Bagian Panduan Belajar Mandiri: Gabungan Himpunan Tertutup
Panduan ini menggunakan topologi komplemen berhingga \(\tau_{FC}\) pada \(\Z\text{:}\) suatu himpunan tak kosong terbuka tepat ketika komplemennya berhingga.
Dalam \((\Z,\tau_{FC})\text{,}\) tentukan apa yang harus berlaku bagi kardinalitas setiap himpunan tertutup.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Misalkan \(C\) tertutup; maka \(\Z\setminus C\) terbuka.
Tahap 2. Pisahkan kasus \(\Z\setminus C=\emptyset\) dari kasus komplemennya tak kosong.
Tahap 3. Pada kasus kedua, terapkan definisi topologi komplemen berhingga kepada \(\Z\setminus C\text{.}\)
Setiap himpunan tertutup adalah berhingga atau sama dengan seluruh \(\Z\text{.}\) Sebaliknya, setiap subhimpunan berhingga dan \(\Z\) sendiri memang tertutup.
Jika \(C=\Z\text{,}\) maka \(C\) tertutup karena komplemennya \(\emptyset\) terbuka. Jika \(C\neq\Z\text{,}\) himpunan \(O=\Z\setminus C\) tak kosong. Karena \(C\) tertutup, \(O\) terbuka; definisi \(\tau_{FC}\) lalu menyatakan bahwa \(\Z\setminus O=C\) berhingga. Sebaliknya, jika \(C\) berhingga, maka \(\Z\setminus C\) tak kosong dan berkomplemen berhingga, sehingga terbuka. Jadi \(C\) tertutup.
Pemeriksaan M.12. Gabungan Tak Berhingga Dapat Gagal Tertutup.
Untuk \(n\geq 3\text{,}\) misalkan \(C_n=\{2,3,\ldots,n\}\text{.}\) Tentukan apakah \(\bigcup_{n\geq 3}C_n\) tertutup dalam \((\Z,\tau_{FC})\text{,}\) dan jelaskan.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Tuliskan secara eksplisit anggota gabungan tersebut.
Tahap 2. Tentukan apakah gabungan itu berhingga dan apakah sama dengan \(\Z\text{.}\)
Tahap 3. Gunakan klasifikasi himpunan tertutup pada topologi komplemen berhingga.
Tidak. Gabungannya adalah \(\{2,3,4,\ldots\}\text{,}\) suatu subhimpunan tak berhingga yang bukan seluruh \(\Z\text{.}\)
Setiap bilangan bulat \(k\geq 2\) berada dalam \(C_n\) untuk suatu \(n\geq\max\{3,k\}\text{,}\) sedangkan tidak ada bilangan bulat kurang dari \(2\) yang berada dalam salah satu \(C_n\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
\bigcup_{n\geq 3}C_n=\{k\in\Z\mid k\geq 2\}.
\end{equation*}
Himpunan ini tak berhingga dan merupakan subhimpunan sejati dari \(\Z\text{.}\) Karena himpunan tertutup sejati dalam topologi komplemen berhingga harus berhingga, gabungan tersebut tidak tertutup. Contoh ini juga menunjukkan mengapa ketertutupan hanya dijamin untuk gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup.
