Bagian Pemeriksaan eksplorasi dan aktivitas
Setelah menyelesaikan eksplorasi pembuka pada bagian Pendahuluan, klasifikasikan keempat fungsi yang memakai aturan \(x\mapsto x^2+1\text{.}\) Nyatakan pula fungsi mana yang merupakan pembatasan dan fungsi mana yang merupakan perluasannya. Rubrik lengkap: domain dan kodomain harus disebutkan; kegagalan injektivitas harus disertai dua masukan; kegagalan surjektivitas harus disertai satu unsur kodomain tanpa prapeta; setiap klaim positif harus dibuktikan.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Bandingkan \(2\) dan \(-2\text{,}\) lalu selesaikan \(x^2+1=y\text{.}\)
Petunjuk 2. Periksa secara terpisah apakah \(0\) termasuk domain dan apakah \(1\) termasuk daerah hasil.
\(f:\R\to\R\) bukan injeksi maupun surjeksi; \(h:\R^+\to\R\) injektif tetapi bukan surjektif; \(F:\R\to[1,\infty)\) surjektif tetapi bukan injektif; dan \(g:[0,\infty)\to[1,\infty)\) bijektif. Fungsi \(h\) adalah pembatasan \(f\) pada \(\R^+\text{,}\) dan \(f\) merupakan perluasan \(h\text{.}\) Selain itu, \(g=F|_{[0,\infty)}\text{,}\) sehingga \(g\) merupakan pembatasan \(F\) dan \(F\) merupakan perluasan \(g\text{.}\)
Karena \(f(2)=f(-2)=5\text{,}\) fungsi pertama dan \(F\) tidak injektif. Daerah hasil aturan tersebut pada \(\R\) ialah \([1,\infty)\text{,}\) sehingga \(f\) tidak mencapai, misalnya, \(0\text{,}\) sedangkan \(F\) mencapai setiap \(y\geq1\) melalui \(x=\sqrt{y-1}\text{.}\) Pada domain positif ketat, \(x\mapsto x^2+1\) naik tegas dan daerah hasilnya \((1,\infty)\text{;}\) karena itu \(h\) injektif tetapi tidak mencapai \(1\) ataupun unsur kodomain di bawahnya. Pada domain tak negatif, akar \(x=\sqrt{y-1}\) ada dan tunggal untuk setiap \(y\geq1\text{,}\) sehingga \(g\) bijektif. Menurut definisi, kesamaan aturan pada subdomain memberi \(h=f|_{\R^+}\text{,}\) sehingga \(h\) pembatasan \(f\) dan \(f\) perluasan \(h\text{.}\) Demikian pula, aturan \(F\) dan \(g\) sama pada subdomain \([0,\infty)\text{,}\) jadi \(g=F|_{[0,\infty)}\text{:}\) \(g\) adalah pembatasan \(F\) dan \(F\) adalah perluasan \(g\text{.}\) Klasifikasi berubah karena domain dan kodomain merupakan bagian dari data fungsi, bukan hiasan pada rumus.
Pemeriksaan B.2. Pemeriksaan 2: komposisi pada himpunan berhingga.
Periksa seluruh lima tugas pada aktivitas Kegiatan 2.2. Rubrik: tulis tabel nilai kedua komposit, lalu dukung setiap klasifikasi dengan tabrakan masukan, unsur kodomain yang hilang, atau pemeriksaan menyeluruh.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Terapkan \(f\) atau \(g\) dahulu, baru \(h\text{.}\)
Petunjuk 2. Pada himpunan berhingga, bandingkan daftar keluaran dengan seluruh kodomain.
\(h\circ f\) memetakan \(1,2,3\) berturut-turut ke \(\alpha,\beta,\gamma\text{;}\) \(h\circ g\) memetakannya ke \(\alpha,\beta,\alpha\text{.}\) Fungsi \(f\) injektif tetapi tidak surjektif, \(g\) bukan keduanya, dan \(h\) surjektif tetapi tidak injektif. Komposit pertama bijektif; komposit kedua bukan injektif maupun surjektif.
Dari tabel sumber, \(h(f(1))=h(b)=\alpha\text{,}\) \(h(f(2))=h(c)=\beta\text{,}\) dan \(h(f(3))=h(a)=\gamma\text{.}\) Ketiga keluaran berbeda dan memenuhi \(C\text{.}\) Sebaliknya, \(h(g(1))=h(d)=\alpha\text{,}\) \(h(g(2))=h(c)=\beta\text{,}\) dan \(h(g(3))=h(d)=\alpha\text{;}\) masukan \(1\) dan \(3\) bertabrakan dan \(\gamma\) tidak tercapai. Keluaran \(f\) ialah \(\{a,b,c\}\text{,}\) keluaran \(g\) ialah \(\{c,d\}\text{,}\) dan keluaran \(h\) ialah seluruh \(C\text{,}\) dengan \(h(b)=h(d)\text{.}\) Fakta-fakta ini memberi semua klasifikasi pada jawaban.
