Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Nilainya \(0\) atau \(1\text{,}\) jadi tak negatif. Menurut definisi, \(d(x,y)=0\) tepat ketika \(x=y\text{,}\) dan kondisi kesamaan tidak berubah ketika urutan titik dibalik, sehingga simetri berlaku. Jika \(x=y\text{,}\) ruas kiri pertidaksamaan segitiga nol. Jika \(x\ne y\text{,}\) sedikitnya satu dari \(x\ne z\) atau \(z\ne y\) harus berlaku; maka sedikitnya satu suku ruas kanan bernilai \(1\text{.}\) Jadi \(d(x,y)=1\leq d(x,z)+d(z,y)\text{.}\)

Modulo \(4\text{,}\) nilai diagonal semuanya nol, tetapi \(1\cdot5-1=4\) juga bersisa nol; identitas titik gagal. Modulo \(8\text{,}\) tabel jaraknya ialah \(d(1,3)=2\text{,}\) \(d(1,5)=4\text{,}\) \(d(3,5)=6\text{,}\) nilai diagonal nol, dan tabel simetris. Ketiga pertidaksamaan tak trivial adalah \(2\leq4+6\text{,}\) \(4\leq2+6\text{,}\) dan \(6\leq2+4\text{;}\) semuanya benar, jadi fungsi merupakan metrik.

Jarak dari pusat \(1\) ke \(1,3,5\) berturut-turut \(0,2,4\text{.}\) Karena bola terbuka memakai tanda tegas, titik \(3\) baru masuk ketika \(r>2\) dan titik \(5\) baru masuk ketika \(r>4\text{,}\) yang menghasilkan tiga kasus pada jawaban.

Representasi paling sederhana dengan penyebut positif bersifat tunggal, sehingga peta \(\phi(a/b)=(a,b)\) injektif. Rumus \(d\) adalah pembatasan metrik maksimum pada \(\Z\times\N\) ke citra \(\phi\text{;}\) karena itu keempat aksioma diwarisi. Secara langsung, pertidaksamaan segitiga mengikuti dari \(|a-r|\leq|a-c|+|c-r|\) dan pertidaksamaan yang sama bagi penyebut, lalu mengambil maksimum.

Jarak antardua representasi merupakan maksimum dua bilangan bulat. Syarat jarak kurang dari \(1\) memaksa kedua selisih nol, jadi bola hanya memuat pusat. Selanjutnya \(d(0/1,1/1)=1\text{.}\) Jika \(q\) berada di antara keduanya, dua jarak bilangan bulat tak negatif harus berjumlah \(1\text{;}\) salah satunya nol. Maka \(q\) sama dengan salah satu titik ujung. Kedua ujung memang memenuhi definisi betweenness.

Bagian pertama sama dengan akhir panduan sebelumnya. Karena representasi \(0=0/1\) dan \(1=1/1\text{,}\) jaraknya \(1\text{.}\) Sementara itu \(d(0/1,1/3)=\max\{1,2\}=2\text{;}\) jadi \(1\) lebih dekat.

Misalkan \(q=a/b\) dalam bentuk paling sederhana dan berada di antara \(0/1\) dan \(1/3\text{.}\) Jumlah kedua jaraknya harus \(2\text{.}\) Kasus \(0+2\) dan \(2+0\) memberi titik ujung. Pada kasus \(1+1\text{,}\) syarat pertama memberi \(|a|\leq1\) dan \(|b-1|\leq1\text{;}\) syarat kedua memberi \(|a-1|\leq1\) dan \(|b-3|\leq1\text{.}\) Dengan \(b>0\text{,}\) irisan syarat memaksa \(b=2\) dan \(a\in\{0,1\}\text{.}\) Pecahan \(0/2\) bukan bentuk paling sederhana, sedangkan \(1/2\) sah dan berjarak \(1\) dari kedua ujung. Jadi daftar pada jawaban lengkap.

