Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan lanjutan

Sembilan belas panduan berikut mendampingi butir ke-19 sampai ke-37 pada latihan Bab 10, yakni panduan bernomor 62–80 dalam urutan seluruh bab. Kerjakan dahulu latihan sumber. Buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap hanya setelah Anda telah mencoba menyusun argumen sendiri. Pernyataan di bawah memparafrasakan sasaran latihan, sedangkan solusinya merupakan uraian asli yang ditulis untuk edisi ini dan tersedia sebagai komponen terpisah di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
Susun bukti bahwa setiap titik batas \(b\) dari \(A\) dapat didekati oleh satu barisan dari \(A\) dan satu barisan dari \(X\setminus A\text{.}\) Rubrik keberhasilan: pilihan suku harus sah untuk setiap indeks positif dan kedua bukti konvergensi harus dinyatakan.
Petunjuk.
Tahap 1: gunakan lingkungan \(B(b,1/n)\text{.}\) Tahap 2: sifat titik batas memastikan bahwa bola tersebut bertemu dengan kedua himpunan.
Jawaban.
Pilih \(a_n\in A\cap B(b,1/n)\) dan \(x_n\in(X\setminus A)\cap B(b,1/n)\text{.}\) Maka \(a_n\to b\) dan \(x_n\to b\text{.}\)
Solusi.
Karena \(b\) adalah titik batas, setiap lingkungan \(b\) memuat titik dari \(A\) dan titik dari komplemennya. Jadi, untuk setiap \(n\in\Z^+\text{,}\) pilihan \(a_n\in A\cap B(b,1/n)\) dan \(x_n\in(X\setminus A)\cap B(b,1/n)\) memang tersedia. Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka
\begin{equation*} d(a_n,b)\lt 1/n\leq1/N\lt\epsilon \quad\text{dan}\quad d(x_n,b)\lt1/n\leq1/N\lt\epsilon. \end{equation*}
Definisi konvergensi memberi \(a_n\to b\) dan \(x_n\to b\text{.}\)
Untuk subhimpunan tak kosong \(C\) dari ruang metrik \(X\text{,}\) buktikan bahwa \(C\) tertutup tepat ketika \(d(x,C)=0\) selalu memaksa \(x\in C\text{.}\)
Petunjuk.
Arah maju: titik di luar himpunan tertutup memiliki bola yang tidak bertemu \(C\text{.}\) Arah balik: dari \(d(x,C)=0\text{,}\) pilih titik \(c_n\in C\) dengan \(d(x,c_n)\lt1/n\text{.}\)
Jawaban.
Pernyataan benar. Himpunan tertutup menjaga setiap titik luar pada jarak positif; sebaliknya, setiap titik tutupan memiliki jarak nol dan karena itu harus berada di \(C\text{.}\)
Solusi.
Andaikan \(C\) tertutup dan \(x\notin C\text{.}\) Komplemen \(C\) terbuka, sehingga ada \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\cap C=\emptyset\text{.}\) Jadi \(d(x,c)\geq r\) untuk setiap \(c\in C\text{,}\) dan \(d(x,C)\geq r\gt0\text{.}\) Kontraposisinya memberi arah yang diminta.
Sekarang andaikan sifat jarak nol berlaku. Jika \(x\in\overline C\text{,}\) maka untuk setiap \(n\) terdapat \(c_n\in C\cap B(x,1/n)\text{.}\) Karena \(0\leq d(x,C)\leq d(x,c_n)\lt1/n\) untuk semua \(n\text{,}\) berlaku \(d(x,C)=0\text{,}\) sehingga \(x\in C\text{.}\) Maka \(\overline C\subseteq C\text{;}\) inklusi sebaliknya selalu benar, jadi \(C=\overline C\) dan \(C\) tertutup.
Buktikan bahwa setiap subhimpunan berhingga dari ruang metrik bersifat tertutup, termasuk kasus himpunan kosong.
Petunjuk.
Untuk titik \(x\) di luar himpunan berhingga tak kosong \(F\text{,}\) ambil minimum dari daftar berhingga jarak \(d(x,a)\) dengan \(a\in F\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Setiap titik luar memiliki jarak minimum positif dari himpunan, sehingga komplemennya terbuka.
