}\) sehingga \(q\in B_{\Q}(1,r)\text{.}\) Akan tetapi, pilihan \(1/n\lt1/2\) menjamin \(1\lt q\lt3/2\text{;}\) jadi \(q\notin\{1,2\}\text{.}\) Karena argumen ini berlaku bagi setiap \(r\gt0\text{,}\) tidak ada bola terbuka dalam \(\Q\) yang berpusat di \(1\) dan termuat dalam \(S\text{.}\) Maka \(S\) tidak terbuka dalam subruang \(\Q\text{.}\)
Dalam subruang \(A=\Z\) dari \((\R,d_E)\text{,}\) tentukan apakah \(S=\{1,2\}\) terbuka dalam \(A\text{.}\) Rubrik. Tunjukkan secara eksplisit bahwa setiap titik \(S\) mempunyai bola subruang yang termuat dalam \(S\text{.}\)
Petunjuk.
Dua bilangan bulat berbeda berjarak sekurang-kurangnya \(1\text{.}\) Tinjau bola berjari-jari \(1/2\) dalam subruang \(\Z\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Dalam metrik subruang pada \(\Z\text{,}\) berlaku \(B_{\Z}(1,1/2)=\{1\}\) dan \(B_{\Z}(2,1/2)=\{2\}\text{.}\)
Solusi.
Jika \(k,\ell\in\Z\) dan \(k\neq\ell\text{,}\) maka \(|k-\ell|\geq1\text{.}\) Karena itu, satu-satunya bilangan bulat dalam bola ambien \((k-1/2,k+1/2)\) adalah \(k\text{,}\) sehingga \(B_{\Z}(k,1/2)=\{k\}\text{.}\) Khususnya,
\begin{equation*} S=B_{\Z}(1,1/2)\cup B_{\Z}(2,1/2). \end{equation*}
Setiap bola pada ruas kanan terbuka dalam \(\Z\text{;}\) gabungannya juga terbuka. Jadi \(S\) terbuka dalam subruang \(\Z\text{.}\)
Misalkan \(O\) terbuka dalam ruang metrik \((X,d)\) dan \(U\subseteq O\text{.}\) Buktikan bahwa \(U\) terbuka dalam \((O,d|_{O\times O})\) jika dan hanya jika \(U\) terbuka dalam \((X,d)\text{.}\) Rubrik. Kedua implikasi harus dibuktikan; nyatakan dengan jelas tempat digunakannya hipotesis bahwa \(O\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Arah pertama. Jika \(U\) terbuka dalam \(O\text{,}\) tuliskan \(U=O\cap V\) untuk suatu \(V\) yang terbuka dalam \(X\text{.}\)
Arah kedua. Jika \(U\) terbuka dalam \(X\text{,}\) gunakan kesamaan sederhana \(U=O\cap U\text{.}\)
Jawaban.
Ekuivalensi benar. Pada arah yang tidak otomatis bagi subruang sebarang, keterbukaan \(O\) membuat irisan \(O\cap V\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Solusi.
Andaikan \(U\) terbuka dalam subruang \(O\text{.}\) Berdasarkan pencirian keterbukaan relatif, terdapat himpunan terbuka \(V\subseteq X\) dengan \(U=O\cap V\text{.}\) Hipotesis menyatakan bahwa \(O\) terbuka dalam \(X\text{;}\) karena irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka bersifat terbuka, \(U=O\cap V\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(U\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Karena \(U\subseteq O\text{,}\) berlaku \(U=O\cap U\text{.}\) Himpunan kedua pada irisan ini terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga pencirian keterbukaan relatif menunjukkan bahwa \(U\) terbuka dalam subruang \(O\text{.}\) Kedua implikasi telah terbukti.
Misalkan \(f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)\) kontinu dan \(A\) suatu subruang dari \(X\text{.}\) Tentukan apakah pembatasan \(f|_A:A\to Y\) harus kontinu, lalu buktikan jawaban Anda. Rubrik. Bukti harus memperhitungkan topologi subruang pada \(A\text{,}\) bukan sekadar menyatakan bahwa rumus fungsinya tidak berubah.
