Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan Belajar Mandiri: Ruang Identifikasi dan Faktorisasi

Delapan panduan ini melanjutkan pendamping Bab 16: satu kuosien berhingga, empat identifikasi geometris, dan tiga langkah pembuktian teorema faktorisasi melalui kelas ekuivalensi. Cobalah membangun argumen atau gambarnya sendiri sebelum membuka setiap tahap bantuan.
Komponen pendamping ini ditulis secara terpisah di bawah lisensi CC BY 4.0 dan bukan materi resmi GVSU.
Misalkan \(X=\{a,b,c,d,e,f\}\) dengan topologi
\begin{equation*} \tau=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,b,c\}, \{a,b,c,d\},X\}. \end{equation*}
Partisikan \(X\) menjadi kelas \(A=\{a,b,c\}\) dan \(B=\{d,e,f\}\text{,}\) letakkan \(X^*=\{A,B\}\text{,}\) dan definisikan proyeksi \(p:X\to X^*\) dengan \(p(x)=A\) untuk \(x\in A\) serta \(p(x)=B\) untuk \(x\in B\text{.}\) Tentukan topologi kuosien pada \(X^*\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Daftarkan keempat subhimpunan dari \(X^*=\{A,B\}\text{.}\)
Tahap 2. Prapeta \(\{A\}\) dan \(\{B\}\) masing-masing adalah kelas yang namanya sama.
Tahap 3. Bandingkan keempat prapeta dengan daftar anggota \(\tau\text{.}\)
Jawaban.
Topologi kuosien pada \(X^*\) adalah \(\{\emptyset,\{A\},X^*\}\text{.}\)
Solusi.
Keempat calon himpunan terbuka dan prapetanya adalah
\begin{equation*} p^{-1}(\emptyset)=\emptyset,\qquad p^{-1}(\{A\})=A=\{a,b,c\}, \end{equation*}
\begin{equation*} p^{-1}(\{B\})=B=\{d,e,f\},\qquad p^{-1}(X^*)=X. \end{equation*}
Dari daftar \(\tau\text{,}\) himpunan \(\emptyset\text{,}\) \(A\text{,}\) dan \(X\) terbuka, sedangkan \(B\) tidak terbuka. Berdasarkan definisi topologi kuosien, tepat \(\emptyset\text{,}\) \(\{A\}\text{,}\) dan \(X^*\) yang terbuka dalam \(X^*\text{.}\) Ini adalah topologi Sierpiński dengan \(A\) sebagai titik terbuka.
Beri \(I=[0,1]\) topologi standar. Ambil relasi ekuivalensi terkecil yang mengidentifikasi \(0\) dengan \(1\) dan tidak mengidentifikasi dua titik lain yang berbeda. Deskripsikan ruang kuosien \(I/\ssim\) dan buktikan identifikasi tersebut dengan suatu peta eksplisit.
Petunjuk.
Tahap 1. Bayangkan interval ditekuk sampai kedua ujungnya berimpit.
Tahap 2. Gunakan \(f(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\) dan tentukan kapan dua parameter mempunyai citra sama.
Tahap 3. Faktorkan \(f\) melalui proyeksi kuosien; untuk inversnya, periksa busur lokal, khususnya busur yang melintasi titik \((1,0)\text{.}\)
Jawaban.
Ruang \([0,1]/\ssim\) homeomorfik dengan lingkaran satuan \(S^1=\{(u,v)\in\R^2\mid u^2+v^2=1\}\text{.}\) Homeomorfismenya diberikan oleh \([t]\mapsto(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\text{.}\)
Solusi.
