Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Bilangan real memiliki suatu sifat khusus yang, antara lain, memungkinkan kita mendefinisikan jarak antara suatu titik dan suatu himpunan di ruang metrik. Sifat tersebut juga memungkinkan kita mendefinisikan jarak antarsubhimpunan pada jenis ruang metrik tertentu, sehingga terbentuk suatu ruang metrik yang sama sekali baru, yang unsur-unsurnya adalah subhimpunan dari ruang metrik semula. Dalam aktivitas ini, kita akan menelaah sifat bilangan real tersebut.

Hal ini mungkin mengarahkan kita untuk mengusulkan bahwa jarak dari suatu titik \(x\) ke suatu himpunan \(A\text{,}\) yang dinotasikan dengan \(d_E(x,A)\text{,}\) adalah jarak minimum dari titik tersebut ke sebarang titik di dalam himpunan itu, yaitu \(d_E(x,A) = \min\{d_E(x,a) \mid a \in A\}\text{.}\)

Bagaimana jika kita mengubah himpunan \(A\) menjadi interval terbuka \((-1,0)\text{?}\) Lalu, berapakah seharusnya \(d_E(x,A)\text{,}\) atau apakah jarak ini seharusnya ada? Jika kita memandang jarak antara suatu titik dan suatu himpunan sebagai ukuran seberapa jauh kita harus bergerak dari titik tersebut hingga mencapai himpunan itu, maka dalam kasus \(x=1\) dan \(A=(-1,0)\text{,}\) segera setelah kita menempuh jarak lebih dari 1 dari \(x\) ke arah \(A\text{,}\) kita mencapai himpunan \(A\text{.}\) Jadi, secara intuitif kita dapat mengatakan bahwa \(d_E(x,(-1,0)) = 1\) juga. Namun, kita tidak dapat mendefinisikan jarak ini sebagai jarak dari \(x\) ke suatu titik di \(A\) karena \(0 \notin A\text{.}\) Kita memerlukan cara lain untuk merumuskan gagasan jarak dari suatu titik ke suatu himpunan.

Dalam kasus seperti ini, dengan \(x=1\) dan \(A = (-1,0)\text{,}\) kita dapat menelaah himpunan \(T=\{d_E(x,a) \mid a \in A\}\) dan mencermati beberapa fakta tentang himpunan tersebut. Sebagai contoh, himpunan \(T\) merupakan subhimpunan dari bilangan real tak negatif. Selain itu, dalam contoh ini tidak ada bilangan di \(T\) yang lebih kecil dari 1. Karena sifat ini, kita akan menyebut bilangan 1 sebagai batas bawah untuk \(T\text{.}\) Secara umum,

Jika suatu subhimpunan \(S\) dari \(\R\) memiliki batas bawah, kita mengatakan bahwa \(S\) terbatas di bawah. Jadi, himpunan \(T = \{d_E(1,a) \mid a \in (-1,0)\}\) terbatas di bawah oleh 1. Himpunan \(T\) juga terbatas di bawah oleh 0.5 dan 0. Bahkan, setiap bilangan yang lebih kecil dari 1 merupakan batas bawah untuk \(T\text{.}\) Namun, gagasan pentingnya adalah bahwa tidak ada bilangan yang lebih besar dari 1 yang merupakan batas bawah untuk \(T\text{.}\) Karena itu, kita menyebut 1 sebagai batas bawah terbesar dari \(T\text{.}\) Secara umum,

Batas bawah terbesar juga disebut infimum. Sekarang kita dapat menggunakan gagasan batas bawah terbesar ini untuk mendefinisikan jarak antara \(1\) dan \(A = (-1,0)\) sebagai batas bawah terbesar dari himpunan \(\{d_E(1,a) \mid a \in (-1,0)\}\text{.}\) Namun, ada beberapa pertanyaan yang perlu kita jawab sebelum dapat melakukannya. Salah satunya adalah apakah setiap subhimpunan tak kosong dari \(\R\) yang terbatas di bawah memiliki infimum. Jawaban atas pertanyaan ini adalah ya, dan kita akan menerima hasil ini sebagai suatu aksioma dalam sistem bilangan real (yang sering disebut aksioma kelengkapan).