Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Tuliskan \(N_x\) untuk lingkungan terbuka terkecil \(x\text{.}\) Karena topologi ini berhingga, \(N_a=\{a\}\text{,}\) \(N_b=\{b\}\text{,}\) \(N_c=X\text{,}\) dan \(N_d=\{b,d\}\text{;}\) kriteria kontinuitas di satu titik adalah \(f(N_x)\subseteq N_{f(x)}\text{.}\)

Untuk fungsi yang diberikan, \(f(N_a)=\{a\}\subseteq N_a\) dan \(f(N_b)=\{a\}\subseteq N_a\text{,}\) sehingga \(f\) kontinu di \(a\) dan \(b\text{.}\) Di pihak lain, \(f(N_c)=\{a,b\}\nsubseteq N_a\) dan \(f(N_d)=\{a,b\}\nsubseteq N_b\text{.}\) Jadi \(f\) tidak kontinu di \(c\) maupun \(d\text{,}\) dan tepat dua titik kontinuitas telah diperoleh.

Kriteria \(f(N_x)\subseteq N_{f(x)}\) memberikan \(f(N_a)=\{a\}\subseteq N_a\) dan \(f(N_b)=\{a\}\subseteq N_a\text{.}\) Selain itu, \(f(N_d)=f(\{b,d\})=\{a,c\}\subseteq N_c=X\text{.}\) Jadi \(f\) kontinu di \(a,b,d\text{.}\)

Akan tetapi, \(f(N_c)=f(X)=\{a,c\}\text{,}\) sedangkan \(N_{f(c)}=N_a=\{a\}\text{.}\) Inklusi yang diperlukan gagal, sehingga \(f\) tidak kontinu di \(c\text{.}\) Dengan demikian tepat tiga titik kontinuitas diperoleh.

Pemetaan \(g(x)=(x,f(x))\) kontinu karena kedua fungsi koordinatnya, yakni identitas dan \(f\text{,}\) kontinu. Definisi grafik menunjukkan bahwa \(g\) memetakan \(\R\) ke \(\Gamma_f\) secara bijektif. Inversnya adalah \(g^{-1}=\pi_1|_{\Gamma_f}\text{,}\) yaitu pembatasan proyeksi kontinu \(\pi_1:\R^2\to\R\) pada subruang \(\Gamma_f\text{.}\) Karena \(g\) dan inversnya kontinu, \(g\) merupakan homeomorfisme.

Untuk fungsi tersebut, tuliskan \(A=\{(x,0)\mid x\leq0\}\) dan \(B=\{(x,1)\mid x>0\}\text{.}\) Maka \(\Gamma_f=A\mathbin{\dot\cup}B\text{,}\) dan kedua bagian itu tak kosong. Himpunan \(A\) adalah irisan grafik dengan himpunan terbuka \(\{(x,y)\in\R^2\mid y<1/2\}\text{,}\) sedangkan \(B\) adalah irisan grafik dengan himpunan terbuka \(\{(x,y)\in\R^2\mid y>1/2\}\text{.}\) Jadi \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan terbuka yang saling lepas dalam \(\Gamma_f\) dan membentuk pemisahan grafik. Karena \(\R\) terhubung sedangkan \(\Gamma_f\) tidak, keduanya tidak homeomorfik.

Himpunan \(U=\R\setminus\{p\}\) tidak memuat \(p\text{,}\) sehingga \(U\) terbuka dalam \(\tau_{\overline p}\text{.}\) Karena \(i\) adalah identitas, \(i^{-1}(U)=U\text{.}\) Namun \(U\) tak kosong, bukan seluruh \(\R\text{,}\) dan tidak memuat \(p\text{;}\) oleh karena itu \(U\) tidak terbuka dalam \(\tau_p\text{.}\) Prapeta suatu himpunan terbuka gagal menjadi terbuka, maka \(i\) tidak kontinu dan tidak mungkin menjadi homeomorfisme.