Petunjuk.
Untuk himpunan terbuka \(V\subseteq Y\text{,}\) bandingkan \((f|_A)^{-1}(V)\) dengan \(f^{-1}(V)\text{.}\) Prapeta yang pertama merupakan irisan yang kedua dengan \(A\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Pembatasan fungsi kontinu pada sebarang subruang domain selalu kontinu.
Solusi.
Ambil sebarang himpunan terbuka \(V\) dalam \(Y\text{.}\) Karena \(f:X\to Y\) kontinu, \(f^{-1}(V)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Dari definisi pembatasan fungsi,
\begin{equation*} (f|_A)^{-1}(V)=A\cap f^{-1}(V). \end{equation*}
Ruas kanan terbuka dalam subruang \(A\text{.}\) Jadi prapeta setiap himpunan terbuka di \(Y\) di bawah \(f|_A\) terbuka dalam domain \(A\text{.}\) Pencirian kekontinuan melalui himpunan terbuka membuktikan bahwa \(f|_A:A\to Y\) kontinu.
Misalkan \((X,d)\) ruang metrik dan \(A\subseteq X\text{.}\) Buktikan bahwa \(C_A\subseteq A\) tertutup dalam \(A\) jika dan hanya jika terdapat himpunan tertutup \(C_X\) dalam \(X\) sedemikian sehingga \(C_A=C_X\cap A\text{.}\) Rubrik. Buktikan kedua arah dengan menggunakan komplemen relatif dan pencirian himpunan terbuka dalam subruang.
Petunjuk.
Arah maju. Karena \(A\setminus C_A\) terbuka dalam \(A\text{,}\) tuliskan \(A\setminus C_A=A\cap O_X\) untuk suatu \(O_X\) terbuka dalam \(X\text{,}\) lalu ambil \(C_X=X\setminus O_X\text{.}\)
Arah balik. Ambil komplemen relatif dari \(C_A=A\cap C_X\) di dalam \(A\text{.}\)
Jawaban.
Ekuivalensi benar. Himpunan tertutup relatif tepat merupakan irisan subruang dengan suatu himpunan tertutup di ruang ambien.
Solusi.
Andaikan \(C_A\) tertutup dalam \(A\text{.}\) Maka \(A\setminus C_A\) terbuka dalam \(A\text{.}\) Ada himpunan terbuka \(O_X\) dalam \(X\) sedemikian sehingga \(A\setminus C_A=A\cap O_X\text{.}\) Tetapkan \(C_X=X\setminus O_X\text{;}\) himpunan \(C_X\) tertutup dalam \(X\text{.}\) Dengan mengambil komplemen relatif di dalam \(A\text{,}\) diperoleh
\begin{equation*} C_A=A\setminus(A\cap O_X)=A\cap(X\setminus O_X)=A\cap C_X. \end{equation*}
Sebaliknya, andaikan \(C_A=A\cap C_X\) untuk suatu himpunan tertutup \(C_X\) dalam \(X\text{.}\) Komplemen \(X\setminus C_X\) terbuka dalam \(X\text{,}\) dan
\begin{equation*} A\setminus C_A=A\cap(X\setminus C_X). \end{equation*}
Ruas kanan terbuka dalam subruang \(A\text{.}\) Jadi komplemen relatif \(C_A\) terbuka dalam \(A\text{,}\) yang berarti \(C_A\) tertutup dalam \(A\text{.}\)
Untuk ruang metrik \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\text{,}\) definisikan \(d:(X\times Y)\times(X\times Y)\to\R\) dengan
\begin{equation*} d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2). \end{equation*}
Buktikan atau sangkal bahwa \(d\) merupakan metrik pada \(X\times Y\text{.}\) Rubrik. Periksa keempat aksioma metrik dan tuliskan langkah pertidaksamaan segitiga secara eksplisit.
Petunjuk.
