Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Pada butir ketiga, “berada di \(A\) tetapi tidak sekaligus di \(B\) dan \(C\)” berarti meniadakan \(B\cap C\text{,}\) bukan meniadakan kedua himpunan secara terpisah. Pada butir kelima, gagal berada di sedikitnya dua himpunan berarti sedikitnya satu dari tiga pasangan komplemen berlaku. Pada butir keenam, gagal berada di paling banyak satu himpunan berarti berada di sedikitnya dua himpunan. Uji tabel delapan pola keanggotaan memberi pemeriksaan langsung.

Jika \(u\in Y\setminus X\text{,}\) maka \(u\in Z\) dan \(u\notin X\text{,}\) jadi \(u\in Z\setminus X\text{.}\) Untuk identitas kedua, anggota ruas kiri berada di \(Z\) tetapi tidak di \(Y\setminus X\text{.}\) Jika ia tidak di \(Y\text{,}\) ia berada di \(Z\setminus Y\text{;}\) jika ia di \(Y\text{,}\) kegagalan berada di \(Y\setminus X\) memaksanya berada di \(X\text{.}\) Arah sebaliknya diperiksa langsung dari dua kasus itu.

Sebagai pola, \(x\in A\cap(B\cup C)\) ekuivalen dengan \(x\in A\) dan (\(x\in B\) atau \(x\in C\)). Distribusikan kata “dan” untuk memperoleh (\(x\in A\cap B\)) atau (\(x\in A\cap C\)), tepat syarat ruas kanan. Tiga identitas lain dibuktikan dengan rantai ekuivalensi yang sama. Sumber menempatkan dua hukum distributif dalam satu task melalui token \item; keduanya tetap harus dibuktikan.

Untuk hukum pertama, \(x\in(\bigcup A_\alpha)^c\) jika dan hanya jika tidak ada \(\alpha\) dengan \(x\in A_\alpha\text{;}\) ini jika dan hanya jika untuk setiap \(\alpha\text{,}\) \(x\in A_\alpha^c\text{;}\) dan ini jika dan hanya jika \(x\in\bigcap A_\alpha^c\text{.}\) Untuk hukum kedua, \(x\notin\bigcap A_\alpha\) jika dan hanya jika ada \(\alpha\) dengan \(x\notin A_\alpha\text{;}\) ini jika dan hanya jika \(x\in\bigcup A_\alpha^c\text{.}\) Dengan konvensi gabungan kosong \(\emptyset\) dan irisan kosong \(U\text{,}\) bukti juga mencakup \(I=\emptyset\text{.}\)

Andaikan \((x,a)\in\emptyset\times A\text{.}\) Definisi hasil kali Kartesius mengharuskan \(x\in\emptyset\text{,}\) yang mustahil. Jadi hasil kali Kartesius itu tidak mempunyai anggota.

Kodekan setiap subhimpunan dengan deret biner sepanjang \(n\text{:}\) digit ke-\(i\) bernilai \(1\) bila unsur ke-\(i\) dipilih. Korespondensi ini bijektif dengan semua \(2^n\) deret biner. Secara induktif, menambahkan satu unsur menggandakan jumlah subhimpunan, sebab setiap subhimpunan lama menghasilkan satu versi tanpa dan satu versi dengan unsur baru.

(a) Karena \(A\subseteq A\text{,}\) maka \(A\in2^A\text{.}\) (b) Anggota \(A\) tidak harus berupa subhimpunan \(A\text{;}\) misalnya \(A=\{1\}\text{.}\) Koreksi universalnya adalah \(A\in2^A\text{.}\) (c) Selalu \(\{A\}\subseteq2^A\text{;}\) inklusi itu ketat bila \(A\neq\emptyset\text{,}\) tetapi sama saat \(A=\emptyset\text{.}\) (d) Karena \(\emptyset\subseteq A\text{,}\) berlaku \(\emptyset\in2^A\text{.}\) (e) Himpunan kosong merupakan subhimpunan ketat dari \(2^A\) sebab \(2^A\) memuat sedikitnya \(\emptyset\text{.}\) (f) Jika \(C\in2^A\text{,}\) maka \(C\subseteq A\subseteq B\text{,}\) sehingga \(C\in2^B\text{.}\)

Andaikan \(W=C\times D\text{.}\) Karena dua pasangan diagonal berada di \(W\text{,}\) kita harus mempunyai \(a_1,a_2\in C\) dan \(b_1,b_2\in D\text{.}\) Maka \((a_1,b_2)\) dan \((a_2,b_1)\) juga harus berada di \(C\times D\text{,}\) bertentangan dengan definisi \(W\text{.}\) Karena \(A\) dan \(B\) masing-masing mempunyai sedikitnya dua anggota, pilihan tersebut selalu tersedia.

Tidak ada \(y\) dalam semua \((0,x)\text{:}\) jika \(y\leq0\text{,}\) ia tidak berada dalam interval mana pun; jika \(y\gt0\text{,}\) pilih \(x=y/2\text{.}\) Sebaliknya, setiap \(y\gt0\) berada dalam \((0,y+1)\text{,}\) sehingga gabungannya tepat \((0,\infty)\text{.}\) Untuk interval tertutup, \(0\) berada dalam semuanya. Argumen \(x=y/2\) menyingkirkan setiap \(y\gt0\) dari irisan dan bilangan negatif tidak pernah masuk; jadi irisannya \(\{0\}\text{.}\) Setiap \(y\geq0\) berada dalam \([0,y+1]\text{,}\) yang membuktikan hasil gabungan.

(a) Anggota \(A\) berada di \(B\) dan \(C\text{,}\) jadi di irisannya. (b) Anggota \(A\cup B\) berasal dari salah satu subhimpunan \(C\text{.}\) (c) Salah: ambil \(X=\{1,2\}\text{,}\) \(A=\{1\}\text{,}\) dan \(B=X\text{;}\) arah yang benar adalah \(X\setminus B\subseteq X\setminus A\text{.}\) (d) Benar oleh pembalikan komplemen. (e) Salah: \(A=\{1,2\}\text{,}\) \(B=\{2\}\text{;}\) ruas kiri \(\{1\}\text{.}\) Identitas yang benar ialah \((A\cup B)\setminus B=A\setminus B\text{.}\) (f) Salah: \(A=\{1\}\text{,}\) \(B=\{1,2\}\text{;}\) ruas kiri \(\{1\}\text{,}\) bukan \(B\text{.}\) Identitas umumnya \(A\setminus(A\setminus B)=A\cap B\text{.}\) (g) Benar, karena kedua ruas berarti \(x\in A\cap B\) dan \(x\notin C\text{.}\) (h) Benar relatif terhadap \(X\text{.}\) (i) Salah: \(\{\emptyset\}\) mempunyai tepat satu anggota, yaitu \(\emptyset\text{.}\) (j) Benar: \(\emptyset\) dan \(\{\emptyset\}\) adalah dua objek berbeda.