Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Gabungan kosong menghasilkan \(\emptyset\text{.}\) Setiap anggota \(\tau\) yang lain berbentuk \(\{a\}\cup S\) untuk suatu \(S\subseteq\{b,c,d\}\text{;}\) himpunan itu diperoleh dengan mengambil \(U_a\) bila \(S=\emptyset\text{,}\) atau dengan menggabungkan \(U_x\) untuk \(x\in S\text{.}\) Maka koleksi tersebut membangkitkan tepat \(\tau\text{.}\) Untuk basis apa pun \(\mathcal B\) bagi \(\tau\text{,}\) keterbukaan \(U_x\) memberi anggota basis \(B_x\) dengan \(x\in B_x\subseteq U_x\text{.}\) Karena \(U_x\) terkandung dalam setiap lingkungan terbuka titik \(x\text{,}\) juga \(U_x\subseteq B_x\text{;}\) jadi \(B_x=U_x\text{.}\) Dengan demikian semua empat anggota di atas wajib berada dalam setiap basis, yang membuktikan minimalitas sekaligus ketunggalannya.

Panjang maksimum (dalam jumlah simpul) dari \(\tau_1\) berturut- turut adalah \(2\) untuk \(\tau_2,\tau_3,\tau_8\text{,}\) \(3\) untuk \(\tau_4,\tau_5,\tau_7\text{,}\) \(4\) untuk \(\tau_6\text{,}\) \(5\) untuk \(\tau_9\text{,}\) dan \(6\) untuk \(\tau_{10}\text{.}\) Menelusuri semua pendahulu yang mencapai maksimum tersebut memberi tepat rantai-rantai pada jawaban. Karena setiap inklusi ketat di dalam poset hingga harus melewati relasi penutup, perhitungan ini sekaligus membuktikan bahwa tidak ada rantai dalam sepuluh entri yang lebih panjang.

Himpunan \(X=\{a\}\) hanya mempunyai dua subhimpunan, yaitu \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Aksioma topologi mewajibkan keduanya terbuka, sehingga setiap topologi harus sama dengan \(\{\emptyset,X\}\text{.}\) Koleksi ini memang tertutup terhadap semua gabungan dan irisan berhingga, jadi ia benar-benar topologi dan tidak ada kemungkinan lain.

Setiap topologi harus memuat \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Dua subhimpunan lain hanyalah \(\{a\}\) dan \(\{b\}\text{,}\) sehingga ada paling banyak empat pilihan untuk keluarga terbuka tambahan: tidak satu pun, hanya \(\{a\}\text{,}\) hanya \(\{b\}\text{,}\) atau keduanya. Tiga pilihan pertama jelas tertutup terhadap gabungan dan irisan. Pada pilihan terakhir, \(\{a\}\cup\{b\}=X\) dan \(\{a\}\cap\{b\}=\emptyset\text{,}\) jadi aksioma juga terpenuhi. Keempat pilihan pada jawaban dengan demikian merupakan topologi, dan daftar kandidat subhimpunan tadi membuktikan bahwa tidak ada yang terlewat.

Setiap topologi memuat \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Karena itu cukup memilih suatu keluarga \(\mathcal F\subseteq\{A,B,C,AB,AC,BC\}\) yang tertutup terhadap setiap gabungan atau irisan yang hasilnya masih merupakan himpunan tak kosong dan bukan \(X\text{.}\) Kita klasifikasikan menurut \(k=|\mathcal F|\text{.}\)

Untuk \(k=0\) ada satu pilihan, dan untuk \(k=1\) setiap satu dari enam himpunan dapat dipilih, jadi ada enam. Untuk \(k=2\text{,}\) dua anggota harus bersarang atau saling berkomplemen. Jika keduanya tidak bersarang dan bukan komplemen, irisan atau gabungannya memberi anggota nontrivial ketiga yang wajib ditambahkan. Ada enam pasangan bersarang (sebuah singleton di dalam salah satu dari dua pasangan yang memuatnya) dan tiga pasangan komplemen, sehingga diperoleh sembilan keluarga empat-terbuka yang tercantum.

Untuk \(k=3\text{,}\) penutupan menyisakan dua pola. Pola pertama memuat dua singleton dan gabungannya, yakni \(\{A,B,AB\}\) beserta dua hasil permutasi label. Pola kedua memuat satu singleton dan dua pasangan yang memuatnya, yakni \(\{A,AB,AC\}\) beserta dua hasil permutasi. Jadi ada enam. Memulai dari pasangan komplemen dan menambahkan anggota ketiga tidak menghasilkan pola lain: gabungan atau irisan dengan anggota ketiga memaksa anggota keempat.

Untuk \(k=4\text{,}\) penutupan memaksa dua singleton yang dipilih, gabungan keduanya, serta tepat satu dari dua pasangan yang menghubungkan titik ketiga dengan salah satu singleton tersebut. Pilihan pasangan singleton ada tiga dan pilihan pasangan tambahan ada dua, sehingga ada enam keluarga; keenamnya dituliskan pada kelompok enam-terbuka. Pemeriksaan gabungan dan irisan langsung menunjukkan bahwa setiap keluarga dalam kelompok \(k=0,1,2,3,4\) memang tertutup.