Ketaknegatifan dan simetri diwarisi dari kedua metrik koordinat. Suatu jumlah dua bilangan tak negatif bernilai nol tepat ketika keduanya nol. Untuk pertidaksamaan segitiga, terapkan aksioma tersebut sekali pada \(d_X\) dan sekali pada \(d_Y\text{,}\) lalu jumlahkan.
Jawaban.
Klaim benar. Fungsi \(d\) adalah metrik pada \(X\times Y\text{;}\) metrik ini sering disebut metrik hasil kali berbentuk jumlah.
Solusi.
Tuliskan \(p=(x_1,y_1)\) dan \(q=(x_2,y_2)\text{.}\) Karena \(d_X\) dan \(d_Y\) tak negatif, \(d(p,q)\geq0\text{.}\) Selain itu, \(d(p,q)=0\) jika dan hanya jika kedua sukunya nol, yakni jika dan hanya jika \(x_1=x_2\) dan \(y_1=y_2\text{;}\) kondisi ini ekuivalen dengan \(p=q\text{.}\) Simetri kedua metrik koordinat memberi \(d(p,q)=d(q,p)\text{.}\)
Untuk \(r=(x_3,y_3)\text{,}\) pertidaksamaan segitiga pada setiap koordinat memberikan
\begin{align*} d(p,r) \amp=d_X(x_1,x_3)+d_Y(y_1,y_3)\\ \amp\leq d_X(x_1,x_2)+d_X(x_2,x_3) +d_Y(y_1,y_2)+d_Y(y_2,y_3)\\ \amp=d(p,q)+d(q,r). \end{align*}
Jadi semua aksioma metrik terpenuhi dan \(d\) merupakan metrik pada \(X\times Y\text{.}\)
Misalkan \((X_i,d_i)\) ruang metrik untuk \(1\leq i\leq n\text{,}\) tetapkan \(X=\prod_{i=1}^nX_i\text{,}\) dan definisikan \(d:X\times X\to\R\) dengan
\begin{equation*} d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n d_i(x_i,y_i)^2}. \end{equation*}
Buktikan bahwa \(d\) merupakan metrik pada \(X\text{.}\) Rubrik. Selain tiga aksioma langsung, bukti harus membenarkan pertidaksamaan segitiga menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz atau bentuk ekuivalen pertidaksamaan Minkowski.
Petunjuk.
Untuk \(x,y,z\in X\text{,}\) tetapkan \(a_i=d_i(x_i,y_i)\text{,}\) \(b_i=d_i(y_i,z_i)\text{,}\) dan \(c_i=d_i(x_i,z_i)\text{.}\) Maka \(c_i\leq a_i+b_i\text{.}\) Kembangkan \(\sum_i(a_i+b_i)^2\) dan gunakan Cauchy-Schwarz pada \(\sum_i a_ib_i\text{.}\)
Jawaban.
Fungsi \(d\) adalah metrik pada hasil kali berhingga \(X=\prod_{i=1}^nX_i\text{.}\) Pertidaksamaan segitiganya adalah pertidaksamaan Minkowski bagi vektor jarak koordinat.
Solusi.
Ketaknegatifan jelas dari definisi. Nilai \(d(x,y)\) sama dengan nol jika dan hanya jika \(d_i(x_i,y_i)=0\) untuk setiap \(i\text{,}\) yang terjadi jika dan hanya jika \(x_i=y_i\) untuk setiap \(i\text{,}\) yakni \(x=y\text{.}\) Simetri setiap \(d_i\) langsung memberikan \(d(x,y)=d(y,x)\text{.}\)
Sekarang ambil \(x,y,z\in X\) dan gunakan notasi \(a_i,b_i,c_i\) dari petunjuk. Pertidaksamaan segitiga pada \(X_i\) memberi \(c_i\leq a_i+b_i\text{.}\) Karena semua bilangan ini tak negatif dan, berdasarkan Cauchy-Schwarz,
\begin{equation*} \sum_{i=1}^n a_ib_i \leq\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}, \end{equation*}
kita memperoleh
\begin{align*} d(x,z)^2=\sum_{i=1}^n c_i^2 \amp\leq\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\\ \amp=\sum_{i=1}^n a_i^2 +2\sum_{i=1}^n a_ib_i+\sum_{i=1}^n b_i^2\\ \amp\leq \left(\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}\right)^2\\ \amp=(d(x,y)+d(y,z))^2. \end{align*}
Kedua ruas terakhir tak negatif, sehingga pengambilan akar kuadrat memberi \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\text{.}\) Jadi \(d\) memenuhi seluruh aksioma metrik.