Setiap suku tak negatif, jadi jumlahnya tak negatif. Jumlah itu nol tepat ketika setiap \(|x_i-y_i|=0\text{,}\) yakni ketika \(x=y\text{.}\) Simetri mengikuti \(|x_i-y_i|=|y_i-x_i|\text{.}\) Untuk titik ketiga \(z\text{,}\) pertidaksamaan nilai mutlak pada setiap koordinat memberi \(|x_i-y_i|\leq|x_i-z_i|+|z_i-y_i|\text{.}\) Menjumlahkan atas semua \(i\) menghasilkan \(d_T(x,y)\leq d_T(x,z)+d_T(z,y)\text{.}\)

Karena \(A,B\) berhingga dan tak kosong, semua maksimum ada. Untuk setiap \(a\in A\) dan \(b\in B\text{,}\) \(a\leq\max A\) dan \(b\leq\max B\text{,}\) jadi \(a+b\leq\max A+\max B\text{.}\) Mengambil maksimum atas semua jumlah membuktikan pertidaksamaan pertama.

Tak-negatif, identitas, dan simetri bagi \(d_M\) mengikuti nilai mutlak. Untuk setiap koordinat, \(|x_i-y_i|\leq|x_i-z_i|+|z_i-y_i|\leq d_M(x,z)+d_M(z,y)\text{.}\) Karena semua \(|x_i-y_i|\) dibatasi ruas kanan yang sama, maksimum mereka juga dibatasi ruas kanan tersebut. Inilah pertidaksamaan segitiga.

Tak-negatif, identitas, dan simetri langsung dari definisi kasus. Untuk pertidaksamaan segitiga, jika \(x=y\) ruas kiri nol. Jika \(x\ne y\) dan \(z=x\) atau \(z=y\text{,}\) diperoleh kesamaan. Jika \(z\) berbeda dari keduanya, ruas kiri \(|x|+|y|\text{,}\) sedangkan ruas kanan \((|x|+|z|)+(|z|+|y|)=|x|+|y|+2|z|\text{,}\) yang tidak lebih kecil.

Pusat \(a\) selalu masuk karena jaraknya nol. Untuk \(x\ne a\text{,}\) \(d_H(x,a)=|x|+|a|<r\) tepat ketika \(|x|<r-|a|\text{.}\) Jika \(r\leq|a|\text{,}\) tidak ada titik tambahan. Jika \(r>|a|\text{,}\) titik tambahannya membentuk bola Euklides berpusat di asal dengan jari-jari \(r-|a|\text{.}\) Substitusi \(|(1/2,0)|=1/2\) dan \(|(3,4)|=5\) memberi dua kasus khusus.

Selisih pertama \(|62-170|=108=4\cdot3^3\text{,}\) jadi eksponennya \(3\) dan jaraknya \(3^{-3}=1/27\text{.}\) Selisih kedua \(14008-2003=12005=5\cdot7^4\text{,}\) jadi jaraknya \(7^{-4}=1/2401\text{.}\)

Misalkan \(r=\min\{t(a,b),t(b,c)\}\text{.}\) Bilangan \(p^r\) membagi \(a-b\) dan \(b-c\text{,}\) maka membagi jumlahnya \(a-c\text{;}\) karena itu \(t(a,c)\geq r\text{.}\) Setelah membalik pangkat positif, diperoleh \(d(a,c)\leq\max\{d(a,b),d(b,c)\}\leq d(a,b)+d(b,c)\text{.}\) Tak-negatif, identitas, dan simetri mengikuti definisi serta \(|a-b|=|b-a|\text{;}\) jadi \(d\) metrik.

Untuk \(p=3\) dan \(x\ne0\text{,}\) jarak satu berarti eksponen keterbagian \(t=0\text{,}\) yakni \(3\) tidak membagi \(x\text{.}\) Nilai positif yang kurang dari \(1/2\) mulai dari \(1/3\text{,}\) jadi diperlukan \(t\geq1\text{,}\) tepat ketika \(3\mid x\text{.}\) Titik \(0\) mempunyai jarak nol dan karena itu juga memenuhi syarat kedua.

Pada faktor pertama, \(d_M((1,2),(0,5))=\max\{1,3\}=3\text{.}\) Pada faktor kedua, \(d_T((1,-1),(2,-2))=1+1=2\text{.}\) Maka jarak pada ruang hasil kali ialah \(\max\{3,2\}=3\text{.}\)

Untuk titik \((x,y)\text{,}\) syarat berada dalam bola kedua ialah \(\max\{|x|,d_{\mathrm{diskret}}(y,1)\}<1\text{.}\) Jarak diskret hanya \(0\) atau \(1\text{;}\) karena pertidaksamaannya tegas, harus \(y=1\text{.}\) Syarat yang tersisa ialah \(|x|<1\text{.}\) Jadi kedua titik ujung tidak masuk dan tidak ada titik pada tinggi lain.