Solusi.
Himpunan kosong tertutup karena komplemennya adalah \(X\text{.}\) Untuk \(F=\{a_1,\ldots,a_k\}\) tak kosong dan \(x\notin F\text{,}\) semua bilangan \(d(x,a_i)\) positif. Karena daftarnya berhingga, \(\delta=\min_i d(x,a_i)\gt0\text{.}\) Bola \(B(x,\delta/2)\) tidak memuat satu pun \(a_i\text{,}\) jadi berada di \(X\setminus F\text{.}\) Setiap titik komplemen mempunyai lingkungan di dalam komplemen; akibatnya \(X\setminus F\) terbuka dan \(F\) tertutup.
Buktikan pencirian: \(C\) tertutup jika dan hanya jika semua titik pada batas \(C\) termuat di dalam \(C\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan identitas \(\overline C=\Int(C)\mathbin{\dot\cup}\Bdry(C)\text{,}\) atau buktikan langsung bahwa titik di luar \(C\) yang bukan titik batas memiliki lingkungan yang tidak bertemu \(C\text{.}\)
Jawaban.
Pencirian benar. Jika \(C\) tertutup, batasnya berada dalam \(\overline C=C\text{;}\) jika batasnya berada dalam \(C\text{,}\) maka seluruh tutupan \(C\) juga berada dalam \(C\text{.}\)
Solusi.
Jika \(C\) tertutup, maka \(\overline C=C\text{.}\) Karena \(\Bdry(C)\subseteq\overline C\text{,}\) diperoleh \(\Bdry(C)\subseteq C\text{.}\) Sebaliknya, andaikan \(\Bdry(C)\subseteq C\text{.}\) Identitas yang telah dibuktikan dalam bab memberi
\begin{equation*} \overline C=\Int(C)\mathbin{\dot\cup}\Bdry(C). \end{equation*}
Kedua bagian ruas kanan termuat di \(C\text{,}\) sehingga \(\overline C\subseteq C\text{.}\) Karena selalu \(C\subseteq\overline C\text{,}\) berlaku \(C=\overline C\text{;}\) jadi \(C\) tertutup.
Untuk \(f:X\to Y\text{,}\) buktikan bahwa \(f\) kontinu tepat ketika \(f^{-1}(\Int B)\subseteq\Int(f^{-1}(B))\) bagi setiap \(B\subseteq Y\text{.}\)
Petunjuk.
Arah maju: \(\Int B\) terbuka dan termuat di \(B\text{.}\) Arah balik: terapkan syarat pada himpunan terbuka \(B=O\text{,}\) sehingga \(\Int O=O\text{.}\)
Jawaban.
Kriterium tersebut ekuivalen dengan pernyataan bahwa prapeta setiap himpunan terbuka bersifat terbuka.
Solusi.
Jika \(f\) kontinu, maka \(f^{-1}(\Int B)\) terbuka. Selain itu, dari \(\Int B\subseteq B\) diperoleh \(f^{-1}(\Int B)\subseteq f^{-1}(B)\text{.}\) Karena interior adalah himpunan terbuka terbesar di dalam suatu himpunan, \(f^{-1}(\Int B)\subseteq\Int(f^{-1}(B))\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan inklusi berlaku untuk semua \(B\text{.}\) Untuk himpunan terbuka \(O\subseteq Y\text{,}\) kita mempunyai \(\Int O=O\text{,}\) sehingga \(f^{-1}(O)\subseteq\Int(f^{-1}(O))\text{.}\) Inklusi sebaliknya selalu benar; jadi \(f^{-1}(O)=\Int(f^{-1}(O))\) terbuka. Prapeta setiap himpunan terbuka bersifat terbuka, maka \(f\) kontinu.
Berikan fungsi kontinu dan subhimpunan \(B\) yang membuat inklusi pada panduan sebelumnya ketat.
Petunjuk.
Cobalah fungsi konstan \(f:\R\to\R\) dan himpunan satu titik yang memuat nilai konstannya.
Jawaban.
Ambil \(f(x)=0\) dan \(B=\{0\}\text{.}\) Ruas kiri kosong, sedangkan ruas kanan adalah \(\R\text{.}\)
Solusi.