Pemeriksaan B.3. Pemeriksaan 3: membangun komposit.
Untuk aktivitas Kegiatan 2.3, berikan fungsi konkret pada ketiga bagian dan jelaskan sifat kompositnya. Rubrik: setiap unsur domain harus mempunyai tepat satu citra, kodomain harus benar, dan alasan tidak boleh hanya mengandalkan gambar.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Gunakan korespondensi \(a\mapsto p\text{,}\) \(b\mapsto q\text{,}\) \(c\mapsto r\) sebagai fungsi pertama.
Petunjuk 2. Untuk surjeksi ke \(D=\{u,v\}\text{,}\) salah satu nilai boleh dipakai dua kali.
Contoh yang sah: gunakan \(f(a)=p,f(b)=q,f(c)=r\text{.}\) Untuk kasus injektif, ambil \(g(p)=u,g(q)=v,g(r)=w\text{.}\) Untuk kasus surjektif ke \(D\text{,}\) ambil \(g(p)=u,g(q)=v,g(r)=u\text{.}\) Untuk kasus bijektif ke \(A\text{,}\) ambil \(g(p)=a,g(q)=b,g(r)=c\text{.}\) Kompositnya berturut-turut injektif, surjektif, dan bijektif.
Fungsi \(f\) yang dipilih adalah bijeksi \(A\to B\text{,}\) jadi khususnya injektif dan surjektif. Pada pilihan pertama, keluaran komposit adalah \(u,v,w\text{,}\) semuanya berbeda, maka komposit injektif. Pada pilihan kedua, keluaran komposit memuat \(u\) dan \(v\text{,}\) yaitu seluruh \(D\text{,}\) maka komposit surjektif. Pada pilihan terakhir, komposit memetakan \(a,b,c\) masing-masing ke dirinya sendiri; fungsi identitas ini bijektif.
Pemeriksaan B.4. Pemeriksaan 4: teorema komposisi.
Lengkapi aktivitas pembuktian sesudah Teorema 2.5. Rubrik: bukti injektivitas dimulai dari kesamaan keluaran, bukti surjektivitas dimulai dari unsur sembarang kodomain, dan bagian bijektif menyebut kedua hasil.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Dari \(g(f(a_1))=g(f(a_2))\text{,}\) gunakan injektivitas dalam urutan terbalik.
Petunjuk 2. Untuk \(c\in C\text{,}\) pilih dahulu prapeta di \(B\text{,}\) lalu prapetanya di \(A\text{.}\)
Komposit dua injeksi adalah injeksi; komposit dua surjeksi adalah surjeksi; karena bijeksi berarti kedua sifat tersebut, komposit dua bijeksi adalah bijeksi.
Andaikan \((g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2)\text{.}\) Injektivitas \(g\) memberi \(f(a_1)=f(a_2)\text{,}\) lalu injektivitas \(f\) memberi \(a_1=a_2\text{.}\) Untuk surjektivitas, ambil \(c\in C\text{.}\) Karena \(g\) surjektif, ada \(b\in B\) dengan \(g(b)=c\text{;}\) karena \(f\) surjektif, ada \(a\in A\) dengan \(f(a)=b\text{.}\) Maka \((g\circ f)(a)=c\text{.}\) Jika kedua fungsi bijektif, kedua argumen berlaku, sehingga komposit sekaligus injektif dan surjektif.
Pemeriksaan B.5. Pemeriksaan 5: kapan relasi invers menjadi fungsi.
Periksa aktivitas Kegiatan 2.5. Rubrik: tulis setiap relasi invers sebagai pasangan terurut; uji syarat eksistensi bagi setiap unsur domain baru dan syarat ketunggalan keluarannya; simpulkan syarat umum.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Balik urutan setiap pasangan pada tabel fungsi.
Petunjuk 2. Surjektivitas fungsi asal memberi eksistensi pada invers; injektivitas memberi ketunggalan.
\(f^{-1}=\{(r,a),(p,b),(q,c)\}\) merupakan fungsi \(C\to A\text{.}\) \(g^{-1}=\{(p,a),(q,b),(p,c)\}\) dan \(h^{-1}=\{(p,a),(q,b),(r,c),(q,d)\}\) bukan fungsi dengan domain \(C\text{.}\) Secara umum, invers \(F:S\to T\) merupakan fungsi \(T\to S\) tepat ketika \(F\) bijektif.
