Bagian Fungsi dan Himpunan
Kita menutup bagian ini dengan menghubungkan subhimpunan dan fungsi. Pertama, kita perkenalkan sedikit notasi. Jika \(f\) adalah fungsi dari himpunan \(X\) ke himpunan \(Y\text{,}\) dan jika \(A\) adalah subhimpunan dari \(X\) serta \(B\) adalah subhimpunan dari \(Y\text{,}\) kita mendefinisikan \(f(A)\) dan \(f^{-1}(B)\) sebagai
\begin{equation*}
f(A) = \{f(a) \mid a \in A\}\text{,}
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
f^{-1}(B) = \{a \in X \mid f(a) \in B\}\text{.}
\end{equation*}
Kita menyebut \(f(A)\) sebagai citra himpunan \(A\) di bawah \(f\text{,}\) sedangkan \(f^{-1}(B)\) adalah prapeta himpunan \(B\) di bawah \(f\text{.}\) Perhatikan bahwa \(f^{-1}(B)\) didefinisikan untuk setiap fungsi, bukan hanya untuk fungsi yang mempunyai invers. Jadi, penting untuk dipahami bahwa penggunaan notasi \(f^{-1}(B)\) tidak berarti bahwa \(f\) mempunyai invers.
Ketika nanti kita membahas fungsi kontinu, kita perlu memahami perilaku suatu fungsi terhadap subhimpunan. Salah satu hasilnya diberikan dalam lema berikut.
Lema 2.11.
Misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi, \(\{A_{\alpha}\}\) suatu koleksi subhimpunan dari \(X\) yang diindeks oleh \(\alpha\) dalam himpunan indeks \(I\text{,}\) dan \(\{B_{\beta}\}\) suatu koleksi subhimpunan dari \(Y\) yang diindeks oleh \(\beta\) dalam himpunan indeks \(J\text{.}\) Maka
\(f\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right) = \bigcup_{\alpha \in I} f(A_{\alpha})\text{,}\) dan
\(f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\right) = \bigcup_{\beta \in J} f^{-1}(B_{\beta})\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi dan \(\{A_{\alpha}\}\) suatu koleksi subhimpunan dari \(X\) yang diindeks oleh \(\alpha\) dalam himpunan indeks \(I\text{.}\) Untuk membuktikan bagian 1, kita tunjukkan inklusi pada kedua arah.
Misalkan \(b \in f\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right)\text{.}\) Maka \(b = f(a)\) untuk suatu \(a \in \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\text{.}\) Akibatnya, \(a \in A_{\rho}\) untuk suatu \(\rho \in I\text{.}\) Jadi, \(b \in f(A_{\rho}) \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} f(A_{\alpha})\text{.}\) Kita menyimpulkan bahwa \(f\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right) \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} f(A_{\alpha})\text{.}\)
Sekarang, misalkan \(b \in \bigcup_{\alpha \in I} f(A_{\alpha})\text{.}\) Maka \(b \in f(A_{\rho})\) untuk suatu \(\rho \in I\text{.}\) Karena \(A_{\rho} \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\text{,}\) diperoleh \(b \in f\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right)\text{.}\) Jadi, \(\bigcup_{\alpha \in I} f(A_{\alpha}) \subseteq f\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right)\text{.}\) Kedua inklusi tersebut membuktikan bagian 1.
Untuk bagian 2, kita kembali menunjukkan inklusi pada kedua arah. Misalkan \(a \in f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\right)\text{.}\) Maka \(f(a) \in \bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\text{.}\) Jadi, terdapat \(\mu \in J\) sedemikian sehingga \(f(a) \in B_{\mu}\text{.}\) Ini berarti \(a \in f^{-1}(B_{\mu}) \subseteq \bigcup_{\beta \in J} f^{-1}(B_{\beta})\text{.}\) Kita menyimpulkan bahwa \(f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\right) \subseteq \bigcup_{\beta \in J} f^{-1}(B_{\beta})\text{.}\)
Untuk inklusi sebaliknya, misalkan \(a \in \bigcup_{\beta \in J} f^{-1}(B_{\beta})\text{.}\) Maka \(a \in f^{-1}(B_{\mu})\) untuk suatu \(\mu \in J\text{.}\) Jadi, \(f(a) \in B_{\mu} \subseteq \bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\text{.}\) Dengan demikian, \(a \in f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\right)\text{.}\) Jadi, \(\bigcup_{\beta \in J} f^{-1}(B_{\beta}) \subseteq f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\right)\text{.}\) Kedua inklusi tersebut membuktikan bagian 2.
Pada tahap ini, wajar untuk bertanya apakah
Lema 2.11 masih berlaku jika gabungan kita ganti dengan irisan. Pertanyaan itu kita serahkan kepada
Latihan 7.
Hasil lainnya dibahas dalam kegiatan berikut.
Kegiatan 2.8.
Misalkan \(X\text{,}\) \(Y\text{,}\) dan \(Z\) adalah himpunan, serta \(f: X \to Y\) dan \(g: Y \to Z\) adalah fungsi. Misalkan \(C\) suatu subhimpunan dari \(Z\text{.}\) Terdapat hubungan antara \((g \circ f)^{-1}(C)\) dan \(f^{-1}(g^{-1}(C))\text{.}\) Temukan dan buktikan hubungan tersebut.