Misalkan \((x_n)\) suatu barisan bilangan real yang tak menurun dan terbatas di atas. Buktikan bahwa \((x_n)\) konvergen. Rubrik. Identifikasi kandidat limit melalui supremum dan verifikasi langsung definisi epsilon bagi konvergensi.
Petunjuk.
Tetapkan \(L=\sup\{x_n\mid n\in\Z^+\}\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) bilangan \(L-\epsilon\) bukan batas atas himpunan suku barisan. Setelah menemukan \(x_N\gt L-\epsilon\text{,}\) gunakan sifat tak menurun.
Jawaban.
Barisan tersebut konvergen ke supremum himpunan suku-sukunya: \(\lim x_n=\sup\{x_n\mid n\in\Z^+\}\text{.}\)
Solusi.
Himpunan \(S=\{x_n\mid n\in\Z^+\}\) tidak kosong dan terbatas di atas. Berdasarkan kelengkapan bilangan real, terdapat \(L=\sup S\text{.}\) Ambil \(\epsilon\gt0\text{.}\) Karena \(L-\epsilon\lt L\text{,}\) bilangan \(L-\epsilon\) bukan batas atas \(S\text{.}\) Jadi terdapat \(N\in\Z^+\) dengan \(x_N\gt L-\epsilon\text{.}\)
Jika \(n\geq N\text{,}\) sifat tak menurun memberi \(x_N\leq x_n\text{,}\) sedangkan sifat \(L\) sebagai batas atas memberi \(x_n\leq L\text{.}\) Maka
\begin{equation*} L-\epsilon\lt x_N\leq x_n\leq L, \end{equation*}
sehingga \(|x_n-L|=L-x_n\lt\epsilon\text{.}\) Ini berlaku bagi setiap \(n\geq N\text{,}\) jadi definisi konvergensi memberikan \(x_n\to L\text{.}\)
Untuk ruang Hilbert \(H=\{(x_n)\mid x_n\in\R,\ \sum_{n=1}^{\infty}x_n^2\lt\infty\}\text{,}\) berikan dua unsur berbeda dari \(H\) dan satu barisan tak hingga yang tidak berada dalam \(H\text{.}\) Jelaskan setiap pilihan. Rubrik. Hitung atau tentukan perilaku deret kuadrat untuk ketiga barisan.
Petunjuk.
Mulailah dengan barisan nol dan barisan yang hanya mempunyai satu suku tak nol. Untuk noncontoh, pilih barisan yang semua sukunya sama dengan \(1\text{.}\)
Jawaban.
Contoh yang memenuhi adalah \(u=(0,0,0,\ldots)\) dan \(v=(1,0,0,\ldots)\text{.}\) Noncontohnya adalah \(w=(1,1,1,\ldots)\text{.}\)
Solusi.
Untuk \(u_n=0\) bagi semua \(n\text{,}\) berlaku \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2=0\text{;}\) jadi \(u\in H\text{.}\) Untuk \(v_1=1\) dan \(v_n=0\) bila \(n\geq2\text{,}\) berlaku \(\sum_{n=1}^{\infty}v_n^2=1\text{;}\) jadi \(v\in H\text{.}\) Kedua barisan berbeda karena suku pertamanya berbeda.
Untuk \(w_n=1\) bagi semua \(n\text{,}\) jumlah parsial deret kuadratnya adalah \(\sum_{n=1}^{N}w_n^2=N\text{,}\) yang tidak terbatas ketika \(N\to\infty\text{.}\) Karena itu \(\sum_{n=1}^{\infty}w_n^2\) divergen dan \(w\notin H\text{.}\) Jadi \(w\) merupakan barisan tak hingga yang bukan unsur \(H\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>