Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Bagian \((-\infty,0)\) merupakan himpunan terbuka. Jika \(x\in(1,2)\text{,}\) pilih jari-jari positif yang lebih kecil daripada \(\min\{x-1,2-x\}\text{;}\) interval yang dihasilkan berada di dalam \((1,2]\subseteq A\text{,}\) sehingga setiap titik tersebut interior. Sebaliknya, untuk titik \(2\text{,}\) setiap interval terbuka yang memuat \(2\) juga memuat titik-titik yang lebih besar dari \(2\text{,}\) yang tidak berada di \(A\text{.}\) Jadi \(2\) bukan titik interior. Demikian pula, jika \(r\gt0\) dan \((3-r,3+r)\) adalah interval terbuka di sekitar \(3\text{,}\) maka \(3+r/2\) berada dalam interval itu tetapi tidak berada dalam \(A\text{;}\) maka \(3\) bukan titik interior. Titik \(0\) dan \(1\) tidak termasuk \(A\text{.}\) Dengan demikian \(\Int(A)=(-\infty,0)\cup(1,2)\text{,}\) yang terbuka sebagai gabungan dua himpunan terbuka. Setiap himpunan terbuka yang terkandung dalam \(A\) hanya dapat memuat titik-titik interior, sehingga terkandung dalam hasil ini; hasil tersebut adalah yang terbesar.

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk bagian pertama, 1 poin untuk menghapus titik ujung dan singleton dengan alasan lingkungan, 1 poin untuk hasil interior, dan 1 poin untuk argumen keterbukaan serta kemaksimalan.

Karena topologinya diskret, setiap subhimpunan \(U\subseteq\R\) terbuka. Khususnya, untuk setiap \(x\in A\text{,}\) singleton \(\{x\}\) terbuka, memuat \(x\text{,}\) dan terkandung dalam \(A\text{.}\) Jadi setiap titik \(A\) merupakan titik interior. Sebaliknya, interior selalu merupakan subhimpunan dari \(A\) menurut definisi. Maka \(\Int(A)=A\text{.}\) Karena \(A\) terbuka dan jelas merupakan subhimpunan dari dirinya sendiri, tidak ada subhimpunan terbuka di dalam \(A\) yang lebih besar daripada \(A\text{.}\)

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk menyatakan semua subhimpunan terbuka, 1 poin untuk menunjukkan singleton di sekitar setiap titik, dan 1 poin untuk kesimpulan interior serta kemaksimalan.

Komplemen \(A\) memuat, misalnya, \([0,1]\cup(2,3)\cup(3,\infty)\text{,}\) sehingga \(\R\setminus A\) tak berhingga. Andaikan \(O\) adalah himpunan terbuka tak kosong dengan \(O\subseteq A\text{.}\) Dalam topologi komplemen berhingga, \(\R\setminus O\) harus berhingga. Namun dari \(O\subseteq A\) diperoleh \(\R\setminus A\subseteq\R\setminus O\text{;}\) ruas kiri tak berhingga, sehingga ruas kanan juga tak berhingga, suatu kontradiksi. Jadi tidak ada himpunan terbuka tak kosong di dalam \(A\text{.}\) Himpunan kosong selalu terbuka, maka gabungan seluruh himpunan terbuka yang terkandung dalam \(A\text{,}\) yakni interiornya, adalah \(\emptyset\text{.}\)

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk menunjukkan komplemen tak berhingga, 1 poin untuk inklusi komplemen yang benar, dan 1 poin untuk kontradiksi komplemen berhingga serta kesimpulan.

Periksa daftar \(\tau\) satu per satu. Himpunan yang tidak memuat \(a\) dan seluruhnya berada di dalam \(A\) hanyalah \(\emptyset\text{,}\) \(\{c\}\text{,}\) \(\{d\}\text{,}\) dan \(\{c,d\}\text{.}\) Gabungan semua himpunan tersebut adalah \(\{c,d\}\text{,}\) dan himpunan itu sendiri terbuka. Titik \(c\) dan \(d\) interior karena masing-masing mempunyai lingkungan terbuka singleton yang berada di dalam \(A\text{.}\) Sebaliknya, setiap anggota \(\tau\) yang memuat \(b\) adalah \(\{a,b\}\text{,}\) \(\{a,b,c\}\text{,}\) \(\{a,b,d\}\text{,}\) atau \(X\text{;}\) semuanya memuat \(a\notin A\text{.}\) Karena itu \(b\) bukan titik interior. Maka \(\Int(A)=\{c,d\}\text{,}\) dan argumen daftar tersebut juga membuktikan kemaksimalannya.

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk daftar anggota terbuka yang terkandung dalam \(A\text{,}\) 1 poin untuk alasan bahwa \(b\) gagal, dan 1 poin untuk gabungan, interior, serta klaim terbesar.

Pernyataan “subhimpunan terbuka terbesar dari \(X\) yang terkandung dalam \(A\)” berarti pertama-tama bahwa objek tersebut adalah subhimpunan \(A\) dan terbuka dalam \(X\text{.}\) Inklusi \(\Int(A)\subseteq A\) langsung mengikuti definisi \(\Int(A)=\{a\in A\mid a\text{ merupakan titik interior dari }A\}\text{;}\) keterbukaan adalah bagian yang perlu dibuktikan dari definisi lingkungan. Terakhir, “terbesar” berarti bahwa setiap \(O\in\tau\) dengan \(O\subseteq A\) harus memenuhi \(O\subseteq\Int(A)\text{.}\) Ketiga syarat ini bersama-sama tepat menyatakan klaim teorema, tanpa perlu mengasumsikan bahwa \(X\) memiliki metrik.

Rubrik penilaian. Berikan masing-masing 1 poin untuk keterbukaan, inklusi ke dalam \(A\text{,}\) dan kondisi universal yang menyatakan kemaksimalan.

Ambil titik sembarang \(x\in O\text{.}\) Karena \(O\in\tau\) dan \(x\in O\text{,}\) definisi lingkungan menyatakan bahwa \(O\) merupakan lingkungan dari \(x\text{:}\) kita dapat memilih himpunan terbuka \(O\) itu sendiri, dengan \(x\in O\subseteq O\text{.}\) Selain itu, hipotesis memberi \(O\subseteq A\text{.}\) Jadi ada himpunan terbuka yang memuat \(x\) dan terkandung dalam \(A\text{,}\) tepatnya \(O\text{;}\) menurut definisi, \(x\) adalah titik interior dari \(A\) dan \(x\in\Int(A)\text{.}\) Karena \(x\) dipilih sembarang, setiap titik \(O\) berada di \(\Int(A)\text{,}\) sehingga \(O\subseteq\Int(A)\text{.}\) Inilah syarat kemaksimalan yang melengkapi pembuktian teorema interior.

Rubrik penilaian. Berikan 1 poin untuk memakai keterbukaan \(O\) sebagai lingkungan, 1 poin untuk memakai \(O\subseteq A\text{,}\) dan 1 poin untuk memperluas argumen dari titik sembarang menjadi inklusi himpunan.