Fungsi konstan \(f:\R\to\R\text{,}\) \(f(x)=0\text{,}\) kontinu. Untuk \(B=\{0\}\) dalam metrik Euklides, \(\Int(B)=\emptyset\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*} f^{-1}(\Int B)=f^{-1}(\emptyset)=\emptyset. \end{equation*}
Namun \(f^{-1}(B)=\R\text{,}\) sehingga \(\Int(f^{-1}(B))=\R\text{.}\) Jadi inklusinya benar-benar ketat: \(\emptyset\subsetneq\R\text{.}\)
Berikan contoh konkret ketika inklusi \(f^{-1}(\Int B)\subseteq\Int(f^{-1}(B))\) menjadi kesamaan.
Petunjuk.
Gunakan fungsi identitas; prapeta terhadap fungsi ini tidak mengubah himpunan.
Jawaban.
Untuk \(f=\operatorname{id}_{\R}\) dan, misalnya, \(B=[0,1]\text{,}\) kedua ruas sama dengan \((0,1)\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(f:\R\to\R\) sebagai fungsi identitas dan \(B=[0,1]\text{.}\) Fungsi ini kontinu, \(f^{-1}(B)=B\text{,}\) dan \(f^{-1}(\Int B)=\Int B\text{.}\) Karena \(\Int[0,1]=(0,1)\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*} f^{-1}(\Int B)=(0,1)=\Int(f^{-1}(B)). \end{equation*}
Bahkan fungsi identitas memberikan kesamaan tersebut untuk setiap subhimpunan \(B\text{.}\)
Buktikan bahwa setiap titik batas \(b\) dari \(A\) merupakan titik limit atau titik terasing dari \(A\text{.}\)
Petunjuk.
Pisahkan kasus \(b\notin A\) dan \(b\in A\text{.}\) Pada kasus kedua, gunakan langsung negasi definisi titik terasing.
Jawaban.
Jika \(b\notin A\text{,}\) setiap pertemuan lingkungan dengan \(A\) otomatis berbeda dari \(b\text{,}\) jadi \(b\) titik limit. Jika \(b\in A\text{,}\) titik itu terasing atau, jika tidak, merupakan titik limit.
Solusi.
Misalkan \(b\in\Bdry(A)\text{.}\) Jika \(b\notin A\text{,}\) setiap lingkungan \(b\) bertemu \(A\text{,}\) dan setiap titik pertemuan berbeda dari \(b\text{.}\) Maka \(b\) adalah titik limit. Jika \(b\in A\) dan \(b\) terasing, kesimpulan sudah diperoleh. Jika \(b\in A\) tetapi tidak terasing, tidak ada lingkungan \(N\) dengan \(N\cap A=\{b\}\text{.}\) Jadi setiap lingkungan \(b\) memuat titik \(A\) selain \(b\text{,}\) sehingga \(b\) adalah titik limit. Ketiga kemungkinan menuntaskan bukti.
Tentukan apakah \(\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B\) selalu berlaku, lalu buktikan keputusan Anda.
Petunjuk.
Gunakan monotonisitas tutupan untuk satu inklusi. Untuk inklusi lain, perhatikan bahwa gabungan dua himpunan tertutup tetap tertutup.
Jawaban.
Ya, kesamaan selalu berlaku untuk gabungan dua subhimpunan.
Solusi.
Dari \(A\subseteq A\cup B\) dan \(B\subseteq A\cup B\text{,}\) monotonisitas memberi \(\overline A\cup\overline B\subseteq\overline{A\cup B}\text{.}\) Sebaliknya, \(\overline A\cup\overline B\) tertutup karena merupakan gabungan berhingga dari himpunan tertutup, dan himpunan itu memuat \(A\cup B\text{.}\) Tutupan adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat himpunan asal, sehingga \(\overline{A\cup B}\subseteq\overline A\cup\overline B\text{.}\) Kedua inklusi memberi kesamaan.
Uji apakah \(\overline{A\cap B}=\overline A\cap\overline B\) selalu benar. Jika tidak, berikan contoh penyangkal dan nyatakan inklusi yang tetap berlaku.