Dalam \((\R,\tau_p)\text{,}\) singleton \(\{x\}\) tertutup tepat ketika komplemennya terbuka. Jika \(x\neq p\text{,}\) komplemen itu memuat \(p\) dan karenanya terbuka; jika \(x=p\text{,}\) komplemennya tak kosong dan tidak memuat \(p\text{,}\) sehingga tidak terbuka. Jadi semua singleton kecuali \(\{p\}\) tertutup.

Sebaliknya, dalam \((\R,\tau_{\overline p})\text{,}\) komplemen \(\{p\}\) tidak memuat \(p\) dan terbuka. Untuk \(x\neq p\text{,}\) himpunan \(\R\setminus\{x\}\) memuat \(p\) tetapi bukan seluruh ruang, sehingga tidak terbuka. Maka hanya \(\{p\}\) yang merupakan singleton tertutup. Homeomorfisme memberikan bijeksi antara singleton tertutup, sedangkan kedua ruang memiliki jumlah singleton tertutup yang berbeda. Karena itu tidak ada homeomorfisme di antara keduanya.

Citra inklusi adalah subruang \((0,1)\) dari \(\R\text{.}\) Topologi pada domain memang topologi subruang Euklides itu. Jadi \(j:(0,1)\to j((0,1))\) bijektif, kontinu, dan inversnya adalah identitas pada \((0,1)\text{,}\) yang juga kontinu. Dengan demikian \(j\) merupakan homeomorfisme ke suatu subruang dari \(\R\text{,}\) sehingga merupakan pembenaman.

Inklusi \(A\hookrightarrow B\) adalah pembenaman. Pemetaan \(h:B\to A\) yang diberikan oleh \(h(x)=(x+1)/3\) merupakan homeomorfisme dari \(B\) ke subruang \((1/3,2/3]\subseteq A\text{,}\) sehingga juga suatu pembenaman.

Akan tetapi, setiap titik \(x\in A\) merupakan titik pemutus: \(A\setminus\{x\}=(0,x)\cup(x,1)\) tidak terhubung. Di ruang \(B\text{,}\) titik \(1\) bukan titik pemutus karena \(B\setminus\{1\}=(0,1)\) terhubung. Jika ada homeomorfisme \(q:B\to A\text{,}\) pembatasannya akan memberi homeomorfisme dari \(B\setminus\{1\}\) ke \(A\setminus\{q(1)\}\text{,}\) bertentangan dengan keterhubungan ruang pertama dan ketakterhubungan ruang kedua. Jadi \(A\) dan \(B\) tidak homeomorfik.

Karena \(X\) hanya memiliki empat himpunan bagian, sesudah \(\emptyset\) dan \(X\) yang wajib dimasukkan, keputusan yang tersisa hanyalah memasukkan atau tidak memasukkan masing-masing dari \(\{a\}\) dan \(\{b\}\text{.}\) Keempat pilihan itu menghasilkan daftar pada jawaban. Masing-masing daftar tertutup terhadap gabungan sebarang dan irisan berhingga. Tidak ada himpunan bagian lain yang dapat ditambahkan, sehingga daftar tersebut lengkap.

Homeomorfisme menginduksi bijeksi antara koleksi himpunan terbuka, sehingga jumlah himpunan terbuka dipertahankan. Topologi indiskret mempunyai dua himpunan terbuka, topologi diskret mempunyai empat, dan masing-masing topologi \(\{\emptyset,\{a\},X\}\) serta \(\{\emptyset,\{b\},X\}\) mempunyai tiga. Karena itu tiga jenis jumlah tersebut tidak mungkin saling homeomorfik. Bijeksi \(s:X\to X\) yang menukar \(a\) dan \(b\) membawa singleton terbuka pada topologi pertama ke singleton terbuka pada topologi kedua; \(s\) dan inversnya membawa himpunan terbuka ke himpunan terbuka. Jadi kedua topologi tiga-himpunan itu homeomorfik dan seluruh daftar terbagi menjadi tepat tiga kelas.