Definisikan \(f:I\to S^1\) melalui \(f(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\text{.}\) Fungsi ini kontinu dan surjektif. Untuk \(s,t\in[0,1]\text{,}\) persamaan \(f(s)=f(t)\) berlaku tepat ketika \(s=t\) atau \(\{s,t\}=\{0,1\}\text{.}\) Jadi serat-serat \(f\) tepat kelas-kelas relasi yang diberikan. Jika \(q:I\to I/\ssim\) adalah proyeksi, rumus
\begin{equation*} \overline f([t])=f(t) \end{equation*}
karena itu terdefinisi dengan baik dan menghasilkan bijeksi \(\overline f:I/\ssim\to S^1\) dengan \(f=\overline f\circ q\text{.}\)
Untuk setiap himpunan terbuka \(O\subseteq S^1\text{,}\) berlaku \(q^{-1}(\overline f^{-1}(O))=f^{-1}(O)\text{,}\) dan ruas kanan terbuka karena \(f\) kontinu. Definisi topologi kuosien lalu menunjukkan bahwa \(\overline f\) kontinu.
Untuk melihat kekontinuan invers tanpa hanya mengandalkan gambar, ambil \(W\) terbuka dalam \(I/\ssim\text{.}\) Himpunan \(q^{-1}(W)\) terbuka relatif dalam \(I\) dan merupakan gabungan kelas-kelas. Di sekitar setiap \(t\in(0,1)\text{,}\) pilih selang kecil tempat \(f\) memetakan homeomorfik ke suatu busur terbuka. Jika kelas ujung berada dalam \(W\text{,}\) keterbukaan dan kejenuhan prapeta memberi dua ruas \([0,\delta)\) dan \((1-\varepsilon,1]\text{;}\) citra gabungannya memuat busur terbuka di sekitar \((1,0)\text{.}\) Busur-busur ini menunjukkan bahwa \(\overline f(W)=f(q^{-1}(W))\) terbuka dalam \(S^1\text{.}\) Jadi \(\overline f\) terbuka, inversnya kontinu, dan \(\overline f\) adalah homeomorfisme.
Pada persegi \(I\times I\text{,}\) ambil relasi ekuivalensi terkecil yang memenuhi \((x,0)\sim(1-x,1)\) untuk setiap \(x\in I\text{,}\) sedangkan titik-titik lain tidak diidentifikasi kecuali sebagaimana dipaksa oleh aksioma relasi ekuivalensi. Deskripsikan ruang kuosiennya dan jelaskan peran pembalikan \(x\mapsto1-x\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Pandang koordinat \(y\) sebagai arah memanjang sebuah pita.
Tahap 2. Sebelum merekatkan sisi \(y=0\) dan \(y=1\text{,}\) putar salah satu ujung setengah putaran agar \(x\) berpasangan dengan \(1-x\text{.}\)
Tahap 3. Lacak kedua sisi \(x=0\) dan \(x=1\) setelah perekatan untuk memeriksa jumlah komponen batas.
Jawaban.
Ruang kuosien tersebut adalah pita Möbius. Pembalikan koordinat melahirkan setengah puntiran; akibatnya kedua sisi panjang persegi menyatu menjadi satu komponen batas.
Solusi.
Anggap \(y\) bergerak sepanjang pita dan \(s=2x-1\in[-1,1]\) bergerak melintang. Ketika \(y\) bergerak sekali dari \(0\) ke \(1\text{,}\) aturan perekatan mengganti \(s\) dengan \(-s\text{.}\) Itulah setengah puntiran yang membedakan pita Möbius dari tabung, tempat koordinat melintang tidak dibalik.
Identifikasi itu dapat diwujudkan secara eksplisit. Untuk \(\theta=2\pi y\) dan \(s=2x-1\text{,}\) definisikan
\begin{equation*} F(x,y)=\left( \left(2+\frac{s}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right)\cos\theta, \left(2+\frac{s}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right)\sin\theta, \frac{s}{2}\sin\frac{\theta}{2} \right). \end{equation*}
Pada \(y=0\) parameter melintangnya adalah \(s\text{.}\) Pada \(y=1\text{,}\) pasangan \(1-x\) mempunyai parameter \(-s\) dan faktor setengah sudut juga berubah tanda, sehingga \(F(x,0)=F(1-x,1)\text{.}\) Selain pasangan yang diwajibkan ini, rumus tersebut tidak menyamakan titik lain; rumus itu merupakan parametrisasi standar pita Möbius tanpa perpotongan diri.