Petunjuk.
Ambil dua interval terbuka yang saling lepas tetapi kedua tutupannya memuat titik \(0\text{.}\)
Jawaban.
Tidak. Selalu \(\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B\text{,}\) tetapi inklusi dapat ketat.
Solusi.
Karena \(A\cap B\subseteq A\) dan \(A\cap B\subseteq B\text{,}\) monotonisitas tutupan memberikan \(\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B\text{.}\) Untuk melihat bahwa kesamaan dapat gagal, di \(\R\) ambil \(A=(-\infty,0)\) dan \(B=(0,\infty)\text{.}\) Maka \(A\cap B=\emptyset\text{,}\) sehingga \(\overline{A\cap B}=\emptyset\text{.}\) Akan tetapi, \(\overline A=(-\infty,0]\) dan \(\overline B=[0,\infty)\text{,}\) jadi \(\overline A\cap\overline B=\{0\}\text{.}\)
Untuk himpunan tertutup tak kosong \(C\) dan \(x\notin C\text{,}\) buktikan bahwa \(d(x,C)\gt0\text{.}\)
Petunjuk.
Komplemen \(C\) terbuka. Ambil sebuah bola berpusat di \(x\) yang seluruhnya berada dalam komplemen.
Jawaban.
Ada \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\cap C=\emptyset\text{;}\) akibatnya \(d(x,C)\geq r\gt0\text{.}\)
Solusi.
Karena \(C\) tertutup, \(X\setminus C\) terbuka. Dari \(x\in X\setminus C\text{,}\) terdapat \(r\gt0\) sedemikian sehingga \(B(x,r)\subseteq X\setminus C\text{.}\) Jadi tidak ada \(c\in C\) dengan \(d(x,c)\lt r\text{;}\) dengan kata lain, \(d(x,c)\geq r\) untuk setiap \(c\in C\text{.}\) Mengambil infimum menghasilkan \(d(x,C)=\inf_{c\in C}d(x,c)\geq r\gt0\text{.}\)
Misalkan setiap titik \(x\in X\) mempunyai bola yang bertemu hanya berhingga banyak anggota keluarga tertutup \(\{C_\alpha\}_{\alpha\in I}\text{.}\) Buktikan bahwa gabungan seluruh keluarga tersebut tertutup.
Petunjuk.
Untuk \(x\) di luar gabungan, pilih bola yang hanya melihat \(C_{\alpha_1},\ldots,C_{\alpha_k}\text{.}\) Gunakan jarak positif dari \(x\) ke masing-masing himpunan berhingga itu.
Jawaban.
Benar. Di sekitar setiap titik luar, hanya berhingga banyak himpunan perlu dihindari; radius minimum positif menghasilkan bola yang menghindari semuanya.
Solusi.
Tetapkan \(x\notin\bigcup_{\alpha\in I}C_\alpha\text{.}\) Pilih \(\epsilon_x\gt0\) sehingga \(B(x,\epsilon_x)\) bertemu hanya dengan, katakanlah, \(C_{\alpha_1},\ldots,C_{\alpha_k}\text{.}\) Karena \(x\) tidak berada dalam satu pun himpunan itu dan masing-masing tertutup, panduan 72 memberi \(\delta_i=d(x,C_{\alpha_i})\gt0\text{.}\) Jika \(k=0\text{,}\) bola awal sudah tidak bertemu gabungan. Jika \(k\gt0\text{,}\) ambil
\begin{equation*} r=\frac12\min\{\epsilon_x,\delta_1,\ldots,\delta_k\}\gt0. \end{equation*}
Bola \(B(x,r)\) berada dalam bola awal, sehingga tidak dapat bertemu anggota keluarga selain daftar berhingga tersebut; pilihan \(r\lt\delta_i\) juga membuatnya tidak bertemu satu pun anggota dalam daftar. Jadi \(B(x,r)\) terletak di komplemen gabungan. Komplemen itu terbuka, maka gabungannya tertutup.
Rumuskan dan buktikan syarat lokal yang menjamin irisan tak hingga dari keluarga himpunan terbuka tetap terbuka.
Petunjuk.
