Bagian Jarak dari Titik ke Himpunan
Metrik digunakan untuk menetapkan keterpisahan antarobjek. Ruang topologis dapat dikelompokkan ke dalam berbagai kategori berdasarkan seberapa baik jenis-jenis himpunan tertentu dapat dipisahkan. Kita telah mendefinisikan metrik sebagai fungsi yang mengukur jarak antartitik di suatu ruang metrik, dan dalam aktivitas ini kita memperluas gagasan tersebut untuk mengukur jarak antara sebuah titik dan suatu subhimpunan di ruang metrik. Akan tetapi, sebelum itu kita perlu menjawab dua pertanyaan. Pertanyaan pertama telah kita kemukakan dalam aktivitas pendahuluan. Kita akan mengasumsikan aksioma kelengkapan bagi bilangan real, yakni bahwa setiap subhimpunan tak kosong dari \(\R\) yang terbatas di bawah selalu mempunyai batas bawah terbesar. Pertanyaan kedua adalah apakah batas bawah terbesar itu unik.
Kegiatan 5.2.
Misalkan \(S\) suatu subhimpunan dari \(\R\) yang terbatas di bawah, dan asumsikan bahwa \(S\) mempunyai batas bawah terbesar. Dalam aktivitas ini, kita akan menunjukkan bahwa infimum \(S\) itu unik.
(a)
Metode apa yang dapat kita gunakan untuk membuktikan bahwa \(S\) hanya mempunyai satu batas bawah terbesar?
(b)
Misalkan \(m\) dan \(m'\) keduanya merupakan batas bawah terbesar untuk \(S\text{.}\) Mengapa \(m\) dan \(m'\) keduanya merupakan batas bawah untuk \(S\text{?}\)
(c)
Dua hal apa yang dinyatakan sifat kedua batas bawah terbesar mengenai hubungan antara \(m\) dan \(m'\text{?}\)
(d)
Mengapa batas bawah terbesar dari \(S\) harus unik?
Setelah meninjau keberadaan dan keunikan batas bawah terbesar, kini kita dapat mengatakan bahwa setiap subhimpunan tak kosong \(S\) dari \(\R\) yang terbatas di bawah mempunyai batas bawah terbesar yang unik. Kita menggunakan notasi \(\glb(S)\) (atau \(\inf(S)\) untuk infimum dari \(S\)) bagi batas bawah terbesar dari \(S\text{.}\) Terdapat pula batas atas terkecil (\(\lub(S)\text{,}\) atau \(\sup(S)\) untuk supremum ) bagi suatu subhimpunan tak kosong \(S\) dari \(\R\) yang terbatas di atas.
Sekarang kita dapat mendefinisikan secara formal jarak antara sebuah titik dan suatu subhimpunan di ruang metrik.
Definisi 5.3.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, misalkan \(x \in X\text{,}\) dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(X\text{.}\) Jarak dari \(x\) ke \(A\) adalah
\begin{equation*}
\inf\{d(x,a) \mid a \in A\}\text{.}
\end{equation*}
Kita menotasikan jarak dari \(x\) ke \(A\) dengan \(d(x,A)\text{.}\) Ketika menghitung jarak seperti ini, metrik yang mendasarinya harus dipahami dengan jelas.
Kegiatan 5.3.
Dalam aktivitas ini, kita menelaah beberapa fakta mengenai jarak antara sebuah titik dan suatu himpunan. Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, misalkan \(x \in X\text{,}\) dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan tak kosong dari \(X\text{.}\)
(a)
Mengapa \(d(x,A)\) pasti ada?
(b)
Jika \(d(x,A) = 0\text{,}\) apakah harus berlaku \(x \in A\text{?}\)