Karena \(y/x>0\text{,}\) logaritma terdefinisi, dan \(|\ln(y/x)|=|\ln y-\ln x|\text{.}\) Nilai ini tak negatif dan simetris. Nilainya nol tepat ketika \(\ln y=\ln x\text{,}\) yang oleh injektivitas logaritma setara dengan \(x=y\text{.}\) Untuk \(z>0\text{,}\) \(|\ln y-\ln x|\leq|\ln z-\ln x|+|\ln y-\ln z|\text{,}\) yaitu tepat \(d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\text{.}\) Jadi semua aksioma terpenuhi.

Tak-negatif, identitas, dan simetri bagi \(d=f\circ d_E\) kini langsung. Untuk pertidaksamaan segitiga, \(|x-y|\leq|x-z|+|z-y|\text{.}\) Monotonitas lalu subaditivitas memberi \(f(|x-y|)\leq f(|x-z|+|z-y|)\leq f(|x-z|)+f(|z-y|)\text{,}\) yang merupakan aksioma keempat.

Untuk \(k>0\text{,}\) mengalikan setiap aksioma metrik dengan \(k\) mempertahankan tak-negatif, himpunan nol, simetri, dan arah pertidaksamaan segitiga. Jika ada \(x\ne y\text{,}\) maka \(d(x,y)>0\text{.}\) Untuk \(k=0\text{,}\) jarak kedua titik menjadi nol dan identitas gagal; untuk \(k<0\text{,}\) jaraknya negatif. Jadi \(k>0\) perlu pada ruang dengan sedikitnya dua titik.

Pada ruang satu titik, satu-satunya pasangan adalah \((x,x)\) dan \(d(x,x)=0\text{.}\) Maka \(k d\) adalah fungsi nol untuk setiap \(k\text{;}\) semua aksioma tetap terpenuhi. Kasus kosong, jika diizinkan oleh konvensi, juga bersifat vakum.

Untuk \(g(x)=-x^2\text{,}\) pertidaksamaan cekung ekuivalen dengan \(((1-\alpha)x+\alpha y)^2\leq(1-\alpha)x^2+\alpha y^2\text{.}\) Selisih ruas kanan dan kiri ialah \(\alpha(1-\alpha)(x-y)^2\geq0\text{,}\) jadi klaim berlaku.

Jika \(a=b=0\text{,}\) maka \(f(a)+f(b)=2f(0)\geq f(0)=f(a+b)\text{.}\) Jika \(a+b>0\text{,}\) letakkan \(\lambda=a/(a+b)\text{.}\) Kekonkavan dengan titik \(a+b\) dan \(0\) memberi \(f(a)\geq\lambda f(a+b)+(1-\lambda)f(0)\geq\lambda f(a+b)\text{.}\) Dengan bobot pelengkap diperoleh \(f(b)\geq(1-\lambda)f(a+b)\text{.}\) Menjumlahkan memberi subaditivitas.

Untuk \(f\circ d\text{,}\) tak-negatif jelas; nilai nol setara dengan \(d(x,y)=0\text{,}\) lalu dengan \(x=y\text{.}\) Simetri diwarisi dari \(d\text{.}\) Akhirnya, monotonitas dan subaditivitas memberi \(f(d(x,y))\leq f(d(x,z)+d(z,y))\leq f(d(x,z))+f(d(z,y))\text{.}\) Jadi semua aksioma metrik terpenuhi.

(a) Salah: \(d(0,2)=4\text{,}\) tetapi \(d(0,1)+d(1,2)=2\text{.}\) (b) Benar: pada setiap himpunan tak kosong, metrik diskret merupakan metrik. (c) Benar: jika himpunan mempunyai dua titik berbeda, metrik \(d_c\) yang memberi jarak \(c>0\) pada setiap pasangan berbeda adalah metrik; nilai \(c\) yang berbeda memberi tak berhingga banyak fungsi berbeda.

(d) Salah. Ambil \(X=Y=\{0,1\}\) dengan metrik diskret. Titik \((0,0)\) dan \((0,1)\) berbeda, tetapi hasil kali jaraknya \(d_X(0,0)d_Y(0,1)=0\cdot1=0\text{,}\) sehingga identitas titik gagal. (e) Salah: himpunan tak berhingga apa pun dengan metrik diskret mempunyai daerah hasil jarak hanya \(\{0,1\}\text{,}\) suatu himpunan berhingga.