Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Seberapa besar sebuah himpunan? Jika suatu himpunan berhingga, kita dapat menghitung banyaknya unsur dalam himpunan itu dan langsung menjawab pertanyaan tersebut. Jika suatu himpunan tak berhingga, pertanyaannya menjadi sedikit lebih rumit. Sebagai contoh, seberapa besar \(\Z\text{?}\) Seberapa besar \(\Q\text{?}\) Karena \(\Z\) adalah subhimpunan dari \(\Q\text{,}\) kita mungkin mengira bahwa \(\Q\) memuat lebih banyak unsur daripada \(\Z\text{.}\) Namun, \(\Z\) tak berhingga; jadi, mungkinkah suatu himpunan mempunyai lebih banyak unsur daripada himpunan bilangan bulat? Kita tidak akan menjawab pertanyaan itu dalam bagian ini, tetapi pertanyaan tersebut menarik untuk direnungkan.

Jika dua himpunan berhingga memiliki banyak unsur yang sama, wajar jika kita mengatakan bahwa kedua himpunan itu sama besar. Bagaimana gagasan ini dapat kita perluas ke himpunan tak berhingga? Jika dua himpunan berhingga memiliki banyak unsur yang sama, kita dapat memasangkan setiap unsur dalam satu himpunan dengan tepat satu unsur dalam himpunan lainnya. Inilah tepatnya yang dilakukan oleh suatu bijeksi. Jadi, suatu himpunan dengan \(n\) unsur dapat dipasangkan dengan himpunan \(\{1, 2, \ldots, n\}\text{,}\) dengan \(n\) suatu bilangan bulat positif. Dengan cara inilah kita dapat mendefinisikan himpunan berhingga.

Jika \(A = \emptyset\text{,}\) kita mengatakan bahwa \(A\) mempunyai kardinalitas \(0\text{.}\) Jika terdapat suatu bijeksi dari \(A\) ke himpunan \(\{1,2, \ldots, n\}\text{,}\) kita mengatakan bahwa \(A\) mempunyai kardinalitas \(n\text{.}\) Jika tidak ada bilangan bulat positif \(n\) sedemikian sehingga terdapat bijeksi dari himpunan \(A\) ke \(\{1,2, \ldots, n\}\text{,}\) kita mengatakan bahwa \(A\) adalah himpunan tak berhingga dan bahwa \(A\) mempunyai kardinalitas tak berhingga. Kita menggunakan istilah kardinalitas alih-alih banyaknya unsur karena kita tidak dapat benar-benar menghitung banyaknya unsur dalam suatu himpunan tak berhingga. Kardinalitas himpunan \(A\) (yakni banyaknya unsur dalam himpunan tersebut) dinotasikan dengan \(|A|\text{.}\) Sebagai latihan, tunjukkan bahwa jika \(A\) dan \(B\) adalah himpunan dengan \(|A|=n\) dan \(|B| = m\text{,}\) maka \(n=m\) jika dan hanya jika terdapat suatu bijeksi \(f: A \to B\text{.}\) Hal ini menunjukkan bahwa kardinalitas terdefinisi dengan baik. Karena komposisi dua bijeksi merupakan bijeksi dan invers suatu bijeksi juga merupakan bijeksi, jika terdapat suatu bijeksi dari himpunan \(A\) ke \(\{1,2, \ldots, n\}\) dan suatu bijeksi dari himpunan \(B\) ke \(\{1,2, \ldots, n\}\) untuk suatu bilangan bulat positif \(n\text{,}\) maka terdapat suatu bijeksi antara \(A\) dan \(B\text{.}\) Dengan gagasan ini, kita mengatakan bahwa dua himpunan (baik berhingga maupun tak berhingga) mempunyai kardinalitas yang sama jika terdapat suatu bijeksi antara kedua himpunan tersebut. Kita akan membahas kardinalitas secara lebih terperinci nanti.