Terapkan hasil gabungan tertutup pada keluarga komplemen \(C_\alpha=X\setminus O_\alpha\text{,}\) lalu gunakan Hukum De Morgan.
Jawaban.
Jika keluarga komplemen \(\{X\setminus O_\alpha\}\) lokal berhingga, maka \(\bigcap_\alpha O_\alpha\) terbuka.
Solusi.
Pernyataan yang tepat adalah: jika setiap \(O_\alpha\) terbuka dan, untuk setiap \(x\in X\text{,}\) ada lingkungan yang bertemu hanya berhingga banyak komplemen \(X\setminus O_\alpha\text{,}\) maka \(\bigcap_\alpha O_\alpha\) terbuka. Memang, \(C_\alpha=X\setminus O_\alpha\) tertutup dan keluarga \(\{C_\alpha\}\) lokal berhingga. Panduan 73 menyatakan bahwa \(\bigcup_\alpha C_\alpha\) tertutup. Hukum De Morgan memberi
\begin{equation*} X\setminus\bigcup_\alpha C_\alpha =X\setminus\bigcup_\alpha(X\setminus O_\alpha) =\bigcap_\alpha O_\alpha. \end{equation*}
Ruas kiri adalah komplemen suatu himpunan tertutup, sehingga irisan pada ruas kanan terbuka.
Putuskan apakah \(\{x\}\) selalu tertutup dalam setiap ruang metrik dan berikan alasan yang tidak bergantung pada gambar.
Petunjuk.
Untuk \(y\neq x\text{,}\) gunakan radius yang lebih kecil daripada \(d(x,y)\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Setiap \(y\in X\setminus\{x\}\) memiliki bola yang tidak memuat \(x\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(y\in X\setminus\{x\}\text{.}\) Karena metrik memisahkan titik, \(d(x,y)\gt0\text{.}\) Dengan \(r=d(x,y)/2\text{,}\) titik \(x\) tidak dapat berada di \(B(y,r)\text{,}\) sebab jaraknya dari \(y\) adalah \(2r\text{.}\) Jadi \(B(y,r)\subseteq X\setminus\{x\}\text{.}\) Komplemen \(\{x\}\) terbuka, maka \(\{x\}\) tertutup.
Tentukan apakah \(\emptyset\) dan \(\R\) merupakan satu-satunya subhimpunan yang sekaligus terbuka dan tertutup dalam metrik Euklides.
Petunjuk.
Andaikan \(A\) tak kosong dan tidak sama dengan \(\R\text{.}\) Pilih \(a\in A\) dan \(b\notin A\text{,}\) lalu gunakan sifat supremum pada bagian \(A\) di antara kedua titik tersebut.
Jawaban.
Benar. Tidak ada pemisahan garis real menjadi dua himpunan terbuka tak kosong yang saling komplemen.
Solusi.
Jelas \(\emptyset\) dan \(\R\) keduanya terbuka dan tertutup. Andaikan ada \(A\) lain dengan kedua sifat itu. Pilih \(a\in A\) dan \(b\notin A\text{.}\) Setelah menukar arah garis bila perlu, kita dapat menganggap \(a\lt b\text{.}\) Himpunan \(S=A\cap[a,b]\) tak kosong dan terbatas atas; tulis \(s=\sup S\text{.}\) Karena komplemen \(A\) terbuka dan memuat \(b\text{,}\) ada interval di sekitar \(b\) yang tidak bertemu \(A\text{,}\) sehingga \(s\lt b\text{.}\) Karena \(A\) terbuka dan memuat \(a\text{,}\) ada titik \(A\) di kanan \(a\text{,}\) sehingga \(s\gt a\text{.}\)
Jika \(s\in A\text{,}\) keterbukaan \(A\) memberi titik \(A\cap[a,b]\) yang lebih besar dari \(s\text{,}\) bertentangan dengan sifat batas atas. Jika \(s\notin A\text{,}\) keterbukaan komplemen memberi interval di sekitar \(s\) tanpa titik \(A\text{;}\) tetapi definisi supremum menuntut titik \(S\) sedekat apa pun di bawah \(s\text{.}\) Keduanya mustahil. Jadi tidak ada \(A\) seperti itu.