Karena \(F\) konstan tepat pada kelas-kelas tersebut, ia menginduksi bijeksi kontinu dari ruang kuosien ke citra pita Möbius di \(\R^3\text{.}\) Ruang kuosien itu kompak sebagai citra kontinu dari persegi kompak, sedangkan \(\R^3\) Hausdorff; maka bijeksi kontinu tersebut adalah homeomorfisme. Terakhir, lintasan batas \(x=0\) tiba di \((0,1)\sim(1,0)\text{,}\) lalu berlanjut sepanjang sisi \(x=1\text{.}\) Jadi kedua sisi itu membentuk satu lingkaran batas, sesuai ciri pita Möbius.
Pada \(I\times I\text{,}\) ambil relasi ekuivalensi terkecil yang mengidentifikasi \((x,0)\) dengan \((x,1)\) dan \((0,y)\) dengan \((1,y)\) untuk semua \(x,y\in I\text{.}\) Dengan demikian keempat sudut berada dalam satu kelas. Deskripsikan ruang kuosien tersebut dan buktikan identifikasinya dengan suatu peta eksplisit.
Petunjuk.
Tahap 1. Merekatkan satu pasangan sisi yang berhadapan dengan arah sama menghasilkan tabung.
Tahap 2. Rekatkan dua lingkaran batas tabung itu untuk mendapatkan permukaan tertutup.
Tahap 3. Gunakan pasangan koordinat melingkar \((e^{2\pi i x},e^{2\pi i y})\) untuk memeriksa kelas-kelas secara tepat.
Jawaban.
Ruang kuosiennya homeomorfik dengan torus \(S^1\times S^1\text{,}\) dengan \(S^1=\{z\in\C\mid |z|=1\}\text{.}\) Homeomorfisme kanonis mengirim \([x,y]\) ke \((e^{2\pi i x},e^{2\pi i y})\text{.}\)
Solusi.
Definisikan
\begin{equation*} F:I^2\to S^1\times S^1, \qquad F(x,y)=(e^{2\pi i x},e^{2\pi i y}). \end{equation*}
Fungsi ini kontinu dan surjektif. Koordinat pertama sama tepat bila nilai \(x\) sama atau merupakan pasangan ujung \(0,1\text{;}\) pernyataan yang sama berlaku untuk koordinat kedua. Karena itu dua titik mempunyai citra sama tepat bila keduanya berada dalam kelas yang dibentuk oleh perekatan dua pasangan sisi tersebut. Secara khusus, keempat sudut mempunyai citra \((1,1)\text{.}\)
Maka \(F\) memfaktor menjadi bijeksi kontinu
\begin{equation*} \overline F:I^2/\ssim\ \longrightarrow S^1\times S^1, \qquad \overline F([x,y])=F(x,y). \end{equation*}
Domain adalah citra kontinu persegi kompak di bawah proyeksi kuosien, sehingga kompak. Kodomain \(S^1\times S^1\) adalah subruang Hausdorff dari \(\R^4\text{.}\) Teorema bijeksi kontinu dari ruang kompak ke ruang Hausdorff menunjukkan bahwa \(\overline F\) merupakan homeomorfisme. Jadi hasil perekatan tepat torus; konstruksi tabung lalu merekatkan dua lingkaran batasnya memberi gambaran geometris yang sama.
Pada persegi \(I^2=[0,1]^2\text{,}\) ambil relasi ekuivalensi yang mengidentifikasi semua titik batas \(\partial I^2\) menjadi satu kelas dan membiarkan setiap titik interior sebagai kelas satu titik. Deskripsikan ruang kuosien \(I^2/\ssim\) dan berikan pembenaran matematis, bukan hanya gambar.
Petunjuk.
Tahap 1. Ganti persegi dengan cakram tertutup melalui homeomorfisme yang mengirim batas ke batas.
