Aktivitas Persiapan 16.1.
Misalkan \(X = \{1,2,3,4,5,6\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{1,2\},\{4,6\}, \{1,2,4,6\},X\}\text{.}\) Misalkan \(Y = \{a,b,c,d\}\) dan definisikan \(p: X \to Y\) dengan
\begin{equation*}
p(1) = b, \ p(2) = a, \ p(3) = c, \ p(4) = d, \ p(5) = c, \ \text{ dan } \ p(6) = a\text{.}
\end{equation*}
Tujuan kita dalam aktivitas ini adalah mendefinisikan topologi pada \(Y\) yang berkaitan dengan topologi pada \(X\) melalui \(p\text{.}\)
(a)
Kita mengetahui himpunan-himpunan terbuka di \(X\text{.}\) Karena itu, mari kita perhatikan himpunan-himpunan \(U\) di \(Y\) sedemikian sehingga \(p^{-1}(U)\) terbuka di \(X\text{.}\) Definisikan \(\sigma\) sebagai koleksi himpunan tersebut. Dengan kata lain,
\begin{equation*}
\sigma = \{U \subseteq Y \mid p^{-1}(U) \in \tau\}\text{.}
\end{equation*}
Tentukan semua himpunan dalam \(\sigma\text{.}\)
(b)
Tunjukkan bahwa \(\sigma\) merupakan topologi pada \(Y\text{.}\)
(c)
Jelaskan mengapa \(p : (X, \tau) \to (Y, \sigma)\) kontinu.
(d)
Tunjukkan bahwa \(\sigma\) merupakan topologi terbesar pada \(Y\) yang membuat \(p\) kontinu. Dengan kata lain, jika \(\sigma'\) merupakan topologi pada \(Y\) dengan \(\sigma \subsetneqq \sigma'\text{,}\) maka \(p: (X,\tau) \to (Y, \sigma')\) tidak kontinu.