Untuk \(X=\{1,3,5\}\) dengan \(d(x,y)=xy-1\pmod 8\text{,}\) tentukan apakah \(\{1,3\}\) sekaligus terbuka dan tertutup.
Petunjuk.
Hitung jarak pasangan berbeda: \(d(1,3)\text{,}\) \(d(1,5)\text{,}\) dan \(d(3,5)\text{.}\) Gunakan bola kecil untuk mengisolasi setiap titik.
Jawaban.
Benar. Topologi metrik pada himpunan berhingga ini diskret, sehingga setiap subhimpunan terbuka dan tertutup.
Solusi.
Perhitungan modulo \(8\) memberi \(d(1,3)=2\text{,}\) \(d(1,5)=4\text{,}\) dan \(d(3,5)=6\text{.}\) Jadi jarak positif terkecil antara dua titik berbeda adalah \(2\text{.}\) Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) bola \(B(x,1)\) sama dengan \(\{x\}\text{.}\) Dengan demikian semua himpunan satu titik terbuka, sehingga setiap subhimpunan adalah gabungan himpunan-himpunan satu titik dan karenanya terbuka. Komplemen setiap subhimpunan juga terbuka, jadi setiap subhimpunan tertutup. Secara khusus, \(\{1,3\}\) terbuka dan komplemennya \(\{5\}\) terbuka; maka \(\{1,3\}\) juga tertutup.
Uji klaim \(\Int(\overline A)=A\) untuk setiap subhimpunan ruang metrik dan, jika salah, berikan contoh yang tegas.
Petunjuk.
Gunakan himpunan rapat yang bukan seluruh garis real, misalnya \(\Q\subset\R\text{.}\)
Jawaban.
Salah. Untuk \(A=\Q\) dalam \(\R\text{,}\) ruas kiri adalah \(\R\text{,}\) bukan \(\Q\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(A=\Q\) sebagai subhimpunan \((\R,d_E)\text{.}\) Setiap interval terbuka memuat bilangan rasional, jadi \(\Q\) rapat di \(\R\) dan \(\overline\Q=\R\text{.}\) Karena \(\R\) terbuka dalam dirinya sendiri, \(\Int(\overline\Q)=\Int(\R)=\R\text{.}\) Namun \(\Q\neq\R\text{.}\) Satu contoh ini cukup menyangkal klaim universal.
Tentukan apakah \(\Bdry(A)\) tertutup untuk setiap \(A\subseteq X\) dan buktikan keputusan Anda.
Petunjuk.
Gunakan rumus \(\Bdry(A)=\overline A\cap\overline{X\setminus A}\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Batas adalah irisan dua himpunan tertutup.
Solusi.
Bab ini telah membuktikan
\begin{equation*} \Bdry(A)=\overline A\cap\overline{X\setminus A}. \end{equation*}
Tutupan setiap himpunan bersifat tertutup, sehingga \(\overline A\) dan \(\overline{X\setminus A}\) tertutup. Irisan berhingga dari himpunan tertutup tetap tertutup. Oleh karena itu \(\Bdry(A)\) tertutup untuk setiap \(A\subseteq X\text{.}\)
Buktikan bahwa \(A\subseteq A'\cup A^i\text{,}\) dengan \(A'\) himpunan titik limit dan \(A^i\) himpunan titik terasing dari \(A\text{.}\)
Petunjuk.
Ambil sembarang \(a\in A\) dan gunakan dikotomi: \(a\) terasing atau tidak terasing.
Jawaban.
Benar. Titik \(A\) yang tidak terasing memenuhi definisi titik limit.
Solusi.
Tetapkan \(a\in A\text{.}\) Jika ada lingkungan \(N\) dari \(a\) dengan \(N\cap A=\{a\}\text{,}\) maka \(a\in A^i\text{.}\) Jika tidak ada lingkungan seperti itu, setiap lingkungan \(a\) memuat suatu titik dari \(A\) yang berbeda dari \(a\text{.}\) Ini tepat definisi bahwa \(a\in A'\text{.}\) Jadi dalam kedua kasus \(a\in A'\cup A^i\text{.}\) Karena \(a\) dipilih sembarang, \(A\subseteq A'\cup A^i\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>