Definisi 13.7.
Tutupan dari suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) adalah himpunan
\begin{equation*}
\overline{A} = A \cup A'\text{.}
\end{equation*}
Bagian Tutupan dalam Ruang Topologi
Setelah memiliki definisi titik limit, kita dapat mendefinisikan tutupan suatu himpunan seperti yang kita lakukan dalam ruang metrik.
Dengan kata lain, tutupan suatu himpunan terdiri atas elemen-elemen himpunan tersebut beserta titik-titik limitnya. Teorema berikut merupakan padanan teorema tentang tutupan dalam ruang metrik.
Teorema 13.8.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Tutupan \(A\) merupakan himpunan tertutup. Selain itu, tutupan \(A\) merupakan subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Untuk membuktikan bahwa \(\overline{A}\) merupakan himpunan tertutup, kita akan membuktikan bahwa \(\overline{A}\) memuat titik-titik limitnya. Misalkan \(x \in \overline{A}'\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(x \in \overline{A}\text{,}\) kita menggunakan pembuktian dengan kontradiksi dan mengandaikan bahwa \(x \notin \overline{A}\text{.}\) Hal ini mengakibatkan \(x \notin A\) dan \(x \notin A'\text{.}\) Karena \(x \notin A'\text{,}\) terdapat suatu lingkungan \(N\) dari \(x\) yang tidak memuat titik di \(A\) selain \(x\text{.}\) Namun, \(A \subseteq \overline{A}\) dan \(x \notin \overline{A}\text{,}\) sehingga \(N \cap A = \emptyset\text{.}\) Akibatnya, terdapat himpunan terbuka \(O \subseteq N\) yang memuat \(x\) dan memenuhi \(O \cap A = \emptyset\text{.}\) Karena \(x \in \overline{A}'\text{,}\) \(O \cap \overline{A}\) memuat suatu titik \(y\) di \(\overline{A}\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Karena \(O \cap A = \emptyset\text{,}\) haruslah \(y \in A'\text{.}\) Namun, karena \(O\) merupakan lingkungan dari \(y\text{,}\) himpunan \(O\) harus memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(y\text{.}\) Hal ini bertentangan dengan \(O \cap A = \emptyset\text{.}\) Jadi, \(x \in \overline{A}\) dan \(\overline{A}' \subseteq \overline{A}\text{.}\) Dengan demikian, \(\overline{A}\) merupakan himpunan tertutup.
Pembuktian bahwa \(\overline{A}\) merupakan subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\) diserahkan kepada kegiatan berikutnya.
Kegiatan 13.5.
Misalkan \((X,\tau)\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\)
(a)
Apa yang harus kita tunjukkan untuk membuktikan bahwa \(\overline{A}\) merupakan subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\text{?}\)
(b)
Andaikan \(C\) suatu subhimpunan tertutup dari \(X\) yang memuat \(A\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\overline{A} \subseteq C\text{,}\) mengapa cukup menunjukkan bahwa \(A' \subseteq C\text{?}\)
(c)
Jika \(x \in A'\text{,}\) apa yang dapat kita simpulkan tentang \(x\text{?}\)
(d)
Lengkapilah pembuktian bahwa \(\overline{A} \subseteq C\text{.}\)
Salah satu akibat Teorema 13.8 adalah sebagai berikut.
Corollary 13.9.
Suatu subhimpunan \(C\) dari ruang topologi \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(C = \overline{C}\text{.}\)
