Teorema 10.8.
Misalkan \(C\) suatu subhimpunan dari ruang metrik \(X\text{,}\) dan misalkan \(C'\) himpunan semua titik limit dari \(C\text{.}\) Maka \(C\) tertutup jika dan hanya jika \(C' \subseteq C\text{.}\)
Bagian Titik Limit dan Himpunan Tertutup
Terdapat hubungan antara titik limit dan himpunan tertutup. Himpunan terbuka \((1,2)\) dalam \((\R, d_E)\) tidak memuat semua titik limitnya maupun satu pun titik batasnya, sedangkan himpunan tertutup \([1,2]\) memuat semua titik batas dan titik limitnya. Hal ini merupakan sifat penting dari himpunan tertutup. Ingatlah bahwa untuk suatu titik limit \(x\) dari subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\text{,}\) setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Lingkungan tersebut dapat kita buat sekecil apa pun sehingga, dalam arti tertentu, titik-titik limit dari \(A\) yang tidak berada di \(A\) merupakan titik-titik di \(X\) yang dapat berjarak sedekat apa pun dari himpunan \(A\text{.}\) Kita menyatakan himpunan semua titik limit dari \(A\) dengan \(A'\text{,}\) dan titik-titik limit suatu himpunan dapat menentukan apakah himpunan tersebut tertutup.
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik, dan misalkan \(C\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Pertama, andaikan \(C\) tertutup dan tunjukkan bahwa \(C\) memuat semua titik limitnya. Misalkan \(x \in X\) suatu titik limit dari \(C\text{.}\) Kita menggunakan pembuktian dengan kontradiksi dan mengandaikan bahwa \(x \notin C\text{.}\) Maka \(x \in X \setminus C\text{,}\) yang merupakan himpunan terbuka. Hal ini mengakibatkan bahwa terdapat \(\epsilon \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(x, \epsilon) \subseteq X \setminus C\text{.}\) Namun, lingkungan \(B(x, \epsilon)\) ini tidak memuat satu pun titik di \(C\text{,}\) yang bertentangan dengan fakta bahwa \(x\) merupakan titik limit dari \(C\text{.}\) Kita menyimpulkan bahwa \(x \in C\) dan \(C\) memuat semua titik limitnya.
Implikasi sebaliknya dari hasil yang baru saja kita buktikan akan ditelaah dalam kegiatan berikut.
Kegiatan 10.8.
Misalkan \(C\) suatu subhimpunan dari ruang metrik \(X\text{,}\) dan misalkan \(C'\) himpunan semua titik limit dari \(C\text{.}\) Dalam kegiatan ini, kita membuktikan bahwa \(C\) tertutup jika \(C\) memuat semua titik limitnya. Jadi, andaikan \(C' \subseteq C\text{.}\)
(a)
Apa yang perlu kita lakukan untuk menunjukkan bahwa \(C\) tertutup?
(b)
Jika kita menggunakan pembuktian dengan kontradiksi untuk membuktikan bahwa \(C\) tertutup, kita mengandaikan bahwa \(C\) tidak tertutup. Apa yang dapat kita simpulkan tentang \(X \setminus C\) dari hal ini?
(c)
Apa yang dapat kita simpulkan dari hasil butir (b)?
(d)
Bagaimana hasil butir (c) bertentangan dengan asumsi bahwa \(C\) memuat semua titik limitnya?