Tahap 2. Dalam koordinat polar cakram, kirim jari-jari \(r=0\) ke kutub utara dan seluruh lingkaran \(r=1\) ke kutub selatan.
Tahap 3. Periksa bahwa titik-titik dengan \(0\leq r\lt1\) tetap berbeda dan gunakan faktorisasi melalui kuosien.
Jawaban.
Ruang \(I^2/\partial I^2\) homeomorfik dengan permukaan bola \(S^2\text{.}\) Kelas batas menjadi satu kutub, sedangkan cakram interior menutupi bola tanpa kutub tersebut.
Solusi.
Pertama, persegi homeomorfik dengan cakram tertutup \(D^2=\{u\in\R^2\mid\|u\|\leq1\}\) melalui suatu homeomorfisme yang membawa batas persegi ke lingkaran batas. Salah satu konstruksi eksplisit diperoleh dengan memusatkan persegi menjadi \([-1,1]^2\) dan memetakan setiap sinar dari titik asal secara linear: perpotongan sinar dengan batas persegi dikirim ke perpotongan sinar yang sama dengan \(S^1\text{.}\) Jadi cukup menganalisis \(D^2/\partial D^2\text{.}\)
Untuk \(u\in D^2\) dengan \(r=\|u\|\text{,}\) definisikan \(G(0)=(0,0,1)\) dan, bila \(u\ne0\text{,}\)
\begin{equation*} G(u)=\left( \frac{\sin(\pi r)}{r}u_1, \frac{\sin(\pi r)}{r}u_2, \cos(\pi r) \right). \end{equation*}
Limit \(\sin(\pi r)/r\to\pi\) menunjukkan kekontinuan di \(0\text{.}\) Rumus tersebut bernilai dalam \(S^2\text{.}\) Untuk \(0\lt r\lt1\text{,}\) ketinggian \(\cos(\pi r)\) menentukan \(r\) secara unik dan dua koordinat pertama menentukan arah \(u/r\text{;}\) jadi tidak ada dua titik interior berbeda yang disamakan. Ketika \(r=1\text{,}\) seluruh batas dipetakan ke \((0,0,-1)\text{.}\) Setiap titik bola muncul untuk suatu \(0\leq r\leq1\text{,}\) maka \(G\) surjektif dan serat-seratnya tepat kelas yang diinginkan.
Dengan demikian \(G\) menginduksi bijeksi kontinu \(\overline G:D^2/\partial D^2\to S^2\text{.}\) Domain kompak sebagai citra kontinu cakram kompak dan \(S^2\) Hausdorff, sehingga bijeksi kontinu ini merupakan homeomorfisme. Menggabungkannya dengan homeomorfisme persegi-ke-cakram membuktikan \(I^2/\partial I^2\cong S^2\text{.}\)
Misalkan \(\sim\) relasi ekuivalensi pada himpunan \(X\text{,}\) \(p:X\to X/\ssim\) proyeksi \(p(x)=[x]\text{,}\) dan \(f:X\to Y\) suatu fungsi yang memenuhi \(f(x_1)=f(x_2)\) setiap kali \(x_1\sim x_2\text{.}\) Buktikan bahwa rumus \(\overline f([x])=f(x)\) mendefinisikan fungsi \(\overline f:X/\ssim\to Y\) dengan baik.
Petunjuk.
Tahap 1. Satu kelas dapat mempunyai banyak wakil; ambil dua wakil \(x_1\) dan \(x_2\) dari kelas yang sama.
Tahap 2. Terjemahkan persamaan \([x_1]=[x_2]\) menjadi hubungan antara \(x_1\) dan \(x_2\text{.}\)
Tahap 3. Terapkan hipotesis bahwa \(f\) konstan pada setiap kelas ekuivalensi.
Jawaban.
Jika \([x_1]=[x_2]\text{,}\) maka \(x_1\sim x_2\text{,}\) sehingga \(f(x_1)=f(x_2)\text{.}\) Jadi nilai \(\overline f([x])\) tidak bergantung pada wakil yang dipilih.
Solusi.