Pada \(f^{-1}\text{,}\) setiap unsur \(C\) muncul sekali sebagai koordinat pertama, sehingga eksistensi dan ketunggalan terpenuhi. Pada \(g^{-1}\text{,}\) \(p\) mempunyai dua keluaran dan \(r\) tidak mempunyai keluaran. Pada \(h^{-1}\text{,}\) \(q\) mempunyai dua keluaran. Untuk relasi invers umum, setiap \(t\in T\) muncul sebagai koordinat pertama sedikitnya sekali tepat ketika \(F\) surjektif, dan paling banyak sekali tepat ketika \(F\) injektif. Kedua syarat fungsi berlaku tepat ketika \(F\) bijektif.
Pemeriksaan B.6. Pemeriksaan 6: bukti bikondisional invers.
Lengkapi aktivitas pembuktian sesudah Teorema 2.7. Rubrik: kedua arah bikondisional harus dibuktikan; pada tiap arah, pisahkan eksistensi dan ketunggalan, atau surjektivitas dan injektivitas.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Jika \(f\) bijektif, gunakan surjektivitas untuk menemukan \(a\) dan injektivitas untuk membuktikan bahwa \(a\) tunggal.
Petunjuk 2. Jika \(f^{-1}:B\to A\) fungsi, setiap \(b\) harus mempunyai tepat satu pasangan balik.
\(f^{-1}\) merupakan fungsi \(B\to A\) jika dan hanya jika \(f:A\to B\) bijektif.
Jika \(f\) bijektif dan \(b\in B\text{,}\) surjektivitas memberi suatu \(a\in A\) dengan \(f(a)=b\text{,}\) sehingga \((b,a)\in f^{-1}\text{.}\) Jika juga \((b,a')\in f^{-1}\text{,}\) maka \(f(a)=f(a')\text{;}\) injektivitas memberi \(a=a'\text{.}\) Jadi invers adalah fungsi. Sebaliknya, andaikan invers adalah fungsi pada seluruh \(B\text{.}\) Untuk setiap \(b\in B\text{,}\) adanya nilai \(f^{-1}(b)=a\) memberi \(f(a)=b\text{,}\) jadi \(f\) surjektif. Jika \(f(a_1)=f(a_2)=b\text{,}\) relasi invers memuat \((b,a_1)\) dan \((b,a_2)\text{;}\) ketunggalan nilai fungsi invers memberi \(a_1=a_2\text{.}\) Jadi \(f\) injektif dan karenanya bijektif.
Pemeriksaan B.7. Pemeriksaan 7: invers komposit.
Selesaikan aktivitas Kegiatan 2.7. Rubrik: periksa tipe setiap komposit, gunakan unsur sembarang \(c\in C\text{,}\) dan buktikan kesamaan fungsi pada seluruh domain, bukan pada satu contoh.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Untuk membatalkan \(g\circ f\text{,}\) tindakan terakhir \(g\) harus dibalik lebih dahulu.
Petunjuk 2. Tuliskan \(c=g(b)\) dan \(b=f(a)\text{,}\) lalu evaluasi kedua ruas pada \(c\text{.}\)
\(g\circ f\) bijektif dan \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}:C\to A\text{.}\)
Komposit bijeksi adalah bijeksi, jadi inversnya ada. Ambil \(c\in C\text{.}\) Karena \(g\) dan \(f\) bijektif, terdapat unsur tunggal \(b\in B\) dan \(a\in A\) dengan \(g(b)=c\) dan \(f(a)=b\text{.}\) Maka \((g\circ f)(a)=c\text{,}\) sehingga \((g\circ f)^{-1}(c)=a\text{.}\) Di sisi lain, \(g^{-1}(c)=b\) dan \(f^{-1}(b)=a\text{,}\) sehingga \((f^{-1}\circ g^{-1})(c)=a\text{.}\) Kesamaan berlaku untuk setiap \(c\text{,}\) jadi kedua fungsi sama. Urutan sebaliknya umumnya bahkan tidak bertipe benar.
Pemeriksaan B.8. Pemeriksaan 8: prapeta komposit.
Untuk aktivitas terakhir pada bagian Fungsi dan Himpunan, tentukan hubungan antara dua prapeta yang diberikan dan buktikan dengan argumen unsur. Rubrik: semua ekuivalensi harus menyebut keanggotaan pada \(C\text{;}\) jangan berasumsi bahwa \(f\) atau \(g\) invertibel.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Petunjuk 1. Mulai dengan \(x\in(g\circ f)^{-1}(C)\text{.}\)
Petunjuk 2. Buka definisi prapeta dua kali.
\((g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\text{.}\)
Untuk \(x\in X\text{,}\) \(x\in(g\circ f)^{-1}(C)\) jika dan hanya jika \(g(f(x))\in C\text{.}\) Ini setara dengan \(f(x)\in g^{-1}(C)\text{,}\) yang setara dengan \(x\in f^{-1}(g^{-1}(C))\text{.}\) Rantai ekuivalensi berlaku bagi setiap \(x\in X\text{,}\) sehingga kedua himpunan sama. Simbol invers di sini menyatakan prapeta himpunan dan tidak memerlukan bijektivitas.
