Bagian Ringkasan
Gagasan-gagasan penting yang telah kita bahas dalam bagian ini meliputi hal-hal berikut.
- Suatu subhimpunan \(C\) dari ruang topologi \(X\) tertutup jika \(X \setminus C\) terbuka.
- Sebarang irisan himpunan-himpunan tertutup bersifat tertutup, sedangkan gabungan berhingga himpunan-himpunan tertutup juga bersifat tertutup.
- Suatu barisan dalam ruang topologi \(X\) adalah fungsi \(f: \Z^+\) ke \(X\text{.}\)
- Suatu barisan \((x_n)\) dalam ruang topologi \(X\) konvergen ke titik \(x\) dalam \(X\) jika untuk setiap himpunan terbuka \(O\) yang memuat \(x\text{,}\) terdapat bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(x_n \in O\) untuk semua \(n \geq N\text{.}\)
- Jika suatu barisan \((x_n)\) dalam ruang topologi \(X\) konvergen ke titik \(x\text{,}\) maka \(x\) merupakan suatu limit dari barisan \((x_n)\text{.}\)
- Suatu titik limit dari subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) adalah titik \(x \in X\) sedemikian sehingga setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Suatu subhimpunan \(C\) dari ruang topologi \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(C\) memuat semua titik limitnya.
- Suatu titik batas dari subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) adalah titik \(x \in X\) sedemikian sehingga setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) dan suatu titik di \(X \setminus A\text{.}\) Batas dari \(A\) adalah himpunan\begin{equation*} \Bdry(A) = \{x \in X \mid x \text{ adalah titik batas dari } A\}\text{.} \end{equation*}Suatu subhimpunan \(C\) dari \(X\) tertutup jika dan hanya jika \(C\) memuat batasnya.
- Suatu ruang topologi \(X\) disebut Hausdorff jika titik-titik berbeda dapat dipisahkan oleh himpunan-himpunan terbuka dalam ruang tersebut. Artinya, untuk setiap pasangan titik berbeda \(x\) dan \(y\) dalam \(X\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(O_x\) yang memuat \(x\) dan \(O_y\) yang memuat \(y\) sedemikian sehingga \(O_x \cap O_y = \emptyset\text{.}\) Ruang Hausdorff penting karena barisan memiliki limit tunggal di dalamnya dan setiap himpunan beranggota tunggal bersifat tertutup.
- Aksioma separasi menjelaskan jenis objek yang dapat dipisahkan oleh himpunan terbuka.
- Dalam ruang \(T_1\text{,}\) kita dapat memisahkan dua titik berbeda dengan satu himpunan terbuka. Artinya, untuk titik-titik berbeda \(x\) dan \(y\) dalam suatu ruang topologi yang bersifat \(T_1\text{,}\) yaitu \(X\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(U\) yang memisahkan \(y\) dari \(x\) dalam arti bahwa \(y \in U\text{,}\) tetapi \(x \notin U\text{.}\)
- Dalam ruang \(T_2\) \(X\text{,}\) kita dapat memisahkan titik secara lebih tegas. Artinya, jika \(x\) dan \(y\) merupakan titik-titik berbeda dalam \(X\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(U\) dan \(V\) yang saling lepas sedemikian sehingga \(x \in U\) dan \(y \in V\text{.}\)
- Dalam ruang \(T_3\) \(X\text{,}\) kita dapat memisahkan suatu titik dari himpunan tertutup yang tidak memuat titik tersebut. Artinya, jika \(C\) merupakan subhimpunan tertutup dari \(X\) dan \(x\) merupakan suatu titik yang tidak berada dalam \(C\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(U\) dan \(V\) dalam \(X\) yang saling lepas sedemikian sehingga \(C \subseteq U\) dan \(x \in V\text{.}\)
- Dalam ruang \(T_4\) \(X\text{,}\) kita dapat memisahkan himpunan-himpunan tertutup yang saling lepas. Artinya, jika \(C\) dan \(D\) merupakan dua subhimpunan tertutup dari \(X\) dan saling lepas, terdapat himpunan terbuka \(U\) dan \(V\) yang saling lepas sedemikian sehingga \(C \subseteq U\) dan \(D \subseteq V\text{.}\)