Agar rumus pada kelas ekuivalensi terdefinisi dengan baik, dua wakil dari kelas yang sama harus menghasilkan nilai yang sama. Ambil \([x_1]=[x_2]\text{.}\) Untuk relasi ekuivalensi, kesamaan kelas ini ekuivalen dengan \(x_1\sim x_2\text{.}\) Hipotesis terhadap \(f\) lalu memberi
\begin{equation*} \overline f([x_1])=f(x_1)=f(x_2)=\overline f([x_2]). \end{equation*}
Karena setiap anggota \(X/\ssim\) adalah suatu kelas \([x]\text{,}\) rumus tersebut memberi tepat satu nilai di \(Y\) untuk setiap masukan. Maka \(\overline f\) adalah fungsi yang terdefinisi dengan baik.
Dengan asumsi yang sama, yaitu \(p(x)=[x]\) dan \(\overline f([x])=f(x)\text{,}\) buktikan persamaan fungsi \(f=\overline f\circ p\) dari \(X\) ke \(Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Dua fungsi sama jika nilainya sama pada setiap masukan.
Tahap 2. Ambil \(x\in X\) dan hitung dahulu \(p(x)\text{.}\)
Tahap 3. Masukkan kelas \([x]\) itu ke definisi \(\overline f\text{.}\)
Jawaban.
Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) \((\overline f\circ p)(x)=\overline f([x])=f(x)\text{.}\) Jadi kedua fungsi sama.
Solusi.
Ambil sembarang \(x\in X\text{.}\) Definisi proyeksi kanonis memberi \(p(x)=[x]\text{.}\) Oleh definisi fungsi terinduksi,
\begin{equation*} (\overline f\circ p)(x) =\overline f(p(x)) =\overline f([x]) =f(x). \end{equation*}
Kesamaan ini berlaku untuk setiap \(x\) dalam domain bersama \(X\text{.}\) Maka \(f\) dan \(\overline f\circ p\) adalah fungsi yang sama, yakni \(f=\overline f\circ p\text{.}\)
Misalkan \(\sim\) relasi ekuivalensi pada \(X\text{,}\) \(p:X\to X/\ssim\) proyeksi kanonis, dan \(f:X\to Y\) konstan pada setiap kelas ekuivalensi. Fungsi \(\overline f([x])=f(x)\) memenuhi \(f=\overline f\circ p\text{.}\) Buktikan bahwa tidak ada fungsi lain \(g:X/\ssim\to Y\) yang juga memenuhi \(f=g\circ p\) kecuali \(g=\overline f\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Ambil kelas sebarang \([x]\in X/\ssim\text{.}\)
Tahap 2. Gunakan \([x]=p(x)\) untuk menulis \(g([x])\) sebagai nilai komposisi \(g\circ p\text{.}\)
Tahap 3. Ganti komposisi itu dengan \(f\text{,}\) lalu bandingkan dengan definisi \(\overline f\text{.}\)
Jawaban.
Jika \(f=g\circ p\text{,}\) maka untuk setiap kelas \([x]\text{,}\) \(g([x])=g(p(x))=f(x)=\overline f([x])\text{.}\) Jadi \(g=\overline f\text{.}\)
Solusi.
Andaikan \(g:X/\ssim\to Y\) memenuhi \(f=g\circ p\text{.}\) Setiap titik domain \(X/\ssim\) berbentuk \([x]\) untuk suatu \(x\in X\text{.}\) Pada titik sebarang itu,
\begin{equation*} g([x])=g(p(x))=(g\circ p)(x)=f(x)=\overline f([x]). \end{equation*}
Jadi \(g\) dan \(\overline f\) mempunyai nilai sama pada setiap anggota \(X/\ssim\text{;}\) akibatnya \(g=\overline f\text{.}\) Bersama keberadaan yang dibuktikan oleh rumus \(\overline f([x])=f(x)\text{,}\) ini menetapkan keunikan fungsi yang memfaktorkan \(f\) melalui proyeksi kuosien.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>